1、精選優質文檔-傾情為你奉上第一章習題解答1.1 給定三個矢量、和如下： 求：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）在上的分量；（6）；（7）和；（8）和。解 （1）（2）（3）11（4）由 ，得 （5）在上的分量 （6）（7）由于所以 （8） 1.2 三角形的三個頂點為、和。 （1）判斷是否為一直角三角形； （2）求三角形的面積。解 （1）三個頂點、和的位置矢量分別為 ，則 ， ，由此可見故為一直角三角形。 （2）三角形的面積 1.3 求點到點的距離矢量及的方向。解 ，則 且與、軸的夾角分別為1.4 給定兩矢量和，求它們之間的夾角和在上的分量。解 與之間的夾角為 在上的分量為 1.5 給定兩矢

2、量和，求在上的分量。解 所以在上的分量為 1.6 證明：如果和，則；解 由，則有，即由于，于是得到 故 1.7 如果給定一未知矢量與一已知矢量的標量積和矢量積，那么便可以確定該未知矢量。設為一已知矢量，而，和已知，試求。解 由，有故得 1.8 在圓柱坐標中，一點的位置由定出，求該點在：（1）直角坐標中的坐標；（2）球坐標中的坐標。解 （1）在直角坐標系中 、故該點的直角坐標為。（2）在球坐標系中 、故該點的球坐標為1.9 用球坐標表示的場，（1）求在直角坐標中點處的和；（2）求在直角坐標中點處與矢量構成的夾角。解 （1）在直角坐標中點處，故（2）在直角坐標中點處，所以故與構成的夾角為 1.10

3、 球坐標中兩個點和定出兩個位置矢量和。證明和間夾角的余弦為解 由 得到 1.11 一球面的半徑為，球心在原點上，計算： 的值。解 1.12 在由、和圍成的圓柱形區域，對矢量驗證散度定理。解 在圓柱坐標系中 所以 又 故有 1.13 求（1）矢量的散度；（2）求對中心在原點的一個單位立方體的積分；（3）求對此立方體表面的積分，驗證散度定理。解 （1）（2）對中心在原點的一個單位立方體的積分為 （3）對此立方體表面的積分 故有 1.14 計算矢量對一個球心在原點、半徑為的球表面的積分，并求對球體積的積分。解 又在球坐標系中，所以1.15 求矢量沿平面上的一個邊長為的正方形回路的線積分，此正方形的兩

4、邊分別與軸和軸相重合。再求對此回路所包圍的曲面積分，驗證斯托克斯定理。解 又 所以 故有 1.16 求矢量沿圓周的線積分，再計算對此圓面積的積分。解 1.17 證明：（1）；（2）；（3）。其中，為一常矢量。解 （1）（2） （3）設，則，故1.18 一徑向矢量場表示，如果，那么函數會有什么特點呢？ 解 在圓柱坐標系中，由 可得到 為任意常數。在球坐標系中，由 可得到 1.19 給定矢量函數，試求從點到點的線積分：（1）沿拋物線；（2）沿連接該兩點的直線。這個是保守場嗎？ 解 （1） （2）連接點到點直線方程為 即 故 由此可見積分與路徑無關，故是保守場。1.20 求標量函數的梯度及在一個指定

5、方向的方向導數，此方向由單位矢量定出；求點的方向導數值。 解 題1.21圖故沿方向的方向導數為 點處沿的方向導數值為1.21 試采用與推導直角坐標中相似的方法推導圓柱坐標下的公式。解 在圓柱坐標中，取小體積元如題1.21圖所示。矢量場沿方向穿出該六面體的表面的通量為同理因此，矢量場穿出該六面體的表面的通量為故得到圓柱坐標下的散度表達式 1.22 方程給出一橢球族。求橢球表面上任意點的單位法向矢量。解 由于 故橢球表面上任意點的單位法向矢量為1.23 現有三個矢量、為 （1）哪些矢量可以由一個標量函數的梯度表示？哪些矢量可以由一個矢量函數的旋度表示？（2）求出這些矢量的源分布。解（1）在球坐標系

