1、 第四章機械振動教學時數： 7學時一、 教學要求：（重點、 難點）1、掌握描述機械振動和簡諧波的各物理量（特別是位相）及各量間的關系。2、理解旋轉矢量法。3、掌握簡諧運動的基本特征，能建立一維簡諧運動的微分方程，能根據給定的初始條件寫出一維簡諧運動的運動方程，并理解其物理意義。4、理解同方向、同頻率的兩個簡諧運動的合成規律。理解簡諧波的產生條件。掌握由已知質點的簡諧運動方程得出平面簡諧波的波函數的方法及波函數的物理意義。理解波形圖線。了解波的能量傳播特征及能流、能流密度概念。5、了解惠根斯原理和波的疊加原理。理解波的相干條件，能應用位相差和波程差分析、確定相干波疊加后振幅加強和減弱的條件。6、

2、理解駐波及其形成條件。了解駐波和行波的區別。7、了解機械波的多普勒效應及其產生的原因。在波源或觀察者單獨相對介質運動，且運動方向沿兩者連線的情況下，能用多普勒頻移公式進行計算。8、了解電磁波的性質。三、教學參考書1、WAVES . F.S Crawford, Berkeley Physics Course, Vol3.2 、 University Physics, Part 2.3 、 楊仲耆大學物理學 波動與光學4、 張三慧大學物理 波動與光學機 械 振 動 前言：物體在一定物置附近作來回往復的運動稱為機械振動。常見的機械振動往往是周期性的，即每隔一個固定時間T ，物體的運動狀態（）就完全重

3、復一次。T 稱為周期。在單位時間內，運動狀態完全重復的次數稱為頻率。當然振動也可能是非周期性的，即T 不等或各次的振幅有變化。質點作機械振動時，來回往復的軌道，可以是直線（諧振子），可以是平面曲線（單擺），甚至是在空間內的曲線。從數學上可證明，這些平面或空間的振動都可以認為是由若干個簡單的直線振動疊加而成的。就象平面曲線運動是由若干個簡單的直線運動疊加而成的一樣。我們把最簡單的周期性直線振動稱為簡諧振動。這就是諧振動的特點：（1）具有周期性；（2）軌跡為直線。本章只討論諧振動。可以證明任何復雜的振動都可以認為是由幾個或很多個諧振動合成的。我們在做示波器實驗時已經體會到這一點。從這個意義上我們可

4、以說簡諧振動是振動學最基本的內容。本章討論八個問題： 一、諧振動的定義 為了幫助大家更好地掌握和判別諧振動，現從兩個不同的角度來定義它。首先從物體的受力角度來表述其定義，看看作諧振動的物體所受的合外力有什么特點。1、諧振動的動力學定義：物體在線性回復力作用下的運動稱為諧振動。線性回復力的公式 （1）從（1）式中可以體會到三點物理內容：（1）與的一次方成正比，即為“線性”二字的含義。（2）當時，。即運動物體存在一個平衡位置（做題時常將坐標原點選在平衡位置），在這個平衡位置上，物體不受力或受合力為0。（3）式中負號表明：永遠與位移方向相反，即力總是指向平衡位置。這就是回復二字的含義。下面以彈簧振子

5、為例來探討一下在線性回復力作用下的物體運動情況，并找出形成機械振動的成因：O 物體在線性回復力作用下運動到平衡位置（處）。這時物體所受合力為0，但由于物體本身的慣性，又會重新偏離平衡位置，從而使振動繼續下去。因此：機械振動的成因體所受合力為0，但由于物體本身的慣性，又會重新偏離平衡位置，從而使振動繼續下去。因此機械振動的成因是物體所受的回復力和物體所具有的慣性。給出了諧振動的動力學定義就等于給出了判斷一個直線振動是否為諧振動的判據。諧振動的動力學判據：當物體所受的合外力與位移反向而成正比時，物體的運動為諧振動。例1、質量為的小球，在半徑為R 的光滑半球形碗底附近的運動是否為諧振動？X坐標原點選

6、在小球的平衡位置。當偏離平衡點時，合外力大小。因為較小時，小球運動的弧線軌跡近似等于小球的水平 ）0水平位移，即：引入位移概念后，考慮到的方向： ,負號意為與反向。）因為小球始終受一個線形回復力作用，小球的運動是諧振動。若將此題中的R 以擺長代替，就得到單擺小角度擺動的情況，當擺角較小時，單擺的運動也可視為諧振動。例2、小球在地面上作完全彈性的上下跳動是否是諧振動？分析：小球在上、下跳動的過程中，小球的運動符合諧振動的特征（1、運動的軌跡是直線；2、具有周期性），小球離開地面時受重力作用，合外力不為0，平衡位置只可能發生在小球與地面碰撞時，建立坐標如圖： 解：小球在與地面碰撞過程中，受到兩個作

