1、第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 1第六章第六章 常微分方程常微分方程 第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 第二節第二節 一階微分方程一階微分方程第三節第三節 可降階的高階微分方程可降階的高階微分方程第四節第四節 二階線性微分方程解的結構二階線性微分方程解的結構 第五節第五節 二階常系數線性齊次微分方程二階常系數線性齊次微分方程第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 2第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 一一. .問題引入問題引入二二. .微分方程的定義微分方程的定

2、義 本節主要內容本節主要內容: :三三. .求微分方程的解求微分方程的解第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 3 在力學、物理學及工程技術等領域中為在力學、物理學及工程技術等領域中為了對客觀事物運動的規律性進行研究，往往了對客觀事物運動的規律性進行研究，往往需要尋求變量間的函數關系，但根據問題的需要尋求變量間的函數關系，但根據問題的性質，常常只能得到待求函數的導數或微分性質，常常只能得到待求函數的導數或微分的關系式，這種關系式在數學上稱之為微分的關系式，這種關系式在數學上稱之為微分方程。方程。第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方

3、程的基本概念微分方程的基本概念 4例例1 1 一曲線過點一曲線過點(0, 0)，且曲線上各點處的切線斜率等，且曲線上各點處的切線斜率等于該點橫坐標的平方，求此曲線方程于該點橫坐標的平方，求此曲線方程解解 設所求曲線的方程為設所求曲線的方程為y=y(x)(x,y)為曲線上的任意點，在該點曲線的切線的為曲線上的任意點，在該點曲線的切線的斜率為斜率為y,依題意有：依題意有：兩邊積分，得兩邊積分，得313yxC (2)2yx (1)一、問題引入一、問題引入第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 5上式表示的是曲線上任意一點的切線的斜率為上式表示的是曲線上任

4、意一點的切線的斜率為x2的所的所有曲線但要求的是過點有曲線但要求的是過點(0,0)的曲線，即的曲線，即331xy 將將(3)式代入式代入(2)式，得式，得C = 0，所以，所以 x = 0時，時， y = 0 (3)為所求的曲線方程為所求的曲線方程 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 6例例2 一物體由靜止開始從高處自由下落，已知物體一物體由靜止開始從高處自由下落，已知物體下落時的重力加速度是下落時的重力加速度是g ，求物體下落的位置與時間，求物體下落的位置與時間之間的函數關系之間的函數關系。解解 設物體的質量為設物體的質量為m,由于下落過程中

5、只受重力作用由于下落過程中只受重力作用,故物體所受之力為故物體所受之力為F = mg，第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 7 22ddsat ,所以所以及加速度及加速度又根據牛頓第二定律，又根據牛頓第二定律， F = ma 22d,dsmm gt 22ddsgt 即即(5)第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 8兩端積分得兩端積分得 1ddsgtCt (6)現在來求現在來求s與與t之間的函數關系，對之間的函數關系，對(5)式式21212sgtCCd0,0dssvt 由題意知由題意知 t = 0 時

6、，時，(8)這里這里C1，C2都是任意的常數都是任意的常數(7)再兩端積分，得再兩端積分，得第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 9C1 = 0 , C2 = 0. 故故(7)式為式為把把(8)式分別代入式分別代入(6)，(7)式，得式，得212sgt (9)這就是初速度為這就是初速度為0的物體垂直下落時距離的物體垂直下落時距離s與時間與時間t之間的函數關系之間的函數關系 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 10微分方程微分方程:凡含有未知函數的導數或微分的方程叫微分方程凡含有未知函數的導數或微分

7、的方程叫微分方程.例例,xyy ,32xeyyy , 0)(2 xdxdtxt實質實質: 聯系自變量聯系自變量,未知函數以及未知函數的某些導數未知函數以及未知函數的某些導數(或或微分微分)之間的關系式之間的關系式.二、微分方程的定義二、微分方程的定義20,0yxyxdyydx 2231yyyx 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 11分類分類1:按自變量的個數，分為常微分方程和偏微分方程按自變量的個數，分為常微分方程和偏微分方程.都是常微分方程；都是常微分方程；如如 y= x2 , y+ xy2 = 0 , 如果其中的未知函數只與一個自變量有關