6、中 故矢量既可以由一個標量函數的梯度表示，也可以由一個矢量函數的旋度表示；在圓柱坐標系中 故矢量可以由一個標量函數的梯度表示；直角在坐標系中 故矢量可以由一個矢量函數的旋度表示。 （2）這些矢量的源分布為 ，；，；，1.24 利用直角坐標，證明解 在直角坐標中1.25 證明解 根據算子的微分運算性質，有式中表示只對矢量作微分運算，表示只對矢量作微分運算。由，可得同理 故有 1.26 利用直角坐標，證明解 在直角坐標中所以1.27 利用散度定理及斯托克斯定理可以在更普遍的意義下證明及，試證明之。解 （1）對于任意閉合曲線為邊界的任意曲面，由斯托克斯定理有題1.27圖由于曲面是任意的，故有（2）對

7、于任意閉合曲面為邊界的體積，由散度定理有其中和如題1.27圖所示。由斯托克斯定理，有， 由題1.27圖可知和是方向相反的同一回路，則有 所以得到 由于體積是任意的，故有  第二章習題解答 2.1 一個平行板真空二極管內的電荷體密度為，式中陰極板位于，陽極板位于，極間電壓為。如果、橫截面，求：（1）和區域內的總電荷量；（2）和區域內的總電荷量。 解 （1） （2） 2.2 一個體密度為的質子束，通過的電壓加速后形成等速的質子束，質子束內的電荷均勻分布，束直徑為，束外沒有電荷分布，試求電流密度和電流。解 質子的質量、電量。由得 故 2.3 一個半徑為的球體內均勻分布總電荷量為的電荷，球體

8、以勻角速度繞一個直徑旋轉，求球內的電流密度。解 以球心為坐標原點，轉軸（一直徑）為軸。設球內任一點的位置矢量為，且與軸的夾角為，則點的線速度為球內的電荷體密度為故 2.4 一個半徑為的導體球帶總電荷量為，同樣以勻角速度繞一個直徑旋轉，求球表面的面電流密度。解 以球心為坐標原點，轉軸（一直徑）為軸。設球面上任一點的位置矢量為，且與軸的夾角為，則點的線速度為球面的上電荷面密度為故 2.5 兩點電荷位于軸上處，位于軸上處，求處的電場強度。解 電荷在處產生的電場為電荷在處產生的電場為故處的電場為2.6 一個半圓環上均勻分布線電荷，求垂直于圓平面的軸線上處的電場強度，設半圓環的半徑也為，如題2.6 圖所

9、示。解 半圓環上的電荷元在軸線上處的電場強度為 題 2.6圖在半圓環上對上式積分，得到軸線上處的電場強度為2.7 三根長度均為，均勻帶電荷密度分別為、和地線電荷構成等邊三角形。設，計算三角形中心處的電場強度。解 建立題2.7圖所示的坐標系。三角形中心到各邊的距離為題2.7圖則故等邊三角形中心處的電場強度為2.8 點電荷位于處，另點電荷位于處，空間有沒有電場強度的點？解 電荷在處產生的電場為 電荷在處產生的電場為處的電場則為。令，則有由上式兩端對應分量相等，可得到 當或時，將式或式代入式，得。所以，當或時無解； 當且時，由式，有解得但不合題意，故僅在處電場強度。29 一個很薄的無限大導電帶電面，

10、電荷面密度為。證明：垂直于平面的軸上處的電場強度中，有一半是有平面上半徑為的圓內的電荷產生的。解 半徑為、電荷線密度為的帶電細圓環在軸上處的電場強度為 題2.10圖故整個導電帶電面在軸上處的電場強度為而半徑為的圓內的電荷產生在軸上處的電場強度為2.10 一個半徑為的導體球帶電荷量為，當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉，如題2.10圖所示。求球心處的磁感應強度。解 球面上的電荷面密度為當球體以均勻角速度繞一個直徑旋轉時，球面上位置矢量點處的電流面密度為將球面劃分為無數個寬度為的細圓環，則球面上任一個寬度為細圓環的電流為 細圓環的半徑為，圓環平面到球心的距離，利用電流圓環的軸線上的磁場公式，則該細圓