7、用力：小球的重力和地面對小球的沖力：，現用動量定理來檢驗合外力是否為0。假設碰撞前速度為，碰后速度為，由動量定理。即碰撞過程中小球所受合力，在碰撞以外，小球始終受重力。所以小球在運動過程中不存在一個受力為0的平衡位置。所以，它的運動不是諧振動。過程中小球所受合外力，在碰撞以外，小球始終受重力。所以小球在運動過程中所受的合外力不滿足線性回復力的條件（不存在一個受力為0的平衡位置），所以，它的運動不是諧振動。（1）式中F為合外力，根據牛二，（1）式可寫成： 令； 即 稱為圓頻率，它是系統在秒內完成的全振動次數。它與周期T和頻率是屬于同一性質的物理量，都是用來描述振動快慢的物理量，因而它們之間必定存

8、在一定的關系：=。將代入上式，有： （1）*諧振動的動力學定義也可以用（1）*式微分方程表達。2、諧振動的運動學定義上面是從物體受力情況來定義諧振動的，在線性回復力的作用下物體的位移隨時間的變化規律是什么呢？現從運動學的角度出發，如何判斷一個直線振動是否為諧振動。運動學的主要任務是解決物體何時在何處、處何狀態的問題。這一點是由質點的運動方程來體現的。解微分方程（1）得： （2）（2）式中的A，是常數，它們與振動系統的初始條件有關（后面有證明）。（2）式是的函數關系式。很顯然，它是一運動方程。從運動學角度來看，它解決了諧振動物體何時在何處處在何狀態的問題。將（2）式兩邊同時對求導有： （3） （

9、4）（2）式解決了物體何時在何處，處在何狀態（）的問題。由此得到諧振動的運動學定義：作直線振動的質點的坐標X 隨時刻而變化的規律，遵從余弦函數（或正弦函數）時，這一直線振動稱為諧振動。 總結：需要強調的是，對所研究的簡諧振動來說，動力學定義和運動學定義是等效的。有兩個理由：從數學角度來說，前者是方程，后者是解。從物理意義上說，前者是因（正因為受線性回復力作用），后者是果（物體才作正弦或余弦函數運動）。二、描述諧振動的三個重要物理量1、振幅運動學含義：振動物體偏離平衡位置的最大位移。即：動力學含義：回復力做功，使諧振子有能量。振幅A 標志了系統總能量的大小。（）2、周期T 、頻率、圓頻率它們都表

10、示振動的快慢，三者的關系是：。現在只討論T。運動學含義：完成一次全振動所需要的時間。動力學含義：反映了振動系統的力學性質。（從彈簧振子、單擺等的周期來看，其中反映了振動系統的力學性質。有時稱為系統的固有周期和固有頻率。因而，是由振動系統本身的力學性質決定的。例3、證明圖示系統諧振動的圓頻率均為。（1）將向右偏離平衡位置0 處位置，此時，受力。（負號意為與反向），即： ，有：(2)將向右偏離平衡位置0 處位置，此時：。同理有：（2）（1）例4、如圖兩個質量均為，擺長均為的單擺由圖示位置同時由靜止放手后，它們在何處相碰？解：因為的周期相同，故經1/4周期后，兩擺在平衡處相碰。03、周相（）周相包括

11、括號內全部內容。它是反映質點振動狀態的物理量。由（2）、（3）、（4）式知三個狀態參量都與周相發生關聯。物體在一周期內經歷的各狀態沒有一個相同，這就如同：把人走路的姿勢用攝影機拍下，在一周期內（即左、右兩步）沒有一個姿勢是一樣的。當振幅為已知時，任一時刻的周相可以完全決定該時刻質點的振動狀態（）。整個諧振動在一周期內的運動狀態，完全可用周相在0之間的變化反映出來。當時，周相為。也稱為初相。即反映時系統振動狀態的物理量。求振動系統的初相是本章重點之一。將代入 中，有 根據式，就可求得初相。例3：一質點作諧振動，周期為T，當它由平衡位置向X軸正方向運動時，從1/2最大位移處到最大位移處這段路程所需

