1、實驗三 連續時間LTI系統的頻域分析一、實驗目的1、掌握系統頻率響應特性的概念及其物理意義；2、掌握系統頻率響應特性的計算方法和特性曲線的繪制方法，理解具有不同頻率響應 特性的濾波器對信號的濾波作用；3、學習和掌握幅度特性、相位特性以及群延時的物理意義；4、掌握用MATLAB語言進行系統頻響特性分析的方法。基本要求：掌握 LTI連續和離散時間系統的頻域數學模型和頻域數學模型的MATLAB描述方法，深刻理LTI系統的頻率響應特性的物理意義， 理解濾波和濾波器的概念，掌握利 用MATLAB計算和繪制LTI系統頻率響應特性曲線中的編程。二、實驗原理及方法1連續時間LTI系統的頻率響應所謂頻率特性，也

2、稱為頻率響應特性，簡稱頻率響應(Frequency response),是指系統 在正弦信號激勵下的穩態響應隨頻率變化的情況，包括響應的幅度隨頻率的變化情況和響應 的相位隨頻率的變化情況兩個方面。x(t)、y(t)分別為系統的時域激勵信號和響應信號，h(t)是系統的單位沖激響應，它們三者之間的關系為：y(t) =x(t)* h(t)，由傅里葉變換的時域卷積定理可得到：Y( j 0 = X( j )H (j )3.1Y( j )或者：H(j J3.2Xj)H(j )為系統的頻域數學模型，它實際上就是系統的單位沖激響應h(t)的傅里葉變換。即O0H(j ) = h(t)etdt3.3由于H(j )

3、實際上是系統單位沖激響應h(t)的傅里葉變換，如果 h(t)是收斂的，或者 說是絕對可積(Absolutly integrabel)的話，那么 H(j )一定存在，而且H(j )通常是復數，因此，也可以表示成復數的不同表達形式。在研究系統的頻率響應時，更多的是把它表示成極坐標形式：H(jB)=|H(jB)ej加3.4上式中，H(jco)稱為幅度頻率相應(Magnitude response )，反映信號經過系統之后，信號各頻率分量的幅度發生變化的情況，：(-)稱為相位特性(Phase response )，反映信號經過系統后，信號各頻率分量在相位上發生變換的情況。H(j )和:()都是頻率的函

4、數。對于一個系統，其頻率響應為H(j)，其幅度響應和相位響應分別為H ()和護()，如果作用于系統的信號為x(t)二ejr，則其響應信號為y(t) =H(jm°)ej 卿十(血0)卜加小=Hgje®叫)3.5若輸入信號為正弦信號，即x(t) = sin(.0t)，則系統響應為y(t)二 H (j (sin(說)T H (j J 1 sin(聯 (O3.6可見，系統對某一頻率分量的影響表現為兩個方面，一是信號的幅度要被H(j時)加權，二是信號的相位要被J移相。由于H(jeo)和®(灼)都是頻率co的函數，所以，系統對不同頻率的頻率分量造成的幅 度和相位上的影響是不同

5、的。2 LTI系統的群延時從信號頻譜的觀點看，信號是由無窮多個不同頻率的正弦信號的加權和(Weightedsum)所組成。正如剛才所述，信號經過LTI系統傳輸與處理時，系統將會對信號中的所有頻率分量造成幅度和相位上的不同影響。從相位上來看，系統對各個頻率分量造成一定的相位移(Phase shifting),相位移實際上就是 延時(Time delay)。群延時(Group delay)的 概念能夠較好地反映系統對不同頻率分量造成的延時。LTI系統的群延時定義為：():do3.7群延時的物理意義：群延時描述的是信號中某一頻率分量經過線性時不變系統傳輸處理 后產生的響應信號在時間上造成的延時的時間

6、。如果系統的相位頻率響應特性是線性的，則群延時為常數，也就是說，該系統對于所有的頻率分量造成的延時時間都是一樣的，因而，系統不會對信號產生相位失真(Phasedistortion)。反之，若系統的相位頻率響應特性不是線性的，則該系統對于不同頻率的頻率 分量造成的延時時間是不同的，因此，當信號經過系統后，必將產生相位失真。3用MATLAB計算系統頻率響應在本實驗中，表示系統的方法仍然是用系統函數分子和分母多項式系數行向量來表示。 實驗中用到的MATLAB函數如下：H,w = freqs(b,a) : b,a分別為連續時間LTI系統的微分方程右邊的和左邊的系數向量(Coefficients vec