11、環電流在球心處產生的磁場為 故整個球面電流在球心處產生的磁場為 2.11 兩個半徑為、同軸的相同線圈，各有匝，相互隔開距離為，如題2.11圖所示。電流以相同的方向流過這兩個線圈。（1）求這兩個線圈中心點處的磁感應強度；（2）證明：在中點處等于零；（3）求出與之間的關系，使中點處也等于零。解 （1）由細圓環電流在其軸線上的磁感應強度 得到兩個線圈中心點處的磁感應強度為 （2）兩線圈的電流在其軸線上處的磁感應強度為 題2.11圖所以 故在中點處，有 （3） 令 ，有 即 故解得 題 2.12圖2.12 一條扁平的直導體帶，寬為，中心線與軸重合，通過的電流為。證明在第一象限內的磁感應強度為 ， 式中

12、、和如題2.12圖所示。解 將導體帶劃分為無數個寬度為的細條帶，每一細條帶的電流。由安培環路定理，可得位于處的細條帶的電流在點處的磁場為則 所以 2.13 如題2.13圖所示，有一個電矩為的電偶極子，位于坐標原點上，另一個電矩為的電偶極子，位于矢徑為的某一點上。試證明兩偶極子之間相互作用力為 題 2.13圖式中，是兩個平面和間的夾角。并問兩個偶極子在怎樣的相對取向下這個力值最大？解 電偶極子在矢徑為的點上產生的電場為所以與之間的相互作用能為因為，則 又因為是兩個平面和間的夾角，所以有 另一方面，利用矢量恒等式可得因此 于是得到 ()故兩偶極子之間的相互作用力為 ()() 由上式可見，當時，即兩

13、個偶極子共線時，相互作用力值最大。2.14 兩平行無限長直線電流和，相距為，求每根導線單位長度受到的安培力。解 無限長直線電流產生的磁場為 直線電流每單位長度受到的安培力為 式中是由電流指向電流的單位矢量。同理可得，直線電流每單位長度受到的安培力為 2.15 一根通電流的無限長直導線和一個通電流的圓環在同一平面上，圓心與導線的距離為，如題2.15圖所示。證明：兩電流間相互作用的安培力為題2.15圖 這里是圓環在直線最接近圓環的點所張的角。解 無限長直線電流產生的磁場為圓環上的電流元受到的安培力為由題2.15圖可知 所以 2.16 證明在不均勻的電場中，某一電偶極子繞坐標原點所受到的力矩為。解

14、如題2.16圖所示，設，則電偶極子繞坐標原點所受到的力矩為題2.16 圖當時，有故得到 第三章習題解答3.1 真空中半徑為的一個球面，球的兩極點處分別設置點電荷和，試計算球赤道平面上電通密度的通量(如題3.1圖所示)。赤道平面題3.1 圖解 由點電荷和共同產生的電通密度為則球赤道平面上電通密度的通量3.2 1911年盧瑟福在實驗中使用的是半徑為的球體原子模型，其球體內均勻分布有總電荷量為的電子云，在球心有一正電荷（是原子序數，是質子電荷量），通過實驗得到球體內的電通量密度表達式為，試證明之。解 位于球心的正電荷球體內產生的電通量密度為 原子內電子云的電荷體密度為 題3. 3圖電子云在

15、原子內產生的電通量密度則為 故原子內總的電通量密度為 3.3 電荷均勻分布于兩圓柱面間的區域中，體密度為, 兩圓柱面半徑分別為和，軸線相距為，如題3.3圖所示。求空間各部分的電場。解 由于兩圓柱面間的電荷不是軸對稱分布，不能直接用高斯定律求解。但可把半徑為的小圓柱面內看作同時具有體密度分別為的兩種電荷分布，這樣在半徑為的整個圓柱體內具有體密度為的均勻電荷分布，而在半徑為的整個圓柱體內則具有體密度為的均勻電荷分布，如題3.3圖所示?？臻g任一點的電場是這兩種電荷所產生的電場的疊加。在區域中，由高斯定律，可求得大、小圓柱中的正、負電荷在點產生的電場分別為 題3. 3圖點處總的電場為 在且區域中，同理

