1、第二章 幾個重要的不等式1 1柯西不等式柯西不等式1.簡單形式的柯西不等式 名師點撥名師點撥 1.定理1的幾點說明:(1)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+b2d2+a2d2+b2c2=(ac+bd)2+(ad-bc)2(ac+bd)2,這里用了放縮法.因為(ad-bc)20,所以簡單形式的柯西不等式中等號成立的充要條件是(ad-bc)2=0,即ad=bc.2.簡單形式的柯西不等式反映了4個實數之間的特定數量關系,不僅在排列形式上規律明顯,具有簡潔、對稱的美感,而且在數學和物理中有重要作用.【做一做1】 下列不等式中,不一定成立的是()解析:由柯西不等式可知A,B,C項均成立,D項不成立

2、.答案:D【做一做2】 若a=(cos ,sin ),b=(3cos 2,3sin 2),則ab的取值范圍是.解析:由已知得|a|=1,|b|=3,而由|可知|ab|a|b|=3,所以-3ab3,即ab的取值范圍是-3,3.答案:-3,32.一般形式的柯西不等式名師點撥名師點撥 一般形式的柯西不等式是二維形式、三維形式、四維形式的柯西不等式的歸納與推廣,其特點可類比二維形式的柯西不等式來總結,左邊是平方和的積,右邊是積的和的平方.在使用時,關鍵是構造出符合柯西不等式的結構形式.【做一做3】 若a,b,c,x,y,zR,且a2+b2+c2=4,x2+y2+z2=9,則ax+by+cz的取值范圍是

3、.解析:由三維形式的柯西不等式可得(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)(ax+by+cz)2,即(ax+by+cz)249=36,所以-6ax+by+cz6.答案:-6,6答案:(1)(2)(3)(4)探究一探究二思維辨析分析根據柯西不等式的結構,可將欲證不等式右邊添乘cos2+sin2,以符合柯西不等式的形式,再進行論證和推理.探究一探究二思維辨析反思感悟反思感悟 利用柯西不等式證明不等式時,有時需要將數學表達式進行適當變形,常見的變形技巧有下面幾種:(1)結構的巧變(2)常數的巧拆在運用柯西不等式時,根據題中的數字特征,對常數進行巧拆是一種常用技巧.探究一探究二思維辨析探究一探究二思維

4、辨析探究一探究二思維辨析反思感悟反思感悟 利用柯西不等式向量形式解決問題的技巧與方法利用二維形式柯西不等式的代數形式解決問題時常需要構造兩列數,同樣,向量形式的柯西不等式需要構造兩個向量,通常我們使構造的向量滿足待證不等式一側的形式,再證另一側.同時要注意向量模的計算公式探究一探究二思維辨析變式訓練變式訓練2已知a,bR+,且a+b=1.求證:(ax+by)2ax2+by2.探究一探究二思維辨析分析根據柯西不等式的形式給式子進行變形,注意等價性.探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析反思感悟反思感悟 利用柯西不等式求最值的關鍵是根據已知條件,構造符合柯西不等式的形式及特點,然后利用柯西不等式求解最值,構造符合柯西不等式的形式時,可以有以下幾種方法:(1)巧乘常數;(2)添項;(3)改變式子的結構;(4)重新安排各項的次序等.探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析探究一探究二思維辨析糾錯心得糾錯心得 柯西不等式在求二元代數式的最值中具有重要的應用,解題中,一是要熟記柯西不等式的基本形式及其各種變式,二是要注意不等式中等號成立的條件,這是能否取得相應最值的關鍵,如果公式記憶不準確,忽視等號成立的條件,就容易導致錯誤.探究一探究二思維辨析答案:3 12345答案:D 12345答案:C 123453.已知a,b,x1,x2(0,+),則使不等式(ax1+bx2)