7、tor)，返回的頻率響應在各頻率點的樣點值(復數)存放在 H中，系統默認的樣點數目為200點；Hm = abs(H):求模數，即進行 Hm=|H運算，求得系統的幅度頻率響應，返回值 存于Hm之中。real(H):求H的實部；imag(H):求H的虛部；phi = atan(-imag(H)./(real(H)+eps):求相位頻率相應特性，atan()用來計算反正切值;或者phi = angle(H):求相位頻率相應特性；tao = grpdelay(num,den,w):計算系統的相位頻率響應所對應的群延時。計算頻率響應的函數freqs()的另一種形式是：H = freqs(b,a,w):在

8、指定的頻率范圍內計算系統的頻率響應特性。在使用這種形式 的freqs/freqz函數時，要在前面先指定頻率變量w的范圍。例如在語句 H = freqs(b,a,w)之前加上語句：w = 0:2*pi/256:2*pi 。下面舉例說明如何利用上述函數計算并繪制系統頻率響應特性曲線的編程方法。假設給定一個連續時間LTI系統，下面的微分方程描述其輸入輸出之間的關系d2y(t)dt編寫的MATLAB范例程序，繪制系統的幅度響應特性、相位響應特性、頻率響應的實 部和頻率響應的虛部。程序如下：% Program3_1% This Program is used to compute and draw th

9、e plots of the freque ncy resp onse% of a continu ous-time systemb = 1;a = 1 3 2;% The coefficie nt vector of the right side of the differe ntial equati on % The coefficie nt vector of the left side of the differe ntial equati onH,w = freqs(b,a);Hm = abs(H); phai = an gle(H);Hr = real(H);Hi = imag(H

10、); subplot(221) plot(w,Hm), grid on, subplot(223) plot(w,phai), grid on, subplot(222)% Compute the freque ncy resp onse H% Compute the magn itude resp onse Hm% Compute the phase resp onse phai% Compute the real part of the freque ncy resp onse% Compute the imagi nary part of the freque ncy resp onse

11、title('Mag nitude resp on se'),xlabel('Freque ncy in rad/sec')title('Phase resp on se'), xlabel('Freque ncy in rad/sec')plot(w,Hr), grid on, title('Real part of freque ncy resp on se'), xlabel('Freque ncy in rad/sec')subplot(224)plot(w,Hi), grid on,tit

12、le('Imagi nary part of freque ncy resp on se'),xlabel('Freque ncy in rad/sec')三、實驗內容及步驟 范例程序。實驗開始時，先在計算機上運行這些范例程序，觀察所得到的信號的波形圖。并 結合范例程序所完成的工作，進一步分析程序中各個語句的作用，從而真正理解這些程序。實驗前，必須首先閱讀本實驗原理，了解所給的MATLAB相關函數，讀懂所給出的全部包括事先編寫好相應的Eq.3.1Eq.3.2實驗前，一定要針對下面的實驗項目做好相應的實驗準備工作, 實驗程序等事項。給定三個連續時間LTI系統，它們

13、的微分方程分別為2系統1:旳1如25y(t)=蟻dtdtdt系統2:駛y(t)些一 x(t)dtdt紳10牌dt6dt5系統3:48d y4t) 148d y3t) 306d y2t) 401dy 262y(t) = 262x(t)dtdtdtdtEq.3.3Q3-1修改程序Program3_1，并以Q3_1存盤，使之能夠能夠接受鍵盤方式輸入的微分方程系數向量。并利用該程序計算并繪制由微分方程Eq.3.1、Eq.3.2和Eq.3.3描述的系統的 幅度響應特性、相位響應特性、頻率響應的實部和頻率響應的虛部曲線圖。抄寫程序Q3_1如下：clear,close all;a = in put('

14、;微分方程左邊的系數：)；b = input('微分方程右邊的系數：)；H,w = freqs(b,a);Hm = abs(H);phai = an gle(H);Hr = real(H);Hi = imag(H);subplot(221)plot(w,Hm),grid on,title('Mag nitude resp on se'),xlabel('Freque ncy in rad/sec')subplot(223)plot(w,phai),grid on,title('Phase resp on se'),xlabel('