16、可求得大、小圓柱中的正、負電荷在點產生的電場分別為 點處總的電場為 在的空腔區域中，大、小圓柱中的正、負電荷在點產生的電場分別為 點處總的電場為 3.4 半徑為的球中充滿密度的體電荷，已知電位移分布為 其中為常數，試求電荷密度。解：由，有 故在區域 在區域 3.5 一個半徑為薄導體球殼內表面涂覆了一薄層絕緣膜，球內充滿總電荷量為為的體電荷，球殼上又另充有電荷量。已知球內部的電場為，設球內介質為真空。計算：（1） 球內的電荷分布；（2）球殼外表面的電荷面密度。解 （1） 由高斯定律的微分形式可求得球內的電荷體密度為（2）球體內的總電量為 球內電荷不僅在球殼內表面上感應電荷，而且在球殼外表面上還要

17、感應電荷，所以球殼外表面上的總電荷為2，故球殼外表面上的電荷面密度為 3.6 兩個無限長的同軸圓柱半徑分別為和，圓柱表面分別帶有密度為和的面電荷。（1）計算各處的電位移；（2）欲使區域內，則和應具有什么關系？解 （1）由高斯定理，當時，有 當時，有 ，則 當時，有 ，則 （2）令 ，則得到 3.7 計算在電場強度的電場中把帶電量為的點電荷從點移到點時電場所做的功：（1）沿曲線；（2）沿連接該兩點的直線。解 （1）（2）連接點到點直線方程為 即 故3.8 長度為的細導線帶有均勻電荷，其電荷線密度為。（1）計算線電荷平分面上任意點的電位；（2）利用直接積分法計算線電荷平分面上任意點的電場，并用核對

18、。解 （1）建立如題3.8圖所示坐標系。根據電位的積分表達式，線電荷平分面上任意點的電位為題3.8圖 （2）根據對稱性，可得兩個對稱線電荷元在點的電場為故長為的線電荷在點的電場為由求，有3.9 已知無限長均勻線電荷的電場，試用定義式求其電位函數。其中為電位參考點。解 由于是無限長的線電荷，不能將選為無窮遠點。3.10 一點電荷位于，另一點電荷位于，求空間的零電位面。解 兩個點電荷和在空間產生的電位令，則有 即 故得 由此可見，零電位面是一個以點為球心、為半徑的球面。3.11 證明習題3.2的電位表達式為 解 位于球心的正電荷在原子外產生的電通量密度為 電子云在原子外產生的電通量密度則為 所以原

19、子外的電場為零。故原子內電位為3.12 電場中有一半徑為的圓柱體，已知柱內外的電位函數分別為 （1）求圓柱內、外的電場強度； （2）這個圓柱是什么材料制成的？表面有電荷分布嗎？試求之。解 （1）由，可得到 時， 時， （2）該圓柱體為等位體，所以是由導體制成的，其表面有電荷分布，電荷面密度為3.13 驗證下列標量函數在它們各自的坐標系中滿足（1） 其中；（2） 圓柱坐標；（3） 圓柱坐標；（4） 球坐標；（5） 球坐標。解 （1）在直角坐標系中 而 故 （2）在圓柱坐標系中 而 故 （3） 故 （4）在球坐標系中 而 故 （5） 故 3.14 已知的空間中沒有電荷，下列幾個函數中哪些是可能的電

20、位的解?（1）；（2）；（3）（4）。解 （1）所以函數不是空間中的電位的解；（2） 所以函數是空間中可能的電位的解；（3） 所以函數不是空間中的電位的解；（4） 所以函數不是空間中的電位的解。3.15 中心位于原點，邊長為的電介質立方體的極化強度矢量為。（1）計算面束縛電荷密度和體束縛電荷密度；（2）證明總的束縛電荷為零。解 （1） 同理 （2） 3.16 一半徑為的介質球，介電常數為，其內均勻分布自由電荷，證明中心點的電位為 解 由，可得到時， 即 ， 時， 即 ， 故中心點的電位為3.17 一個半徑為的介質球，介電常數為，球內的極化強度，其中為一常數。（1） 計算束縛電荷體密度和面密度；