12、的時間為多少？ 解：表面看這一題是求時間，但與求初相有著密切聯系。以 處為計時零點，有：，得（其中）。由，取。質點的振動方程為：。設從計時處（）到A所用的時間為，解得： 。從數學上看，用時間來描述振動過程與用位相來描述運動過程只是參量的變換而已。振動的特征是運動的周期性。對一個周期性運動，我們感興趣的是一個周期內的振動狀態的變化（即：的變化）。我們只需分析任一周期內的振動狀態的變化，就能描述全部振動過程。顯然，用一個周期內的不同時刻（對應于周相的變化）來描述周期性運動比用連續的時間要方便。比如人們日常生活通常是按24小時內不同時刻來描述的。例：我們早晨7：50上課，12時午飯，下午2：30上課

13、，5：30下課。這樣已經描述了學生的學習生活狀況，完全沒有必要說：“自地球形成之日開始計算，經過若干若干秒后干什么”。這種連續計時的描述反而變得不合理了。位相是用弧度表示，已經不如時間那樣使人習慣。與一周期對應的位相變化是0。三、諧振動中三個狀態參量之間的位相關系（2）式兩邊對時間求導，即得作諧振動的質點的振動速度： （3）為了便于與位移的周相進行比較，根據，將（3）式寫成:其中，由此知：速度的周相比位移的周相超前。若（2）式中的取。可得右圖由于一個周期內周相變化為2，所以，表明的位相比超前T/4周期。aA的位相比x超前或落后，即比x超前或落后T/2將（3）式對時間求導數，得振動質點的加速度：

14、 （4）為了便于與位移的周相進行比較，將（4）式寫成:，由此知：加速度的周相比位移的周相超前或落后。見上圖。思考題：在什么情況下，諧振動的速度、加速度是同號的？在什么情況下異號？加速度為正值時，振動質點一定是加快運動嗎？加速度為負值時，振動質點一定是減慢運動嗎？解答：物體作諧振動時，加速度的方向恒指向平衡位置（因為物受回復力作用），所以，當物體從位移最大處向平衡位置運動時，速度和加速度是同號的，由平衡位置向位移最大位置運動時，速度、加速度是異號的。加速度是反映物體運動速度變化的物理量，速度與加速度的正負號是相對所選定的坐標而言的。所以單純從速度、加速度的正負是不能反映物體是加速還是減速，只有當

15、加速度和速度同號時（即方向相同），才對物體加速，當加速度和速度異號時（即方向相反），物體減速。即：物體由平衡位置向最大位移處運動時，物作減速運動，物體由最大位移處向平衡位置運動時，物作加速運動。5507、圖中三條曲線分別表示諧振動的位移、速度和加速度，試指出曲線1、2、3分別表示什么曲線？2t由三者的位相關系知：曲線1、2、3分別表示。四、振幅和初相的確定由諧振動運動學方程知，為函數和變量，是表征振動系統的力學性質的物理量，剩下的只是兩個量。如何求得呢？由，當時，代入左式，有： 聯立兩式得： （5）及 （6）由此知：可由振動系統的初始條件來決定。對上述四個問題的小結：有了振動系統的力學性質以及

16、初始條件就完全可以寫出具體的振動方程。根據振動系統的力學性質及初始條件，寫出具體的振動方程也是本章的重點。例4、一彈性系數為的輕彈簧，上端固定在頂板上，下端懸掛質量為兩個物體，見圖，如開始時處于靜止狀態，現把連接兩物體的連線剪斷，求：（1）的最大速度和最大加速度：（2）與彈簧組成的振動系統的振動方程。解：剪斷后，組成振動系統，所以。決定振動系統的初始條件，顯然，把以選在剪斷連線的瞬間。取所受合外力為零的位置為坐標原點，建立坐標系：0（1）當時，。于是有： ，。（2）。五、諧振動的矢量圖示法在振動方程中，除變量外，另三個物理量的具體含義可借助于旋轉矢量來作進一步理解。A、也是描述諧振動的三個特征

