1、 小時候，老師告訴我：人的體內都有一個勤奮小人和一個懶惰小人,當你猶豫不決時他們就會打架;小學時,勤奮小人經常把懶惰小人打得落花流水;初中時,就打成平手了;高中時,就是懶惰小人經常獲勝了;可是到了大學我忽然發現他們不打架了，原來勤奮小人被打死了 5-3 按疊加原理計算梁的撓度和轉角西南交通大學應用力學與工程系材料力學教研室西南交通大學應用力學與工程系材料力學教研室 EIwM x 線性微分方程FABlxeMq梁內任一橫截面的彎矩與載荷成線性齊次關系各荷載同時作用下，梁任一截面的撓度或轉角，等于各荷載分別單獨作用下同一梁同一截面撓度或轉角的代數和。 22eqxM xMFx1 1、梁在簡單載荷作用下

2、撓度、轉角應為已知或有變形、梁在簡單載荷作用下撓度、轉角應為已知或有變形表可查；表可查；2 2、疊加法適用于求梁個別截面的撓度或轉角值。、疊加法適用于求梁個別截面的撓度或轉角值。一、一、前提條件：前提條件：彈性、小變形。彈性、小變形。三、三、疊加法的特征：疊加法的特征：疊加法計算梁的變形疊加法計算梁的變形P1P2小變性條件：計算小變性條件：計算P2的作用時，的作用時，忽略忽略P1的作用對幾何尺寸的影響的作用對幾何尺寸的影響例：利用疊加原理求圖例：利用疊加原理求圖a所示彎曲剛度為所示彎曲剛度為EI的簡支的簡支 梁的跨中撓度梁的跨中撓度wC和兩端截面的轉角和兩端截面的轉角 A， B。解：可將原荷載

3、看成為圖解：可將原荷載看成為圖b所示關于跨中所示關于跨中C截面的正截面的正 對稱和反對稱荷載的疊加。對稱和反對稱荷載的疊加。qBACxyl/2l(a) (b) +Al/2CBl/2q/2q/2lACBq/21）對正對稱荷載，跨中截面）對正對稱荷載，跨中截面C的撓度和兩端的轉的撓度和兩端的轉角分別為：角分別為：EIqlEIlqwC768538425441EIqlEIlqBA48242331102Cw2）對反對稱荷載，跨中截面對反對稱荷載，跨中截面C的撓度等于零，并的撓度等于零，并可分別將可分別將AC段和段和CB段看成為段看成為l/2簡支梁，即有：簡支梁，即有：EIqlEIlqBA38424223

4、322EIqlEIqlwwwCCC7685068754421EIqlEIqlEIqlAAA12833844833321EIqlEIqlEIqlBBB38473844833321將相應的位移進行疊加，即得：將相應的位移進行疊加，即得：（向下向下）（順時針順時針）（逆時針逆時針）例：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為例：利用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的懸臂梁自的懸臂梁自由端由端B截面的撓度和轉角。截面的撓度和轉角。解：原荷載可看成為圖解：原荷載可看成為圖a和和b兩種荷載的疊加，對應兩種荷載的疊加，對應 的變形和相關量如圖所示。的變形和相關量如圖所示。FlllEIFABCDB1FC1wC1wC1C12l

5、直線直線wB1(a)D2B2wD1FD2BD直線直線wD2wB2(b)EIFlwC331EIFlC221EIFllEIFlEIFlBCwwCCB34223323111EIFlCB2211對圖對圖a，可得可得C截面的撓度和轉角為：截面的撓度和轉角為：由位移關系可得此時由位移關系可得此時B截面的撓度和轉角為：截面的撓度和轉角為：（向下向下）（順時針順時針）B1FC1wC1wC1C12l直線wB1(a)EIFllEIFlEIFlBDwwDDB3142438323222EIFlDB2122 EIlFwD3232 EIlPD2222對圖對圖b，可得可得D截面的撓度和轉角為：截面的撓度和轉角為：同理可得此

