1、7.5 函數的冪級數展開式函數的冪級數展開式 通過上節的學習知道通過上節的學習知道: :任何一個冪級數在其收斂區間任何一個冪級數在其收斂區間內內, ,均可表示成一個函數均可表示成一個函數( (即和函數即和函數).).20120nnnnna xaa xa xa x ( )S x xD 本節要解決的問題是本節要解決的問題是:給定函數給定函數 f (x),能否在某個區間內能否在某個區間內展成冪級數展成冪級數. 即能否找到冪級數即能否找到冪級數,在某個區間內收斂在某個區間內收斂,且其和函數就是且其和函數就是給定的函數給定的函數f (x).( )f x20120nnnnna xaa xa xa x 若能

2、找到這樣的冪級數若能找到這樣的冪級數,我們說我們說,函數函數f (x)在該區間內能展成冪級數在該區間內能展成冪級數.將已知函數展開成冪級數將已知函數展開成冪級數,需解決以下兩個問題：需解決以下兩個問題： (2) 函數函數(x)滿足什么條件才能展開成冪級數滿足什么條件才能展開成冪級數?(1) 如果函數可以展開成冪級數如果函數可以展開成冪級數,應如何確定冪級數的應如何確定冪級數的系數系數?(0,1,)nan 稱此冪級數為該函數的冪級數展開式稱此冪級數為該函數的冪級數展開式. .0nnna x 定義定義 若一個函數若一個函數(x)(x)能表示成一個冪級數能表示成一個冪級數 , ,泰勒級數泰勒級數00

3、00( ),( )( )() ,nnnf xxf xxxf xaxx 定定理理 設設在在點點 的的附附近近有有任任意意階階導導數數 且且在在處處的的冪冪級級數數展展開開式式為為則則必必有有(0)00( )0,01,()().1()!nnaffnxxxf 其其中中 ！證明：證明：2010200( )()()()nnf xaaxxaxxaxx 21120300( )2()3()()nnfxaaxxaxxnaxx 22300( )23 2()(1)()nnfxaaxxnnaxx ( )( )!nnfxn a0 xx 將將代代入入各各階階導導數數得得：00()f xa 01()fxa 02()2fxa

4、 ( )0()!nnfxn a ( )0()!nnfxan0,1,2,n 0000( ),( )( )() ,nnnf xxf xxxf xaxx 定定理理 設設在在點點 的的附附近近有有任任意意階階導導數數 且且在在處處的的冪冪級級數數展展開開式式為為則則必必有有(0)00( )0,01,()().1()!nnaffnxxxf 其其中中 ！ 注：此定理給出了在函數可以展成冪級數的前提下注：此定理給出了在函數可以展成冪級數的前提下,求函數冪級數展開式的方法求函數冪級數展開式的方法,還說明了冪級數展開式的還說明了冪級數展開式的唯一性唯一性.針對函數展成冪級數時所選擇的點給出下面定義：針對函數展成

5、冪級數時所選擇的點給出下面定義：0( )( )00000000( ),()11()()()()()()!1!nnnnnf xxfxfxxxf xxxfxxxnn 定定義義 設設在在點點 的的附附近近有有任任意意階階導導數數 則則稱稱冪冪級級數數0( )f xxx 為為在在處處的的泰泰勒勒級級數數. .( )( )00000000()11()()()()()()!1!nnnnnfxfxxxf xxxfxxxnn 00,x 當當時時 稱稱( )( )01(0)1(0)(0)(0)!1!nnnnnffxfxfxnn ( )f x為為的的馬馬克克勞勞林林級級數數. .( )( )0f xxaf xx

6、注注1 1：若若在在點點處處能能展展成成冪冪級級數數, ,則則冪冪級級數數必必為為泰泰勒勒級級數數; ;若若在在點點處處能能展展成成冪冪級級數數, ,則則冪冪級級數數必必為為馬馬克克勞勞林林級級數數; ;0( ),( )( ).f xxf xf x注注2 2：定定義義表表明明：任任給給一一個個函函數數只只要要在在點點處處有有任任意意階階導導數數, ,就就可可以以寫寫出出相相應應的的泰泰勒勒級級數數或或馬馬克克勞勞林林級級數數, ,但但在在函函數數與與級級數數之之間間并并沒沒有有建建立立等等式式關關系系, ,這這是是因因為為的的泰泰勒勒級級數數或或馬馬克克勞勞林林級級數數未未必必收收斂斂, ,且