17、量。0假設長度為A 的旋轉矢量在平面內繞0點以勻角速度逆時針旋轉（角速度與圓頻率等值）其中，是時旋轉矢量的位置。它與X 軸的夾角為（與初相等值）。在任意時是時旋轉矢量的位置。它與X 軸的夾角為（與初相等值）。在任意刻與軸之間夾角與諧振動在該時刻的周相相等。的端點M 在軸上的投影點P 點的位移是一個周期性函數：，由運動學定義知，P 點的運動是諧振動。它可以代表某一個振幅為A 、初相為、圓頻率為的諧振動。旋轉一周所用的時間即是諧振動的周期；一秒鐘轉過的圈數即是諧振動的頻率。上節課的重點放在：（1）判斷直線振動是否為諧振動（2）求振動系統的初相（3）已知系統的力學性質和初始條件，求具體的振動方程。

18、六、諧振動的能量諧振子是作一維的直線平動，所以其振動平動動能可寫為： （7）隨時間作周期性變化，在一個周期內，當周相為時，（平衡位置處）； 當周相為時，（最大位移處）。振子是在線性回復力作用下作諧振動的，其振動勢能： （8）也隨時間作周期性變化，當周相為時，（最大位移處）； 當周相為時，（平衡位置處）。我們注意到：在平衡位置處，而在最大位移處 ，。振子的總機械能 （9）由此知：盡管作諧振動的物體的動能與勢能分別隨時間作周期性變化，但振子的總能量卻保持恒定，不隨時間變化。諧振子在運動過程中，動能和勢能相互轉化而保持總能量不變。符合機械能守恒與轉換定律。這也是因為系統（彈簧和振子）只受保守內力（線

19、性回復力）作用的結果。物體在任一位置時，有： ，將該式對時間求導數，得：，即振子所受合外力。考慮到是彈簧作用于振子的保守內力，而彈簧和振子組成的系統所受的外力（重力、彈力）不作功，又不存在非保守內力，所以，機械能守恒。上面的結果表明：從諧振動機械能守恒性質又可以歸結到諧振動的微分方程，這說明兩者是一致的。實際上這是針對同一客觀現象能量關系轉化成運動學關系。這和把物體自由下落的能量關系轉換成運動學關系是類似的情況。對于作諧振動的一定振動系統，振動的總能量與振幅的平方成正比：，這個規律具有普遍意義，對其他形式的振動及波動，也是適用的。3028、一彈簧振子作簡諧振動，總能量為，如果諧振動振幅增為原來

20、的四倍，則它的總能量變為（16）。七、振動的合成一個質點同時參與幾個振動的情況，由運動疊加原理，質點最終的運動實際上是幾個振動的合成。下面討論兩種簡單情況：1、同方向、同頻率的簡諧振動的合成設一質點在一直線上同時進行兩個獨立的同頻率的簡諧振動。以該直線為X 軸，質點的平衡位置為原點，兩個諧振動的方程可分別寫為：。意味同方向，無下標意為同頻率，下標1、2意為兩個獨立的振動。由運動的合成知，合位移仍在同一直線上，且為上述兩位移的代數和。即： （10）由諧振動定義知，合振動如為諧振動，須滿足：（1）軌跡為直線；（2）具有周期性（不變或A 為常數）。由運動的合成知，合位移仍在x軸上，即軌跡為直線，現利

21、用旋轉矢量法討論合振動是否具有周期性。并將（10）式寫成的標準形式。根據諧振動的矢量圖示法，兩諧振動可以表示成如圖所示的兩旋轉矢量，由于兩旋轉矢量的角速度相等，可得出振幅A為一常量且具有與相同的角速度。故斷定合成振動也為諧振動。X應用三角學恒等式關系： （11） （12）其中是與方向的夾角。有兩個特例：（1）當 ） 此時 合振幅最大； （2）當 ） 合振幅最小。可見，二振動的周相差對合振動起著重要的作用。2、同方向、不同頻率的簡諧振動的合成設兩個諧振動的圓頻率分別為，即在諧振動圖示法里，轉動的角速度不同，因而周相差將隨時間變化。合振幅 的大小及合振動的圓頻率都隨時間改變。這時的合振動雖然與原來振動方向相同，但不再是簡諧振動。也有兩種特例：（1） 當方向相同時，兩振動的周相相同，合振動的振幅最大。，(1) (（1（1）(2)見圖（1）。 （2）當方向相背時，兩振動的周相相反，合振動的振幅最小。，見圖（2）。若表明單位時間內比多振動次。即比多轉周。多轉一周，出現兩個矢量恰在相同方向和相反方向各一次，故在單位時間內，兩個矢量恰在相同方向和相反方向的次數為次，這樣合振動將加強和減弱各次，這樣的兩個同方向簡諧振動在合成時，由于周期的微小差別而造成的合振幅時而加強、時而減弱的現象稱