1、 太原理工大學物理系太原理工大學物理系一、磁場的高斯定理一、磁場的高斯定理1.1.磁通量磁通量BS定義：定義：通過某面積通過某面積S的磁通量等于通過的磁通量等于通過S的磁感的磁感線的條數。線的條數。SNB(1)(1)均勻磁場，均勻磁場，S是平面，且與磁場線垂直是平面，且與磁場線垂直BSm磁通量磁通量8-8-5 磁場的高斯定理和安培環路定理磁場的高斯定理和安培環路定理 太原理工大學物理系太原理工大學物理系scosBSBSmnSBSBm(2)(2)均勻磁場，均勻磁場， S S是平面，與磁場線不垂直是平面，與磁場線不垂直Baibjck(T ) 課堂練習：課堂練習：磁場的磁磁場的磁感應強度感應強度通過

2、一半徑為通過一半徑為R，與，與z軸垂直的圓面的磁通量的大軸垂直的圓面的磁通量的大小為多少？小為多少？答：答：2RcSBmkRS2snB 太原理工大學物理系太原理工大學物理系BsSdBcosdSBsdSBmSBmdd(3) (3) S是任意曲面，是任意曲面，B是非均勻磁場，把是非均勻磁場，把S分分成無限多成無限多dS通過通過dS的通量的通量通過整個曲面的磁通量通過整個曲面的磁通量對于閉合曲面，規定閉合面的法線指向面外。對于閉合曲面，規定閉合面的法線指向面外。 SSSBSBdcosdm 太原理工大學物理系太原理工大學物理系 2.2.磁場的高斯定理磁場的高斯定理在任何磁場中，通過任意封閉曲面的磁通量

3、恒為在任何磁場中，通過任意封閉曲面的磁通量恒為0 0。0smSdB磁場為無源場磁場為無源場 磁場線閉合，無頭無尾，這說明不存在單獨磁場線閉合，無頭無尾，這說明不存在單獨磁荷磁荷(磁單極子磁單極子)。1931年狄拉克理論上預言了磁單極子的存在。年狄拉克理論上預言了磁單極子的存在。由于由于m大，因此現有的加速器能量產生不了磁單極大，因此現有的加速器能量產生不了磁單極子對；人們希望從宇宙射線中發現。目前尚未在實子對；人們希望從宇宙射線中發現。目前尚未在實驗中確認磁單極子存在。驗中確認磁單極子存在。pmm20810g102 太原理工大學物理系太原理工大學物理系xIB20SB/ 例例1 1 如圖載流長直

4、導線的電流為如圖載流長直導線的電流為 , ,試求通過矩試求通過矩形面積的磁通量形面積的磁通量. .I 解解 先求先求 ，對變磁場，對變磁場給出給出 后積分求后積分求mdmB在矩形內任取一面積元在矩形內任取一面積元dS = ldx , ,在此面積元內在此面積元內磁感應強度可看作常量磁感應強度可看作常量.方向垂直于紙面向里方向垂直于紙面向里1d2dlIxoBx 太原理工大學物理系太原理工大學物理系xlxISBmd2dd021d2d0ddSmxxIlSB120ln2ddIlm1d2dlIxoB 太原理工大學物理系太原理工大學物理系例例2 2 兩平行的無限長直導線通有電流兩平行的無限長直導線通有電流

5、I , , 相距相距3a，矩形線框寬為矩形線框寬為a，高為，高為l與直導線共面，求通過線框與直導線共面，求通過線框的磁通量的磁通量. .解：取垂直紙面向里為法解：取垂直紙面向里為法線方向，以導線線方向，以導線1 1所在位所在位置為坐標原點，建立如圖置為坐標原點，建立如圖所示的坐標軸。所示的坐標軸。 xaIxIB32200取細長條面元，面元內取細長條面元，面元內為均勻磁場為均勻磁場alIxoBIaax 太原理工大學物理系太原理工大學物理系窄條形面元的元磁通為窄條形面元的元磁通為 BldxBdSSdBdm通過矩形面積內的磁通量通過矩形面積內的磁通量aammBldxd21aaldxxaIxI2003

6、2220LnIlalIxoBIaax 太原理工大學物理系太原理工大學物理系1) 均勻磁場通過平面的通量均勻磁場通過平面的通量2) 非均勻磁場通過平面的通量非均勻磁場通過平面的通量總結：總結：有關磁通量的計算有關磁通量的計算3) 均勻磁場通過曲面的通量均勻磁場通過曲面的通量0SdB 均勻磁場通過曲面的通量轉化為均勻磁場均勻磁場通過曲面的通量轉化為均勻磁場通過平面的磁通量通過平面的磁通量0ssSdBSdBS snB 太原理工大學物理系太原理工大學物理系二、安培環路定理二、安培環路定理 在真空的穩恒磁場中，磁感應強度在真空的穩恒磁場中，磁感應強度 沿任一沿任一閉合路徑閉合路徑L的線積分，等于該閉合路