15、Freque ncy in rad/sec')subplot(222)plot(w,Hr),grid on,title('Real part of freque ncy resp on se'),xlabel('Freque ncy in rad/sec')subplot(224)plot(w,Hi),grid on,title('Imagi nary part of freque ncy resp on se'),xlabel('Freque ncy in rad/sec')執行程序Q3_1，繪制的系統1的頻率響應特性曲

16、線如下:Mag nitude resp onseReal part of freque ncy resp onseFreque ncy in rad/secPhase responseFreque ncy in rad/secImag inary part of freque ncy resp onse從系統1的幅度頻率響應曲線看，系統1是低通、高通、全通、帶通 還是帶阻濾波器?答：帶通濾波器。執行程序Q3_1，繪制的系統2的頻率響應特性曲線如下:Mag nitude resp onse0.50-0.5-110Freque ncy in rad/secJReal part of freque

17、ncy resp onseFreque ncy in rad/secPhase responseImag inary part of freque ncy resp onseFreque ncy in rad/sec從系統2的幅度頻率響應曲線看，系統2低通、高通、全通、帶通 還是帶阻濾波器?答：低通濾波器。執行程序Q3_1，繪制的系統3的頻率響應特性曲線如下：Mag nitude resp onseReal part of freque ncy resp onseAFreque ncy in rad/secPhase responseFreque ncy in rad/secImag inar

18、y part of freque ncy resp onse從系統3的幅度頻率響應曲線看，系統 3是低通、高通、全通、帶通 還是帶阻濾波器? 答：帶阻濾波器。這三個系統的幅度頻率響應、 相位頻率相應、頻率響應的實部以及頻率響應的虛部分別具有 何種對稱關系？請根據傅里葉變換的性質說明為什么會具有這些對稱關系？答：Q3-2編寫程序Q3_2，使之能夠能夠接受鍵盤方式輸入的輸入信號x(t)的數學表達式，系統微分方程的系數向量，計算輸入信號的幅度頻譜，系統的幅度頻率響應，系統輸出信號 y(t)的幅度頻譜，系統的單位沖激響應h(t)，并按照下面的圖 Q3-2的布局，繪制出各個信號的時域和頻域圖形。20in

19、Dut signal kQ)16io10203C豹Impulse mgsponsE h(t) aFthe system0.6 0.6 CU -0 2 -|0丿 -0.2 L 01020加60ID2015?ia10二'?10-50Frequency in radisns/sacID圖 Q3-2你編寫的程序Q3 2抄寫如下:clear,close all;t = 0:0.01:40;T =0.01;dw =0.1;w=-4*pi:dw:4*pi;a = in put('微分方程左邊的系數： b = input('微分方程右邊的系數： x = input('表達式的輸

20、入信號x')；');(t)：')；subplot(323); impulse(b,a,40); axis(0 40 -0.2 1);grid on,title(' 系統單位沖擊響應 h(t)') subplot(321), plot(t,x) title(' 輸入信號 x(t):'); xlabel('t/s');subplot(325), y=lsim(b,a,x,t); plot(t,y) title(' 輸出信號 y(t)'); xlabel('t/s');X=x*exp(-j*t&#

21、39;*w)*T;X1=abs(X); subplot(322);plot(w,X1), axis(-4*pi 4*pi 0 20); grid on,title('輸入信號x(t)的幅度頻譜') xlabel('頻率弧度/秒')Y=y'*exp(-j*t'*w)*T;Y1=abs(Y); subplot(326) plot(w,Y1), axis(-4*pi 4*pi 0 20); grid on,title('輸出信號y(t)的幅度頻譜'); xlabel('頻率弧度/秒')H,w = freqs(b,a);H

22、m = abs(H);phai = angle(H);subplot(324) plot(w,Hm),grid on,title(' 系統的幅度頻率響應 :'),xlabel('頻率弧度/秒')執行程序Q3_2，輸入信號x(t) = sin(t) + sin(8t)，輸入由Eq.3.3描述的系統。得到的圖形如 下：此處粘帖執行程序 Q3_2所得到的圖形210-1-2輸入信號x(t):010203040t/s輸入信號x(t)的幅度頻譜系統的幅度頻率響應:1系統單位沖擊響應h(t)s,iid0.50510-r卄1oTl. i11,1-1 j Jlib110.50-0.5Time