1、中考高分沖刺沖刺二 充分發揮方程的工具性作用 方程是重要的數學工具，它可以干什么用呢？結論是：凡是有關“求值”的問題，不管是怎樣的背景下和情境中，絕大多數情況都可以借助構造方程來解決。 一、方程用于實際問題中的求值這方面的題目，同學們做的已經很多，這里只舉一例。例1 秋末，由于冷空氣入侵，某地區地面氣溫急劇下降到0以下的天氣稱為“霜凍”。由霜凍所導致的植物生長受到影響或破壞的現象稱為霜凍災害。 秋末某天，氣象臺發布了該地區如下的降溫預報：午夜0時至次日5時氣溫將勻速地由3降到3，然后從次日5時至次日8時，氣溫將又勻速地由3升到5，一種農作物在0以下持續超過3小時就會造成霜凍災害，根據氣象臺的預

2、報信息，你認為是否有必要對該農作物采取防凍措施？并說明理由。【觀察與思考】第一， 這實際是要求出兩個數值：一是0時至次日5時氣溫下降過程中在哪個時刻達到0；二是在次日5時至次日8時氣溫上升過程中，在哪個時刻達到0，顯然是求值總問題。應分別構造方程來解決。第二， 可以用“勻速”所包含的“相等關系”來導出方程，即（事實上，只要把本問題的“溫度差”看作“路程”，它就相當于行程問題了。）簡解：設在0時至次日5時之間的時，氣溫降到0，則依題意有：（時）設在次日5時至次日8時之間的時氣溫升到0，依題意有： ，解得（時） 。氣溫在0以下的時間為3.625小時（大于3小時）因此，會對該農作物造成霜凍災害，所以

3、應對它采取防凍措施。二、方程用于數學問題中的價值 數學問題中有形形色色或顯或隱的求值問題，大都可借助方程來解決。1、借助方程，解決某些“數與式”的問題 例1 如果一個正整數能表示為兩個連續偶數的平方差，那么，稱這個正整數為“神秘數”。如：，因此4，12，20這三個數都是神秘數，（1）28和2008這兩個數是神秘數嗎？為什么？（2）兩個連續奇數的平方差（取正數）是神秘數嗎？為什么？【觀察與思考】根據題中規定知道，若（），(其中是整數，為正整數)，則就是“神秘數”。正整數是不是“神秘數”，就看使（）式成立的整數是不是存在，存在時就是“神秘數”；不存在，就不是“神秘數”。這就是說，研究是不是“神秘數

4、”的問題，就變成了研究（）這個關于的方程有無整數解的問題。解：（1）方程有非負整數解3。即 28是神秘數。方程，沒有整數解，2008不是神秘數。（2），令解得不是整數。兩個連續奇數的平方差（取正數）不是神秘數。例2 按下面的程序計算，若開始輸入的值為正數，最后輸出的結果為656，則滿足條件的的不同值最多有（ ）輸入計算的值輸出結果是否A、2個 B、3個 C、 4個 D、5個 【觀察與思考】本題相當于按如下規律構造的方程：，有正整數解的共有多少個。可驗證只有上述4個方程有正數解。 解：選C。 對于許多有關特定要求的數，式問題，常需要借助方程來解決。2、借助方程，解決某些幾何圖形的求值問題例3 圖

5、1是由9個等邊三角形拼成的六邊形，若已知中間的小等邊三角形的邊長為，則六邊形的周長是 【觀察與思考】拼成六邊形的9個等邊三角形按大小共分為5類，從大到小邊長逐減小，因此，可通過構造最大的等邊三角形的邊長的方程來求得它的值。從圖2中可以看到最大三角形的邊長是第四大三角形邊長的2倍，易如：設最大的等邊三角形的邊長為，則有。 圖中六邊形的六條邊依次為：解： ABCDEFGNM例4 如圖，這是由五個邊長為1的正方形組成的圖形，過頂點A的一條直線和CD，ED分別相交于點M，N。假若直線MN繞過A旋轉的過程中存在某一位置，使得MN將圖形分成的兩部分面積恰好相等，求這時線段EN的長。【觀察與思考】可借助來構