6、時同理可得此時B B截面的撓度和轉角為：截面的撓度和轉角為：（向下）（向下）（順時針）（順時針）D2B2wD1FD2BD直線wD2wB2(b) EIFlEIFlEIFlwwwBBB33321631434 EIFlEIFlEIFlBBB252222221將相應的位移進行疊加，即得：將相應的位移進行疊加，即得：（向下向下）（順時針順時針） 結構形式疊加（逐段剛化法結構形式疊加（逐段剛化法) ) 原理說明原理說明+等價等價等價等價BCPL2f1xy=AxPL1L2BCyyPABC剛化AC段PL1L2ABC剛化BC段PL1L2f2ABCMxf例：由疊加原理求圖示彎曲剛度為例：由疊加原理求圖示彎曲剛度為

7、EI的外伸梁的外伸梁C截面截面 的撓度和轉角以及的撓度和轉角以及D截面的撓度。截面的撓度。解：可將外伸梁看成是圖解：可將外伸梁看成是圖a和和b所示的簡支梁和懸臂所示的簡支梁和懸臂 梁的疊加。梁的疊加。BC(b)F=qaAEIDBqaqa2/2(a)ACaaaF=qaBDEI（1）對圖對圖a，其又可看成為圖其又可看成為圖c和和d所示荷載的組合所示荷載的組合。+AF=qa(c)qa2/2(d)圖圖c中中D截面的撓度和截面的撓度和B截面的轉角為：截面的轉角為：EIaqawD48231EIaqaB16221圖圖d中中D截面的撓度和截面的撓度和B截面的轉角為：截面的轉角為：EIqawD16242EIqa

8、B332EIqaEIqaEIqawwwDDD248644421EIqaEIqaEIaqaBBB12316233221將相應的位移進行疊加，即得：將相應的位移進行疊加，即得：（向下向下）（順時針順時針）（2）對圖對圖b，C截面的撓度和轉角分別為：截面的撓度和轉角分別為：EIqawCq84EIqaCq63 EIqaaEIqaEIqawC2451218434EIqaEIqaEIqaC4126333所以：所以：awwBCqCCqBC原外伸梁原外伸梁C端的撓度和轉角也可按疊加原理求得，即：端的撓度和轉角也可按疊加原理求得，即：（向下）（向下）（順時針）（順時針）ACaaaF=qaBDEIBCqBawCq

9、例：用疊加原理求圖示彎曲剛度為例：用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的梁的梁C截面撓度。截面撓度。解：原荷載可看成為圖解：原荷載可看成為圖a和和b兩種荷載的疊加。兩種荷載的疊加。+ACBl/2l/2aqACBq(a)ACBq(b)l/2-a而圖而圖a又可分解為圖又可分解為圖c和和d 所示情形，其變形如圖：所示情形，其變形如圖：EIlqwC3842/54102Cw+wC1ACBq/2q/2(d)ACBq/2(c)由此可得：由此可得：（向下）（向下）而圖而圖b又可分解為圖又可分解為圖e和和f 所示情形，其變形如圖：所示情形，其變形如圖：04CwwC3(e)q/2ACB+ACBq/2q/2(f)由此可得

10、：由此可得：為了求得為了求得wC3，圖圖e等效于圖等效于圖g所示情形，其中有：所示情形，其中有：BCww3并且：并且：42qalFBBFBDqDqCCCCCCwawwwwwww14321最后可得：最后可得：BFBDqDqBwaww+q/2D(h)wB(i)FBq/2FB(g)wBFBwDq+Dqa而：而：EIaalqEIalqEIlalqEIql962256296276853434例：用疊加原理求圖示變剛度梁例：用疊加原理求圖示變剛度梁C截面的撓度。截面的撓度。解：將解：將DE段取出，看成為支座有一定向下位移的簡段取出，看成為支座有一定向下位移的簡支梁，剪力支梁，剪力FSD，FSE看成支座反力

11、，彎矩看成支座反力，彎矩MD，ME看看成荷載，如圖成荷載，如圖a所示，圖中給出了其變形情況。所示，圖中給出了其變形情況。ABFEIEIEICl/4l/4l/4l/4DECDwDEFSDFSEMDMEF(a)其中：其中：2SSFFFED8FlMMED圖圖a又可分為圖又可分為圖b所示載荷的組合，變形情況如圖。所示載荷的組合，變形情況如圖。+DFwCFDMwCMMD=Fl/8DEMEDFE(b)EIFlEIlFwCF38448)2/(33EIFlEIlFDF6416)2/(22對圖對圖b所示分解，有：所示分解，有：EIFlEIlFlwCM2561628232 EIFlEIlFlEIlFlDM3262