21、（2） 計算自由電荷密度；（3）計算球內、外的電場和電位分布。解 （1） 介質球內的束縛電荷體密度為 在的球面上，束縛電荷面密度為 （2）由于，所以 即 由此可得到介質球內的自由電荷體密度為 總的自由電荷量 （3）介質球內、外的電場強度分別為 介質球內、外的電位分別為 3.18 （1）證明不均勻電介質在沒有自由電荷密度時可能存在束縛電荷體密度；（2）導出束縛電荷密度的表達式。解 （1）由，得束縛電荷體密度為 在介質內沒有自由電荷密度時，則有 由于，有 所以 由此可見，當電介質不均勻時，可能不為零，故在不均勻電介質中可能存在束縛電荷體密度。 （2）束縛電荷密度的表達式為 3.19 兩種電介質的相

22、對介電常數分別為=2和=3，其分界面為=0平面。如果已知介質1中的電場的那么對于介質2中的和，我們可得到什么結果？能否求出介質2中任意點的和？解 設在介質2中在處，由和，可得 于是得到 故得到介質2中的和在處的表達式分別為 不能求出介質2中任意點的和。由于是非均勻場，介質中任意點的電場與邊界面上的電場是不相同的。3.20 電場中一半徑為、介電常數為的介質球，已知球內、外的電位函數分別為 驗證球表面的邊界條件，并計算球表面的束縛電荷密度。解 在球表面上 故有 ， 可見和滿足球表面上的邊界條件。 球表面的束縛電荷密度為3.21 平行板電容器的長、寬分別為和，極板間距離為。電容器的一半厚度()用介電

23、常數為的電介質填充，如題3.21圖所示。(1) (1)  板上外加電壓，求板上的自由電荷面密度、束縛電荷；(2) (2)  若已知板上的自由電荷總量為，求此時極板間電壓和束縛電荷；(3) (3)  求電容器的電容量。解 （1） 設介質中的電場為，空氣中的電場為。由，有 題 3.21圖又由于 由以上兩式解得 ，故下極板的自由電荷面密度為 上極板的自由電荷面密度為 電介質中的極化強度 故下表面上的束縛電荷面密度為 上表面上的束縛電荷面密度為 題3.22圖 （2）由 得到 故 （3）電容器的電容為 3.22 厚度為、介電常數為的無限大介質板，放置于均勻電場中，板與成角，

24、如題3.22圖所示。求：（1）使的值；（2）介質板兩表面的極化電荷密度。解 （1）根據靜電場的邊界條件，在介質板的表面上有 由此得到 （2）設介質板中的電場為，根據分界面上的邊界條件，有，即所以 介質板左表面的束縛電荷面密度 介質板右表面的束縛電荷面密度 3.23 在介電常數為的無限大均勻介質中，開有如下的空腔，求各腔中的和：（1）平行于的針形空腔；（2）底面垂直于的薄盤形空腔；（3）小球形空腔（見第四章4.14題）。解 （1）對于平行于的針形空腔，根據邊界條件，在空腔的側面上，有。故在針形空腔中，（2）對于底面垂直于的薄盤形空腔，根據邊界條件，在空腔的底面上，有。故在薄盤形空腔中，3.24

25、在面積為的平行板電容器內填充介電常數作線性變化的介質，從一極板處的一直變化到另一極板處的，試求電容量。解 由題意可知，介質的介電常數為 設平行板電容器的極板上帶電量分別為，由高斯定理可得所以，兩極板的電位差 故電容量為 3.25 一體密度為的質子束，束內的電荷均勻分布，束直徑為，束外沒有電荷分布，試計算質子束內部和外部的徑向電場強度。解 在質子束內部，由高斯定理可得 故 在質子束外部，有 故 3.26 考慮一塊電導率不為零的電介質，設其介質特性和導電特性都是不均勻的。證明當介質中有恒定電流時，體積內將出現自由電荷，體密度為。試問有沒有束縛體電荷？若有則進一步求出。解 對于恒定電流，有，故得到

26、介質中有束縛體電荷，且3.27 填充有兩層介質的同軸電纜，內導體半徑為，外導體內半徑為，介質的分界面半徑為。兩層介質的介電常數為和，電導率為和。設內導體的電壓為，外導體接地。求：（1）兩導體之間的電流密度和電場強度分布；（2）介質分界面上的自由電荷面密度；（3）同軸線單位長度的電容及漏電阻。解 （1）設同軸電纜中單位長度的徑向電流為，則由，可得電流密度 介質中的電場 由于 于是得到 故兩種介質中的電流密度和電場強度分別為 （2）由可得，介質1內表面的電荷面密度為介質2外表面的電荷面密度為兩種介質分界面上的電荷面密度為 （3）同軸線單位長度的漏電阻為 由靜電比擬，可得同軸線單位長度的電容為 3.