6、造關于EN的方程求其長。解：。得關于EN的方程解得（不合題意，舍去）。許多圖形的求值問題，可借助方程來解決，事實上，包括解直角三角形和用相似三角形的性質求邊長，也是特定形式的方程，是方程思想的一種具體化表現。 3、借助方程，解決函數相關的問題例5 如圖，在平面直角坐標系中，直線與軸的正半軸、軸的正半軸分別交于點E和F。從點A（1，0）和OABCDEFB（3，0）作軸的垂線，分別與直線交于點C和點D。已知，求直線的解析式。【觀察與思考】若設直線的解析式為。現在要求出 的值，為此去構造關于的方程組。而所給條件 “”就是這兩個方程組所依據的等量關系。解：設直線的解析式為，易知：依題意有方程組： 解得

7、直線的解析式為：（分）（米）BA102500例6 早晨，小麗與媽媽同時從家出發，步行與騎自行車到方向相反的兩地上學與上班，圖中所示是她們離家的路程（米）與時間（分）的函數圖象。媽媽騎自行車走了10分鐘接到小麗的電話，即以原速度騎車前往小麗的學校，并與小麗同時到達學校。已知小麗步行速度為每分50米，求小麗家與學校的距離及小麗早晨上學需要的時間。【觀察與思考】點B的橫坐標就是小麗早晨小學需要的時間其縱坐標就是小麗家與學校的距離。本題的實質是求點B的坐標，也就是由OB，AB確定的函數關系式做成的方程組的解。而OB，OA對應的函數易知。解：OB對應的函數關系式為：。因為媽媽10分鐘騎自行車走了2500

8、米，其速度為250米/分鐘，所以，AB對應的函數關系式為：將（10，2500）代入，求得 解方程組 得 小麗家與學校的距離為1250米，小麗早晨上學需要25分鐘。【說明】本題是將方程的思想和函數圖象的意義緊密結合，才有如此簡明的解決方法。 許多和函數相關的問題，只要涉及到求值，常需要考慮借助方程。4、和運動有關的圖形問題，凡屬運動過程中的特定形狀，特定數量以及特定位置關系的，大都需要借助構造方程來解決ABCDMN例7 如圖，在梯形ABCD中，AD/BC，開始沿AD邊向D點運動，速度為1厘米/秒，同時點N從點C開始沿CB向點B運動，速度為2厘米/秒，設運動的時間為秒。（1） 當為何值時，四邊形M

9、NCD 是平行四邊形？（2） 當為何值時，四邊形MNCD是等腰梯形？ 【觀察與思考】對于（1），當四邊形MNCD是平行四邊形時，MD=NC，就以這一相等關系構造關于的方程。 對于（2），畫出四邊形MNCD是等腰梯形的草圖，如圖（2），作垂足為G，作垂足為H，此時應有NG=CH，ABDMN也即CN=MD+2CH。可以用這一相等關系的構造關于的方程來求解。HGC解：（1）MD=15，CN=2，令MD=NC，得的方程 。解得=5即=5（秒）時四邊形MNCD是平行四邊形。（2）令得關于的方程 解得即（秒）時，四邊形MNCD是等腰梯形。ABCDQP例8 如圖，在ABCD中，AB=4，AD=3，點P和點Q

10、同時從點A出發，以每秒1個單位的速度運動，點P沿ADDCCB向點B運動，點Q沿射線AB的方向運動。當點P運動到點B處時，兩點的運動同時結束。設運動時間為秒。（1）當點P在邊AD上運動時， 求使成為以DQ為底邊的等腰三角形的時刻； （2）當點P在邊DC上運動時，是否存在時刻，使線段PQ和對角線BD互相平行？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由；（3）當點P在邊CB上運動時，可能成為直角三角形嗎？寫出你的判斷，并說明理由；【觀察與思考】以上三個問題，實際都歸于建立關于的方程來解決。ADPCQB 解：（1）點P在邊AD上運動時，。總有為等邊三角形，即。 令PD=PQ，即。 （秒）時，是以DQ為底

11、邊的等腰三角形。（1）（2） 當點P在邊DC上運動時，。 若有PQ/BD，則四邊形DBQP為平行四邊形，即PD=BQ，如圖（1），也即，該方程無解。 不存在這們的時刻，使PQ/BD。（3）點P在邊CB上運動時， 若為直角三角形，只有如圖（2），此時。ABCDPQ 令 當，為直角三角形。（2） 運動中變化著的圖形或圖形關系凡屬“特殊圖形”、“特定關系”、“特殊存在”類的問題，大都可通過構造相應的方程來解決。5、借助方程解決某些探索性問題 例9 如圖，每個正方形點陣均被一直線分成兩個三角形點陣，根據圖中提供的信息，用含的等式表示第個正方形點陣中的規律是 。 .【觀察與思考】不難發現這樣的規律:第個