7、且收收斂斂時時也也未未必必收收斂斂于于1( ),1( ).f xxf x 的的馬馬克克勞勞林林級級數數 并并討討論論該該級級數數在在收收斂斂域域內內是是否否收收斂斂于于例例：求求解解：21( )(1)fxx 32( )(1)fxx ( )11!( )( 1)(1)nnnnfxx (0)1f(0)1f ( )(0)!nfn ( )f x于于是是的的馬馬克克勞勞林林級級數數為為( )( )01(0)1(0)(0)(0)!1!nnnnnffxfxfxnn 1nxx 1( 1,1)( ).1f xx 易易知知該該級級數數在在內內收收斂斂于于( )f x( )000()()!nnnfxxxn 級級數數0

8、( )f xxx 為為在在處處的的泰泰勒勒級級數數( )0(0)!nnnfxn 級級數數( )f x為為的的馬馬克克勞勞林林級級數數兩個級數未必收斂于兩個級數未必收斂于f(x). (2) 函數函數(x)滿足什么條件時滿足什么條件時,它的泰勒級數才能在收它的泰勒級數才能在收斂域內收斂于斂域內收斂于f (x)本身本身?二二. 泰勒公式泰勒公式0( ),f xxxx 定定理理( (泰泰勒勒中中值值定定理理) ) 若若在在點點的的附附近近有有n n+ +1 1階階導導數數則則對對該該鄰鄰域域內內任任意意有有200000( )00()( )()()()()2!()()( )( )!nnnfxf xf x

9、fxxxxxfxxxRxn (1)100( ),( )(),.(1)!nnnfRxxxxxn 其其中中為為拉拉格格朗朗日日型型余余項項在在與與 之之間間 0( )( ).f xxx 式式稱稱為為在在處處的的泰泰勒勒公公式式0000( )( )()( )(),nf xf xfxxxx 注注1 1：當當時時， 式式變變在在與與間間. .為為之之 ( ).nRx即即拉拉格格朗朗日日公公式式, ,所所以以泰泰勒勒公公式式是是拉拉格格朗朗日日公公式式的的推推稱稱為為拉拉格格朗朗廣廣, ,相相應應余余項項日日型型余余項項的的20( )(1)10(0)20,( )( )(0)(0)2!(0)( ),!(1)

10、!nnnnfxf xffxxffxxxxnn 注注 ：當當時時式式變變為為在在與與 之之間間. . ( ).f x稱稱為為的的馬馬克克勞勞林林公公式式0( ),( )f xxxf x 定定理理 若若在在點點的的附附近近有有任任意意階階導導數數 則則的的泰泰勒勒級級數數lim( )0nnRx ，( )000()()( )!nnnfxxxf xn 在在該該鄰鄰域域內內收收斂斂于于的的充充要要條條件件是是(1)100( ),( )(),.(1)!nnnfRxxxxxn 其其中中在在與與 之之間間 ( )f x證證明明：的的泰泰勒勒公公式式為為200000( )00()( )()()()()2!()(

11、)( )!nnnfxf xf xfxxxxxfxxxRxn 思緒思緒1( )( )nnSxRx 1( )( )( )nnRxf xSx lim( )0nnRx 1lim( )( )nnf xSx 1( )lim( )nnf xSx 0 1lim( )( )nnSxf x ( )( ),f xf x注注：若若的的泰泰勒勒級級數數在在收收斂斂域域內內收收斂斂于于即即等等式式( )0000()( )(),( )!nnnfxf xxxf xxxn 成成立立 稱稱右右側側級級數數為為在在處處的的泰泰勒勒展展開開式式；( )0(0)( ),( )!nnnff xxf xn 成成立立 稱稱右右側側級級數數為

12、為的的馬馬克克勞勞林林展展開開式式. .( )( ),f xf x若若的的馬馬克克勞勞林林級級數數在在收收斂斂域域內內收收斂斂于于即即等等式式( )f x泰勒級數泰勒級數泰勒公式泰勒公式泰勒展開式泰勒展開式( )f x泰勒級數泰勒級數泰勒公式泰勒公式泰勒展開式泰勒展開式( )f x( )000()()!nnnfxxxn 級級數數0( )f xxx 為為在在處處的的泰泰勒勒級級數數( )0(0)!nnnfxn 級級數數( )f x為為的的馬馬克克勞勞林林級級數數兩個級數未必收斂于兩個級數未必收斂于f(x).( )20000000()()()()()()()( )2!nnnfxfxf xfxxxx