27、28 半徑為和的兩個同心的理想導體球面間充滿了介電常數為、電導率為的導電媒質(為常數)。若內導體球面的電位為，外導體球面接地。試求：（1）媒質中的電荷分布；（2）兩個理想導體球面間的電阻。解 設由內導體流向外導體的電流為，由于電流密度成球對稱分布，所以電場強度 由兩導體間的電壓 可得到 所以 媒質中的電荷體密度為 媒質內、外表面上的電荷面密度分別為（2）兩理想導體球面間的電阻3.29 電導率為的無界均勻電介質內，有兩個半徑分別為和的理想導體小球，兩球之間的距離為，試求兩小導體球面間的電阻。解 此題可采用靜電比擬的方法求解。假設兩小球分別帶電荷和，由于兩球間的距離、，可近似認為小球上的電荷均勻分

28、布在球面上。由電荷和的電位疊加求出兩小球表面的電位差，即可求得兩小導體球面間的電容，再由靜電比擬求出兩小導體球面間的電阻。設兩小球分別帶電荷和，由于、，可得到兩小球表面的電位為所以兩小導體球面間的電容為 由靜電比擬，得到兩小導體球面間的電導為 故兩個小導體球面間的電阻為 3.30 在一塊厚度的導電板上， 由兩個半徑為和的圓弧和夾角為的兩半徑割出的一塊扇形體，如題3.30圖所示。求：（1）沿厚度方向的電阻；（2）兩圓弧面之間的電阻；沿方向的兩電極的電阻。設導電板的電導率為。解 （1）設沿厚度方向的兩電極的電壓為，則有題3.30圖 故得到沿厚度方向的電阻為 （2）設內外兩圓弧面電極之間的電流為，則

29、 故得到兩圓弧面之間的電阻為 （3）設沿方向的兩電極的電壓為，則有 由于與無關，所以得到 故得到沿方向的電阻為 3.31 圓柱形電容器外導體內半徑為，內導體半徑為。當外加電壓固定時，在一定的條件下，求使電容器中的最大電場強度取極小值的內導體半徑的值和這個的值。解 設內導體單位長度帶電荷為，由高斯定理可求得圓柱形電容器中的電場強度為由內外導體間的電壓 得到 由此得到圓柱形電容器中的電場強度與電壓的關系式 在圓柱形電容器中，處的電場強度最大 令對的導數為零，即 由此得到 故有 3.32 證明：同軸線單位長度的靜電儲能等于。為單位長度上的電荷量，為單位長度上的電容。解 由高斯定理可求得圓柱形電容器中

30、的電場強度為 內外導體間的電壓為則同軸線單位長度的電容為 同軸線單位長度的靜電儲能為 3.33 如題3.33圖所示，一半徑為、帶電量的導體球，其球心位于兩種介質的分界面上，此兩種介質的電容率分別為和，分界面為無限大平面。求：（1）導體球的電容；（2） 總的靜電能量。解 （1）由于電場沿徑向分布，根據邊界條件，在兩種介質的分界面上，故有 。由于、，所以。由高斯定理，得到 即 題 3.33圖所以 導體球的電位故導體球的電容 （2） 總的靜電能量為 3.34 把一帶電量、半徑為的導體球切成兩半，求兩半球之間的電場力。解 先利用虛位移法求出導體球表面上單位面積的電荷受到的靜電力，然后在半球面上對積分，

