1、會計學1閉區間上連續函數的性質閉區間上連續函數的性質71193第一頁，編輯于星期日：二十一點 四十分。v最大值與最小值 對于在區間I上有定義的函數f(x) 如果有x0I 使得對于任一xI都有f(x)f(x0) (f(x)f(x0) 則稱f(x0)是函數f(x)在區間I上的最大值(最小值) 最大值與最小值舉例: 函數 f(x)=1+sinx在區間0 2p上有最大值 2 和最小值 0 第1頁/共12頁第二頁，編輯于星期日：二十一點 四十分。 函數y=sgn x 在區間(- +)內有最大值1和最小值-1 但在開區間(0 +)內 它的最大值和最小值都是1 最大值與最小值舉例:一、有界性與最大值最小值定

2、理v最大值與最小值 對于在區間I上有定義的函數f(x) 如果有x0I 使得對于任一xI都有f(x)f(x0) (f(x)f(x0) 則稱f(x0)是函數f(x)在區間I上的最大值(最小值) 第2頁/共12頁第三頁，編輯于星期日：二十一點 四十分。 并非任何函數都有最大值和最小值 例如，函數f(x)=x在開區間(a b)內既無最大值又無最小值 應注意的問題:一、有界性與最大值最小值定理v最大值與最小值 對于在區間I上有定義的函數f(x) 如果有x0I 使得對于任一xI都有f(x)f(x0) (f(x)f(x0) 則稱f(x0)是函數f(x)在區間I上的最大值(最小值) 第3頁/共12頁第四頁，編

3、輯于星期日：二十一點 四十分。說明:v定理1(最大值和最小值定理) 在閉區間上連續的函數在該區間上一定能取得它的最大值和最小值 又至少有一點x2a b 使f(x2)是f(x)在a b上的最小值 至少有一點x1a b 使f(x1)是f(x)在a b上的最大值 定理說明 如果函數f(x)在閉區間a b上連續 那么第4頁/共12頁第五頁，編輯于星期日：二十一點 四十分。應注意的問題: 如果函數僅在開區間內連續 或函數在閉區間上有間斷點 那么函數在該區間上就不一定有最大值或最小值 例如 函數f(x)=x在開區間(a b)內既無最大值又無最小值 v定理1(最大值和最小值定理) 在閉區間上連續的函數在該區

4、間上一定能取得它的最大值和最小值 第5頁/共12頁第六頁，編輯于星期日：二十一點 四十分。 又如 如下函數在閉區間0 2內既無最大值又無最小值 應注意的問題: 如果函數僅在開區間內連續 或函數在閉區間上有間斷點 那么函數在該區間上就不一定有最大值或最小值 v定理1(最大值和最小值定理) 在閉區間上連續的函數在該區間上一定能取得它的最大值和最小值 第6頁/共12頁第七頁，編輯于星期日：二十一點 四十分。v定理2(有界性定理) 在閉區間上連續的函數一定在該區間上有界 證明 設函數f(x)在閉區間a b上連續 根據定理1 存在f(x)在區間a b上的最大值M和最小值m 使任一xa b滿足mf(x)M

5、 上式表明 f(x)在a b上有上界M和下界m 因此函數f(x)在a b上有界 v定理1(最大值和最小值定理) 在閉區間上連續的函數在該區間上一定能取得它的最大值和最小值 第7頁/共12頁第八頁，編輯于星期日：二十一點 四十分。注: 如果x0使f(x0)=0 則x0稱為函數f(x)的零點 v定理3(零點定理) 設函數f(x)在閉區間a b上連續 且f(a)與f(b)異號 那么在開區間(a b)內至少一點x 使f(x)=0第8頁/共12頁第九頁，編輯于星期日：二十一點 四十分。 例1 證明方程x3-x2+1=0在區間(- 1 1)內至少有一個根 證明 設 f(x)=x3-x2+1 則f(x)在閉

6、區間- 1 1上連續 并且 f(-1)= - 1 0 根據零點定理 在(- 1 1)內至少有一點x 使得 f(x)=0 即 x 3-x 2+1=0 這說明方程x3-x2+1=0在區間(- 1 1)內至少有一個根是x 二、零點定理與介值定理v定理3(零點定理) 設函數f(x)在閉區間a b上連續 且f(a)與f(b)異號 那么在開區間(a b)內至少一點x 使f(x)=0第9頁/共12頁第十頁，編輯于星期日：二十一點 四十分。v定理4(介值定理) 設函數 f(x)在閉區間a b上連續 且f(a)f(b) 那么 對于f(a)與f(b)之間的任意一個數C 在開區間(a b)內至少有一點x 使得f(x)=C 二、零點定理與介值定理v定理3(零點定理) 設函數f(x)在閉區間a b上連續 且f(a)與f(b)異號 那么在開區間(a b)內至少一點x 使f(x)=0第10頁/共12頁第十一頁，編輯于星期日：二十一點 四十分。二、零點定理與介值定理v定理3(零點定理) 設函數f(x)在閉區間a b上連續 且f(a)與f(b)異號 那么在開區間(a b)內至少一點x 使f(x)=0推論 在閉區間上連續的函數必取得介于最大值M與最小值m之間的任何值 v定理4(介值定理) 設函