8、，就如果其中的未知函數只與一個自變量有關，就稱為稱為常微分方程常微分方程。(4)4 4xyyyxe 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 12就是偏微分方程；就是偏微分方程； 如果未知函數是兩個或兩個以上自變量的函數，如果未知函數是兩個或兩個以上自變量的函數，并且在方程中出現偏導數并且在方程中出現偏導數如如2222220uuuxyz 本章我們只介紹常微分方程。本章我們只介紹常微分方程。第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 13微分方程的階微分方程的階: 微分方程中出現的未知函數的微分方程中出現的未知

9、函數的最最高高階導數的階數階導數的階數.222d, 2 31dsg yyyxt 都是二階微分方程都是二階微分方程.都是一階微分方程；都是一階微分方程；如如 y= x2 , y+ xy2 = 0 ,xdy + ydx = 0(4)4 4xyyyxe 是四階微分方程；是四階微分方程；等等等等二階及二階以上的微分方程稱為二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程高階微分方程.第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 14分類分類2:按方程中未知函數導數的最高階數，分為一階、按方程中未知函數導數的最高階數，分為一階、二階和高階微分方程二階和高階微分方程一階微分

10、方程一階微分方程, 0),( yyxF);,(yxfy 高階高階(n)微分方程微分方程, 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 15微分方程的解微分方程的解: :代入微分方程能使方程成為恒等式的函數代入微分方程能使方程成為恒等式的函數. 微分方程的解的分類：微分方程的解的分類：(1)(1)通解通解: : 微分方程的解中含有任意常數微分方程的解中含有任意常數, ,且且獨立的任意常數的個數與微分方程的階數相同獨立的任意常數的個數與微分方程的階數相同. .三、主要問題三、主要問題求方程的解求

11、方程的解含有幾個任意常數的表達式，如果它們不能合并而使含有幾個任意常數的表達式，如果它們不能合并而使得任意常數的個數減少，則稱這表達式中的幾個任意得任意常數的個數減少，則稱這表達式中的幾個任意常數常數相互獨立相互獨立獨立的任意常數的個數獨立的任意常數的個數= =微分方程的階數微分方程的階數第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 16不能合并的，即不能合并的，即C1，C2是相互獨立的是相互獨立的例如例如y = C1x + C2x + 1 與與 y = Cx+1 (C1,C2，C都是任意常數）所表示的函數族是相同的，都是任意常數）所表示的函數族是相同的

12、，因此因此y = C1x + C2x + 1中的中的C1，C2是不獨立的；是不獨立的；而而 中的任意常數中的任意常數C1，C2是是21212sgtCC 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 17, yy 例例;xcey 通解通解, 0 yy;cossin21xcxcy 通通解解(2)特解特解: 確定了通解中任意常數以后的解確定了通解中任意常數以后的解.初始條件初始條件: 確定任意常數取固定值的條件確定任意常數取固定值的條件.第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 18解的圖象解的圖象: : 微分方程的

13、積分曲線微分方程的積分曲線. .通解的圖象通解的圖象: : 積分曲線族積分曲線族. .初值問題初值問題: : 求微分方程滿足初始條件的解的問題求微分方程滿足初始條件的解的問題第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 19二階微分方程的定解條件通常是二階微分方程的定解條件通常是x = x0時，時，y = y0、y = y0或寫成或寫成00 x xyy 00 xxyy 或或本章討論的一階微分方程本章討論的一階微分方程 ，f(x,y)表示表示x,y的關系式），它的定解條件通常是的關系式），它的定解條件通常是x=x0時，時，y=y0或寫成或寫成( , )yf

14、 x y 0 x xy 第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 20把把y和和y代入微分方程左端得代入微分方程左端得12 sincosyCxCx 12cossinyCxCx 1212cossincossin0yyCx Cx Cx Cx 解解12cossinyCxCx 又又例例3 驗證驗證 是微分方程是微分方程 的的通解并求此方程滿足初始條件通解并求此方程滿足初始條件12cossinyCxCx 0yy ()1, ()144yy 的特解。的特解。第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方程的基本概念 210yy12sincosyCxCx 是該微分方程的通解是該微分方程的通解.是二階的，所以是二階的，所以方程方程()1, ()144yy 代入初始條件代入初始條件得得12212212222122CCCC 中含有兩個獨立的常數，而中含有兩個獨立的常數，而第六章第六章 常微分方程常微分方程第一節第一節 微分方程的基本概念微分方