31、求出兩半球之間的電場力。導體球的電容為 故靜電能量為 根據虛位移法，導體球表面上單位面積的電荷受到的靜電力方向沿導體球表面的外法向，即 這里 在半球面上對積分，即得到兩半球之間的靜電力為 3.35 如題3.35圖所示，兩平行的金屬板，板間距離為，豎直地插入在電容率為的液體中，兩板間加電壓，證明液面升高其中為液體的質量密度。解 設金屬板的寬度為、高度為。當金屬板間的液面升高為時，其電容為題3.35圖 金屬板間的靜電能量為液體受到豎直向上的靜電力為而液體所受重力與相平衡，即 故得到液面上升的高度3.36 可變空氣電容器，當動片由至電容量由至直線地變化，當動片為角時，求作用于動片上的力矩。設動片與定

32、片間的電壓為。解 當動片為角時，電容器的電容為此時電容器中的靜電能量為 作用于動片上的力矩為 3.37 平行板電容器的電容是，其中是板的面積，為間距，忽略邊緣效應。題3.37圖 （1）如果把一塊厚度為的不帶電金屬插入兩極板之間，但不與兩極接觸，如題3.37圖所示。則在原電容器電壓一定的條件下，電容器的能量如何變化？電容量如何變化？（2）如果在電荷一定的條件下，將一塊橫截面為、介電常數為的電介質片插入電容器(與電容器極板面積基本上垂直地插入，如題3.37圖所示，則電容器的能量如何變化？電容量又如何變化？ 解 （1）在電壓一定的條件下，未插入金屬板前，極板間的電場為電容為 靜電能量為 當插入金屬板

33、后，電容器中的電場為 此時靜電能量和電容分別為 故電容器的電容及能量的改變量分別為（2）在電荷一定的條件下，未插入電介質板前，極板間的電場為 靜電能量為 當插入電介質板后，由介質分界面上的邊界條件，有 題3.37圖 再由高斯定理可得 于是得到極板間的電場為 兩極板間的電位差位 此時的靜電能量為 其電容為 故電容器的電容及能量的改變量分別為 3.38 如果不引入電位函數，靜電問題也可以通過直接求解法求解的微分方程而得解決。（1）證明：有源區的微分方程為，；（2）證明：的解是 解 （1）由，可得 ，即又 故得到 （2）在直角坐標系中的三個分量方程為，其解分別為故 3.39 證明：解 由于 ，所以

34、由題3.38(2)可知 故 第四章習題解答4.1 如題4.1圖所示為一長方形截面的導體槽，槽可視為無限長，其上有一塊與槽相絕緣的蓋板，槽的電位為零，上邊蓋板的電位為，求槽內的電位函數。解 根據題意，電位滿足的邊界條件為 根據條件和，電位的通解應取為題4.1圖 由條件，有兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到槽內的電位分布 4.2 兩平行無限大導體平面，距離為，其間有一極薄的導體片由到。上板和薄片保持電位，下板保持零電位，求板間電位的解。設在薄片平面上，從到，電位線性變化，。yoyboydy題 4.2圖解 應用疊加原理，設板間的電位為其中，為不存在薄片的平行無限大導體平面間（電壓為）的電位，即；

35、是兩個電位為零的平行導體板間有導體薄片時的電位，其邊界條件為： 根據條件和，可設的通解為 由條件有 兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到 4.3 求在上題的解中，除開一項外，其他所有項對電場總儲能的貢獻。并按定出邊緣電容。解 在導體板（）上，相應于的電荷面密度則導體板上（沿方向單位長）相應的總電荷相應的電場儲能為 其邊緣電容為 4.4 如題4.4圖所示的導體槽，底面保持電位，其余兩面電位為零，求槽內的電位的解。解 根據題意，電位滿足的邊界條件為 題4.4圖 根據條件和，電位的通解應取為 由條件，有 兩邊同乘以，并從0到對積分，得到故得到槽內的電位分布為 4.5 一長、寬、高分別為、的長方體表