13、xxxRxn 0( )f xxx 為為在在處處的的泰泰勒勒公公式式( )(1)21(0)(0)( )(0)(0)2!(1)!nnnnfffffxxxxnn ( )f x為為的的馬馬克克勞勞林林公公式式( )f x ( )f x 三三. .初等函數的冪級數展開式初等函數的冪級數展開式計算步驟為計算步驟為: :( )01.( )( ),( ),( ),( ).nf xfxfxfxxxf x 求求出出的的各各階階導導數數如如果果在在處處的的某某階階導導數數不不存存在在, ,停停止止進進行行. .此此時時不不能能展展成成冪冪級級數數0( )00002.( )()(),(),(),.nf xxxf xf

14、xfxfx 求求出出的的各各階階導導數數在在處處的的值值：，3.( )f x寫寫出出的的泰泰勒勒級級數數( )000()() ,.!nnnfxxxn 并并求求出出收收斂斂半半徑徑R R和和收收斂斂域域4.(,),lim( )0?0,( )nnxR RRxf x 考考查查當當時時若若余余項項極極限限為為則則在在收收斂斂域域內內的的冪冪級級數數展展開開式式為為( )000()( )() ,.!nnnfxf xxxxn 收收斂斂域域( )0()!nnfxan 1.直接展開法直接展開法 利用式利用式 計算展開式的方法稱為直接展開法計算展開式的方法稱為直接展開法.( )xf xe 例例：求求的的馬馬克克

15、勞勞林林展展開開式式. .解解：( )1.( )( )( )nxfxfxfxe ( )02.(0)(0)(0)1nfffe 3. ( )xf xe 的的馬馬克克勞勞林林級級數數為為( )0(0)!nnnfxn 0!nnxn 收收斂斂半半徑徑為為R, =+=+ 收收斂斂域域為為( (- - , ,+ + ) ). .4.( )nRx (1)1( )(1)!nnfxn 1(1)!nexn 0!nnxn 收收斂斂, ,10(1)!nnxn 收收斂斂. .1,lim(1)!nnxn 于于是是=0,=0,1lim( )lim0.(1)!nnnneRxxn 所所以以 ( )xf xe 因因此此0!nnxn

16、 21.2!nxxxn.xR 3521111sin( 1),3!5!(21)!nnxxxxxxRn ( )sinf xx 例例：求求的的馬馬克克勞勞林林展展開開式式. .解解：( )1.( )sin()2nfxxn ( )2.(0)nf 3. ( )sinf xx 的的馬馬克克勞勞林林級級數數為為( )0(0)!nnnfxn 210( 1)(21)!nnnxn 收收斂斂半半徑徑為為R, =+=+ 收收斂斂域域為為( (- - , ,+ + ) ). .sin()2n 2nm 021nm ( 1)m 0!nxnxen 21.2!nxxxn.xR 3521111sin( 1),3!5!(21)!n

17、nxxxxxxRn 211,( 1,1)1nxxxxx 2.間接展開法間接展開法 242111cossin1( 1),2!4!(2 )!nnxxxxxxRn 11x 11()x 21( 1),( 1,1)nnxxxx 211x 2421( 1),( 1,1)nnxxxx ln(1)x 011xdxx 00( 1)xnnnxdx 00( 1)xnnnxdx 10( 1)1nnnxn 12311( 1),( 1,123nnxxxxxn 11( 1)nnnxn 13x 211,3333nxxx11313x ( 3,3)x -馬克勞林級數馬克勞林級數1(1) ( )6f xx 例例 將將f(x)f(x

18、)展為展為x-2x-2的冪級數的冪級數. .11 64(2)xx 解解 因因112414x 01 ( 11) 1nnxxx 而而 2( 11) 4x 1011(2) ( 26) 644nnnxxx 故故0112644nnxx 于于是是（）-x=2點的泰勒級數點的泰勒級數(2) ( )xf xe 例例 將將f(x)f(x)展為展為x-1x-1的冪級數的冪級數. .1 1 xxee 解解 因因1xe e 201,!2!nnxnxxxexxRnn 而而1xxee e 0(1),1!nnxexRn 0(1),!nne xxRn 2(1) ( )1xf xx 練練將將f(x)f(x)展為展為x x的冪級數的冪級數. .221 ( )11xf xxxx解解 因因01 ( 11),1nnxxx 而而 21( )1f xxx 20() ( 11),nnxxx 20( 1) ( 11),nnnxx 211 ( )2(2)(1)f xxxxx 解解 因因1113 12xx （）11113 1212xx （）（）01 ( 11),1nnxxx 而而 01() ( 22)2