12、83282 由相應的疊加原理可得：由相應的疊加原理可得：EIFlEIFlwwwCMCFC25638433EIFlEIFlDMDFD326422EIFlwwwDCC38473 由下圖所示的變形關系可得由下圖所示的變形關系可得D、E兩截面的兩截面的向下位移為：向下位移為：EIFllEIFllwwDED25634643432最后可得最后可得：（向下）（向下）ABFDCwDDE直線直線直線直線曲線曲線wC例：用疊加原理求圖示彎曲剛度為例：用疊加原理求圖示彎曲剛度為EI的懸臂梁的懸臂梁B截截面的撓度和轉角。面的撓度和轉角。解：分布荷載可看成為無數微小集中荷載所組成，解：分布荷載可看成為無數微小集中荷載所

13、組成，求梁的位移也可利用疊加原理。任取一個微段求梁的位移也可利用疊加原理。任取一個微段dx。xdxlABq0yxq(x) 可將該微段上的均布力看成為作用在可將該微段上的均布力看成為作用在x處的一處的一個微小集中力，討論此時自由端的位移，如圖個微小集中力，討論此時自由端的位移，如圖a所所示。示。xxABq(x)dxdwBl(a)xEIxxqEIxxxqxwd3)(3d)()(d33由附錄由附錄IV可知該微力作用下可知該微力作用下x處梁的位移為：處梁的位移為：xlxqxxqd)d(0 對圖對圖a所示任意截面所示任意截面x處取微段處取微段dx，則作用在微則作用在微段上的微集中荷載為：段上的微集中荷載

14、為：xEIxxqEIxxxqxd2)(2d)()(d22xEIxxqxBd2)()(dd2 在在x=0, l范圍對范圍對q(x)dx的作用進行疊加，相當于的作用進行疊加，相當于對上兩式在前述范圍內積分，即：對上兩式在前述范圍內積分，即：xEIxlxxqxlxxwwBd6)3()()()(d)(dd2其在其在B處產生的撓度和轉角分別為：處產生的撓度和轉角分別為：llBBEIlqxEIxxq030208d2)(dEIlqxEIxlxxqwwllBB12011d6)3()(d40020 max5-5 梁的剛度校核提高梁的剛度的措施1 1、梁的剛度校核 保證梁的正常工作除要滿足強度條件外，產生的保證梁

15、的正常工作除要滿足強度條件外，產生的變形也不能太大，應滿足剛度條件，即有：變形也不能太大，應滿足剛度條件，即有：lwlwmaxlw與與 為許可值，可查設計手冊。為許可值，可查設計手冊。其中，其中，西南交通大學應用力學與工程系材料力學教研室西南交通大學應用力學與工程系材料力學教研室例：圖示空心圓截面外伸梁，已知例：圖示空心圓截面外伸梁，已知D=80mm，d=40mm，E=200GPa，C點撓度不得大于點撓度不得大于AB跨長的跨長的10-4，B截面轉角不得大于截面轉角不得大于10-3rad，校核剛度校核剛度。解：首先解：首先可利用圖可利用圖a由疊加原理求由疊加原理求wC和和 B。 20020010

16、0ADBCF2=1kNF1=2kNDd (a)AF2CF1BlF1 BDEIlFwC48321EIlFB16221EIlBDFwC16212EIlBDFB312圖圖a可看成由圖可看成由圖b和和c的疊加而得，圖的疊加而得，圖b和和c分別有：分別有：wC1B1wC2B2ABF2(b)ACBM(c)疊加可得：疊加可得：EIlBDFEIlFwC16482132EIlBDFEIlFB3161224644m10885. 164dDI因為：因為：0.4mmm400l0.1mmm100BDN10231FN10132F所以：所以：mm10768. 110885. 1102164 . 01 . 010210885. 1102484 . 01036112361133Cwrad1042. 410885. 110234 . 01 . 010210885. 1102164 . 0105611361123B剛度滿足。剛度滿足。則：則：46101042. 4lwCrad103B2）減少梁的跨度或增加支承。減少梁的跨度或增加支承。2 2、提高剛