36、面保持零電位，體積內填充密度為的電荷。求體積內的電位。解 在體積內，電位滿足泊松方程 （1）長方體表面上，電位滿足邊界條件。由此設電位的通解為代入泊松方程（1），可得由此可得 或 （2）由式（2），可得故 4.6 如題4.6圖所示的一對無限大接地平行導體板，板間有一與軸平行的線電荷，其位置為。求板間的電位函數。解 由于在處有一與軸平行的線電荷，以為界將場空間分割為和兩個區域，則這兩個區域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數將線電荷表示成電荷面密度。電位的邊界條件為題 4.6圖 由條件和，可設電位函數的通解為 由條件，有 （1） （2）由式（1），可得 （3）將式（2）兩邊同

37、乘以，并從到對積分，有 （4）由式（3）和（4）解得 故 b題4.7圖4.7 如題4.7圖所示的矩形導體槽的電位為零，槽中有一與槽平行的線電荷。求槽內的電位函數。解 由于在處有一與軸平行的線電荷，以為界將場空間分割為和兩個區域，則這兩個區域中的電位和都滿足拉普拉斯方程。而在的分界面上，可利用函數將線電荷表示成電荷面密度，電位的邊界條件為 ， 由條件和，可設電位函數的通解為 由條件，有 （1） （2）由式（1），可得 （3）將式（2）兩邊同乘以，并從到對積分，有 （4）由式（3）和（4）解得 故 若以為界將場空間分割為和兩個區域，則可類似地得到 4.8 如題4.8圖所示，在均勻電場中垂直于電場方

38、向放置一根無限長導體圓柱，圓柱的半徑為。求導體圓柱外的電位和電場以及導體表面的感應電荷密度。解 在外電場作用下，導體表面產生感應電荷，圓柱外的電位是外電場的電位與感應電荷的電位的疊加。由于導體圓柱為無限長，所以電位與變量無關。在圓柱面坐標系中，外電場的電位為（常數的值由參考點確定），而感應電荷的電位應與一樣按變化，而且在無限遠處為0。由于導體是等位體，所以滿足的邊界條件為題4.8圖 由此可設 由條件，有 于是得到 故圓柱外的電位為若選擇導體圓柱表面為電位參考點，即，則。導體圓柱外的電場則為導體圓柱表面的電荷面密度為 4.9 在介電常數為的無限大的介質中，沿軸方向開一個半徑為的圓柱形空腔。沿軸方

39、向外加一均勻電場，求空腔內和空腔外的電位函數。解 在電場的作用下，介質產生極化，空腔表面形成極化電荷，空腔內、外的電場為外加電場與極化電荷的電場的疊加。外電場的電位為而感應電荷的電位應與一樣按變化，則空腔內、外的電位分別為和的邊界條件為 時，； 時，為有限值； 時， ，由條件和，可設 帶入條件，有 ，由此解得 ， 所以 題4.10圖4.10 一個半徑為、無限長的薄導體圓柱面被分割成四個四分之一圓柱面，如題4.10圖所示。第二象限和第四象限的四分之一圓柱面接地，第一象限和第三象限分別保持電位和。求圓柱面內部的電位函數。解 由題意可知，圓柱面內部的電位函數滿足邊界條件為 為有限值； ；由條件可知，

40、圓柱面內部的電位函數的通解為 代入條件，有 由此得到故 4.11 如題4.11圖所示，一無限長介質圓柱的半徑為、介電常數為，在距離軸線處，有一與圓柱平行的線電荷，計算空間各部分的電位。解 在線電荷作用下，介質圓柱產生極化，介質圓柱內外的電位均為線電荷的電位與極化電荷的電位的疊加，即。線電荷的電位為 （1）題4.11圖而極化電荷的電位滿足拉普拉斯方程，且是的偶函數。介質圓柱內外的電位和滿足的邊界條件為分別為 為有限值； 時，由條件和可知，和的通解為 （2） （3）將式（1）（3）帶入條件，可得到 （4） （5）當時，將展開為級數，有 （6）帶入式（5），得 （7）由式（4）和（7），有 由此解得 ， 故得到圓柱內、外的電位分別為 （8） （9）討論：利用式（6），可將式（8）和（9）中得第二項分別寫成為其中。因此可將和分別寫成為 由所得結果可知，介質圓柱內的電位與位于（0）的線電荷的電位相同，而介質圓柱外的電位相當于三根線電荷所產生，它們分別為：位于（0）的線電荷；位于的線電