12、點陣點的總數為,被分成的兩部分有關系:下邊部分比上邊部分多個點.如此一來,可用構造方程來確定要求的規律:設第個正方形點陣分成的兩部分是個點,個點,則解得 解：應填： 。例10 欣賞下列的等式： 寫出一個由7個連續整數組成，前4個數的平方和等于后3個數的平方和的等式為： ；【觀察與思考】關鍵是如何既簡練又確切地表示“7個連續整數”，考慮到要計算“平方和”，那么最好的方法是，設為整數，則7個連續整數表示為：如此一來，可借助方程求出滿足要求的和7個整數來。設有則即解得 解： 。【說明】某些探索性問題，用方程來解決更準確、更迅速。關鍵是要善于發現問題有無構造方程的條件，以及如何恰當地應用方程。其實，方

13、程的作用遠不止這些。由上可知，必須確立如下的深刻認識：1、對于求未知數量值的問題，不管是具有實際背景的，還是純數學的；不管是代數方面的，還是幾何圖形方面的；不管是顯性的，還是較為隱含的，第一條思考解決的途徑都應當是考慮“構造方程”和解方程。2、列出方程的關鍵是在深入分析題目情景后捕捉到“事關全局的相等關系”，以它為基礎再具體化為方程。如上的深刻認識和有效的落實，才是“方程思想”的深刻表現，才能真正發揮方程的工具性作用。 練習題1、某水果批發市場香蕉的價格如下表：購買香蕉數（千克）不超過20千克20千克以上且不超過40千克40千克以上每千克價格6元5元4元某人共兩次購買50千克香蕉（第二次多于第

14、一次），共付款264元，請問他第一次，第二次分別購買香蕉多少千克？AB人車同向示意圖ABC人車異向示意圖2、某人在電車路軌旁與路軌平行的路上騎車行走，他留意到每隔6分鐘有一部電車從他后面駛向前面，每隔兩分鐘有一部電車從對面駛向后面。假設電車和此人行駛的速度都不變（分別為表示），請你根據右面的示意圖，求電車每隔幾分鐘（用表示）從車站開出一部？3、為確保信息安全，信息需要加密偉輸，發送方將明文加密為密文傳輸給接收方，接收方收到密文后解密還原為明文，已知某種加密規則為：明文對應的密文為。例如，明文1，2對應的密文是-3，4。那么當接收方收到的密文是1，7時，解密得到的明文是（ ） A、 1，1 B、

15、1，3 C、 3，1 D、1，14、直線軸分別交于點A和點B，若直線AB的長度等于，求直線的解析式，并在直角坐標系中畫出它的圖象。5、如圖，在直角梯形ABCD中，AD/BC，BC=16，DC=12，AD=21。動點P從點D出發，沿射線DA的方向以每秒2個單位長度的速度運動，動點Q從點C出發，在線段CB上以每秒1個單位長度的速度向點B運動，點P，Q分別從點D，C同時出發，設運動時間為（秒）。（1）當為何值時，以B，P，Q為頂點的三角形為等腰三角形？ADCBPQ（2）是否存在時刻，使得？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由；CAB6、如圖，拋物線和軸交于A，B兩點，（點B在點A的右側）。和軸交于

16、點C，在軸上是否存在點P，使以點P，A，O為頂點的三角形與相似？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；ABCFDE7、如圖在，E，F分別為邊AB，AC上的點，當沿EF將折疊，恰使點A落在BC上的點D處，并且有時，點E，F分別在邊AB上和AC上的什么位置？ABCDE8、如圖AC=6，BC=8，點D在AC上，（不與點A，C重合）。點E在AB上（不與點A，B重合）。如果線段DE把的周長和面積都平分成相等的兩部分，請求出AD和AE的長。9、星期天，小強騎自行車到郊外與同學一起游玩。從家出發2小時到達 目的地，游玩3小時后按原路返回，小強離家4小時40分鐘后，媽媽駕車沿相同路線迎接小強，如圖是他們離家的路程（千米）與時間（時）的函數圖象。已知小強騎車的速度為15千米/時，媽媽駕車的速度為60千米/時。（時）（千米）25CDAB （1）小強家與游玩地的距離是多少千米