7、徑所環繞的電的線積分，等于該閉合路徑所環繞的電流強度代數和的流強度代數和的 倍倍. .B01.1.定理：定理：1)“1)“環繞環繞”：設想閉合路徑設想閉合路徑L為一根繩子，繩子勒緊為一根繩子，繩子勒緊后能把電流捆住，即為環繞。后能把電流捆住，即為環繞。說明：說明：2 2） 電流的正負問題：電流的正負問題：電流的流向與安培回路繞電流的流向與安培回路繞向滿足右手法則的電流為正，否則為負。向滿足右手法則的電流為正，否則為負。niiLIl dB103 3）安培環路定理成立的條件安培環路定理成立的條件: :穩恒電流穩恒電流磁場為非保守場磁場為非保守場 太原理工大學物理系太原理工大學物理系內內LIII12

8、2課堂練習：課堂練習： 如圖所示，求磁感應強度對回路如圖所示，求磁感應強度對回路L的環流。的環流。)2(1200IIIl dBLL內內分析：分析：閉合路徑閉合路徑L勒緊勒緊后，能把電流捆住后，能把電流捆住3 3根根電流，利用右手螺旋判電流，利用右手螺旋判斷電流的正、負。斷電流的正、負。答案：答案：3I2I1IL1I 太原理工大學物理系太原理工大學物理系B2 2 驗證驗證( (用特例說明用特例說明) )lRIlBld2d0 設閉合回路設閉合回路L為為圓形回路圓形回路, ,在垂直于導線的平面在垂直于導線的平面內內, ,與電流成與電流成右手右手螺旋。螺旋。IlBl0dRIB20載流長直導線的磁感強度

9、為載流長直導線的磁感強度為oIRlRd20RId20Ild 太原理工大學物理系太原理工大學物理系IlBl0d若回路繞向為反方向時，則若回路繞向為反方向時，則oIRBldllRIlBld2d0d20RRI對任意形狀的回路對任意形狀的回路IlBl0d是否成立？是否成立？ 太原理工大學物理系太原理工大學物理系rBlId 設設任意任意回路回路L在垂直于導線的平面內，與電流在垂直于導線的平面內，與電流成成右右手螺旋。手螺旋。ldlllBlBcosddd20rrIrdlcosdd20IIlBl0dcosd20lrI 太原理工大學物理系太原理工大學物理系ld2d022IlB0dd2211lBlB0dlBl2

10、022 rIBd1dl2r2dl1B2B閉合回路不環繞電流時閉合回路不環繞電流時I1r1012 rIB11dlBd20I 太原理工大學物理系太原理工大學物理系 如果有如果有n個電流穿過積分回路個電流穿過積分回路, ,另有另有k個沒有穿個沒有穿過積分回路過積分回路, ,回路上的磁感應強度回路上的磁感應強度安培環路定理安培環路定理0.0).(d210nLIIIlBknnnBBBBBB.121niiLIl dB10磁感應強度的環流磁感應強度的環流適用任意穩恒磁場適用任意穩恒磁場 太原理工大學物理系太原理工大學物理系3.3.穩恒磁場的性質穩恒磁場的性質高斯定理：高斯定理：無源場無源場安培環路定理：安培

11、環路定理：有旋場有旋場比較靜電場：比較靜電場：0SSdBiSqSdE01有源場有源場無旋場無旋場靜電場高斯定理：靜電場高斯定理：靜電場環路定理：靜電場環路定理：niiLIl dB10Ll dE0 太原理工大學物理系太原理工大學物理系1 1） 是否與回路是否與回路 外電流有關？外電流有關？LB2 2）若若 , ,是否回路是否回路L上各處上各處 ？0B0d lBLL回路的環流為零意味著什么？回路的環流為零意味著什么？ 問題問題 3)3)安培閉合環路安培閉合環路L及繞向可以任意選取嗎？及繞向可以任意選取嗎？4)4)回路對電流有回路對電流有多多次鏈套：次鏈套：Il dBL02 太原理工大學物理系太原理

12、工大學物理系答案：答案：(B)IL課堂練習：課堂練習：如圖，在圓形電流所如圖，在圓形電流所在平面內，選取一個同心圓形閉在平面內，選取一個同心圓形閉合回路，則由安培環路定理可知合回路，則由安培環路定理可知(A) , ,且環路上任意一點且環路上任意一點B=0. .0Ll dB0Ll dB(B) , ,且環路上任意一點且環路上任意一點B 0.0Ll dB(C) ，且環路上任意一點，且環路上任意一點B 0.0Ll dB(D) ，且環路上任意一點，且環路上任意一點B=常量常量. . 太原理工大學物理系太原理工大學物理系（1 1）分析分析磁場磁場大小、方向的分布特點大小、方向的分布特點（2 2）選取）選取

13、合適合適的回路的回路L（3 3）用環路定理）用環路定理計算計算磁場磁場三、用安培環路定理求磁場三、用安培環路定理求磁場步驟：步驟：畢畢沙沙拉定律可以計算任意電流的磁場拉定律可以計算任意電流的磁場B安培環路定理可以計算對稱性磁場的安培環路定理可以計算對稱性磁場的B磁場計算的兩種方法：磁場計算的兩種方法： 問題：問題：怎樣的回路才算是合適的回路？怎樣的回路才算是合適的回路？ 太原理工大學物理系太原理工大學物理系rBlBl2dIIii00o oIrlBldrIB20例例3 3 求求載流長直導線的磁感強度載流長直導線的磁感強度。解：先分析磁場解：先分析磁場選合適的環路：在垂直于軸線選合適的環路：在垂直

