1、第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 1第二章第二章 導數與微分導數與微分 第一節第一節 導數的概念導數的概念 第二節第二節 導數的計算導數的計算 第三節第三節 函數的微分函數的微分 第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 2第一節第一節 導數的概念導數的概念 本節主要內容本節主要內容: : 一一. .導數的定義導數的定義 二二. .導數的幾何意義導數的幾何意義 三三. .函數的可導性與連續性的關系函數的可導性與連續性的關系 第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 3一一. .導數的定義導數的定義例例1

2、. 瞬時速度問題瞬時速度問題vtx 平平均均速速度度00( )( )f tf ttt ,0時時當當tt 取極限得瞬時速度取極限得瞬時速度0000( )( )|lim t tttf tf tvt t一質點在一質點在x軸上作變速直線運動軸上作變速直線運動,運動方程運動方程x=f(t),求求 時刻的瞬時速度。時刻的瞬時速度。0t第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 4 T0 xxoxy)(xfy CNM如圖如圖, 如果割線如果割線MN繞點繞點M旋轉而趨向極限位置旋轉而趨向極限位置MT,直線直線MT就稱為曲線就稱為曲線C在點在點M處的處的切線切線極限位置即極限位置即.

3、0, 0 NMTMN).,(),(00yxNyxM設設的的斜斜率率為為割割線線MN00tanxxyy ,)()(00 xxxfxf ,0 xxMNC沿沿曲曲線線的斜率為的斜率為切線切線MT.)()(limtan000 xxxfxfkxx 例例2.切線問題切線問題第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 5,)(,)(,0);()(,)(,)(00000000 xxyxxfyxxfyxxyxfxxfyyxxxxxxxfy 記記為為處處的的導導數數在在點點數數并并稱稱這這個個極極限限為為函函處處可可導導在在點點則則稱稱函函數數時時的的極極限限存存在在之之比比當當與與如如

4、果果得得增增量量取取相相應應地地函函數數時時仍仍在在該該鄰鄰域域內內點點處處取取得得增增量量在在當當自自變變量量有有定定義義的的某某個個鄰鄰域域內內在在點點設設函函數數定義定義2.1.100( ),x xx xdydf xfxdxdx0或或或 ()第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 6如果如果 存在，則稱存在，則稱y=f (x)在在x0處可導處可導.0limxyx 如果如果 不存在，則稱不存在，則稱y=f (x)在在x0處不可導處不可導.0limxyx 如果如果 ，則稱，則稱y=f (x)在在x0處導數為無窮大處導數為無窮大.0limxyx 第二章第二章 導數

5、與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 7.)()(lim)(0000hxfhxfxfh 其它形式其它形式.)()(lim)(0000 xxxfxfxfxx xxfxxfxyyxxxx )()(limlim00000即即例例3( )10 ,(1).f xxf求解：解：0010()1010(1)limlim10hhxhxhfhh第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 8.)(),(,.)(.)(,dxxdfdxdyxfyxfxfIx或或記作記作的導函數的導函數這個函數叫做原來函數這個函數叫做原來函數導數值導數值的一個確定的的一個確定的都對應著都對應著對于

6、任一對于任一 xxfxxfyx )()(lim0即即.)()(lim)(0hxfhxfxfh 或或注意注意: :00()( ).x xfxfx 第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 92.右導數右導數:定義定義2.1.2 單側導數單側導數1.左導數左導數:0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 0000000( )()()()()limlim;xxxf xf xf xxf xfxxxx 函函數數)(xf在在點點0 x處處可可導導左左導導數數)(0 xf 和和右右導導數數)(0 xf 都都存存在在且且相相等等.

7、定理定理2.1.1第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 10由定義求導數步驟由定義求導數步驟:);()()1(xfxxfy 求增量求增量;)()()2(xxfxxfxy 算算比比值值.lim)3(0 xyyx 求求極極限限例例4.)()(的導數的導數為常數為常數求函數求函數CCxf 解：解：hxfhxfxfh)()(lim)(0 hCCh 0lim. 0 . 0)( C即即第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 11例例5.)(sin)(sin,sin)(4 xxxxxf及及求求設設函函數數解：解：hxhxxhsin)sin(lim

8、)(sin0 22sin)2cos(lim0hhhxh .cos x .cos)(sinxx 即即44cos)(sin xxxx.22 第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 12例例6.)(的的導導數數為為正正整整數數求求函函數數nxyn 解：解：hxhxxnnhn )(lim)(0! 2)1(lim1210 nnnhhhxnnnx1 nnx.)(1 nnnxx即即更一般地更一般地)(.)(1Rxx )( x例如例如,12121 x.21x )(1 x11)1( x.12x 第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 13例例7解：解：

9、00( )( )ff 01( )f 00sin ,( ),x xf xx x 00()(0)sin(0)limlim10 xxfxfxfxx已知已知求求0( ).f 00()(0)(0)limlim10 xxfxfxfxx第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 14oxy)(xfy T0 xM切線方程為切線方程為法線方程為法線方程為).)(000 xxxfyy ).()(1000 xxxfyy 表示曲線y=f(x)上點 0()fx000(,()P xf x處切線的斜率。 二二. .導數的幾何意義導數的幾何意義第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概

10、念導數的概念 15解解: : 由導數的幾何意義由導數的幾何意義, ,得切線斜率為得切線斜率為21 xyk21)1( xx2121 xx. 4 所求切線方程為所求切線方程為法線方程為法線方程為),21(42 xy),21(412 xy. 044 yx即即. 01582 yx即即.,)221(1x例例9,方程和法線方程方程和法線方程并寫出在該點處的切線并寫出在該點處的切線斜率斜率處的切線的處的切線的在點在點求等邊雙曲線求等邊雙曲線y 第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 16定理定理2.1.2 2.1.2 凡可導函數都是連續函數凡可導函數都是連續函數. .證證,)(

11、0可可導導在在點點設設函函數數xxf.)(0連連續續在在點點函函數數xxf三三. .函數的可導性與連續性的關系函數的可導性與連續性的關系)(lim00 xfxyx 即即00000limlim() limxxxyyxfxxx 有有注意注意: : 該定理的逆定理不成立該定理的逆定理不成立.第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節 導數的概念導數的概念 17例例10.0)(處的可導性處的可導性在在討論函數討論函數 xxxf解解: :xy xyo,)0()0(hhhfhf hhhfhfhh 00lim)0()0(lim, 1 hhhfhfhh 00lim)0()0(lim. 1 ),0()0( ff即即.0)(點點不不可可導導在在函函數數 xxfy0( )f 0( )f 第二章第二章 導數與微分導數與微分第一節第一節