14、于軸線的平面內，選擇半徑的平面內，選擇半徑r的圓形環路的圓形環路L，環路正方向如圖。，環路正方向如圖。磁感線是在垂直于軸線的平面磁感線是在垂直于軸線的平面內以軸線為中心的同心圓。內以軸線為中心的同心圓。 計算計算IrB02 太原理工大學物理系太原理工大學物理系例例4 4 無限長載流圓柱面的磁場無限長載流圓柱面的磁場rRRI1Lr2Lr將圓柱面分為無限多窄條，將圓柱面分為無限多窄條，每個窄條可看作是載有電流每個窄條可看作是載有電流dI的無限長直導線的無限長直導線.解：先求柱面外的場解：先求柱面外的場(1)(1)對稱性分析對稱性分析dI2LdI1p p點的磁場的大小與點的磁場的大小與r有關，方向與

15、有關，方向與r垂直。垂直。（2 2）選合適的環路：在垂直于）選合適的環路：在垂直于軸線的平面內，選擇半徑軸線的平面內，選擇半徑r的圓形的圓形環路環路L，環路正方向如圖。，環路正方向如圖。 太原理工大學物理系太原理工大學物理系rIB20,Rr ,0Rr02drBlBl(3)(3)計算計算rBlBl2dIIii00同法可求：圓柱面內的磁場同法可求：圓柱面內的磁場0B0BBRorRI20rIB20IrB02 太原理工大學物理系太原理工大學物理系1）有人說：有人說：“因回路不環繞電流時，環路上因回路不環繞電流時，環路上磁場必為零，由此可證圓柱面內無磁場磁場必為零，由此可證圓柱面內無磁場”，這，這樣的說

16、法對嗎？樣的說法對嗎？問題問題2）在以上的例子里選擇任意回路，環路定理在以上的例子里選擇任意回路，環路定理是否成立？磁場可以求解嗎？是否成立？磁場可以求解嗎？3）關于對稱性分析還有較簡單的方法：關于對稱性分析還有較簡單的方法： 由圓柱面上電流分布的軸對稱性說明磁場對由圓柱面上電流分布的軸對稱性說明磁場對圓柱面的軸線也有軸對稱性。圓柱面的軸線也有軸對稱性。 太原理工大學物理系太原理工大學物理系例例5 5 無限長載流圓柱體的磁場無限長載流圓柱體的磁場解解: :（1 1）對稱性分析）對稱性分析Rr IrB02rIB20IRLrRB（2 2）選取回路）選取回路磁場對圓柱體的軸線有軸對稱性。磁場對圓柱體

17、的軸線有軸對稱性。 半徑為半徑為r的圓周的圓周（3 3）計算）計算 太原理工大學物理系太原理工大學物理系IRrrB2202202RIrBIRrIii2200rBlBl2dRr 0ILRrRI20BRor 太原理工大學物理系太原理工大學物理系 例例6 6 求長直密繞螺線管內磁場求長直密繞螺線管內磁場 解解（2 2）選矩形回路）選矩形回路L(1)(1)分析磁場分析磁場 螺旋線圈無限長，螺旋線圈內的磁感線是一螺旋線圈無限長，螺旋線圈內的磁感線是一組平行于軸線的直線；且距軸線同遠的點其磁場組平行于軸線的直線；且距軸線同遠的點其磁場大小相同大小相同. .+BLMNPO 太原理工大學物理系太原理工大學物理

18、系PMOPNOMNllBlBlBlBlBdddddIMNnMNB0nIB0 無限長載流螺線管內部磁場處處相等無限長載流螺線管內部磁場處處相等 , ,外外部磁場為零部磁場為零. .LMNPO（3 3）計算）計算+B 太原理工大學物理系太原理工大學物理系NIRBlBl02dLNIB0 例例7 7 求載流螺繞環內的磁場求載流螺繞環內的磁場RNIB202 2）選回路選回路 . .解解 1 1）對稱性分析；環內對稱性分析；環內 線為同心圓，環外線為同心圓，環外 為零為零. . BBRL2令令P 太原理工大學物理系太原理工大學物理系例例6 6 一無限大均勻載流平面薄板，面電流密一無限大均勻載流平面薄板，面電流密度為度為j，求面外一點的磁感應強度，求面外一點的磁感應強度B的大小。的大小。+j解：解：PMOPNOMNllBlBlBlBlBdddddLMNPOOPMNlBlBddBLBLBL2jLIii00jLBL02jB021 太原理工大學物理系太原理工大學物理系例例7 7 電纜由一導體圓柱和一同軸的導體圓筒組電纜由一導體圓柱和一同軸的導體圓筒組成。電流從內圓柱流去，從外筒流回，電流均成。電