1、課程信息年 級七年級學 科數學版 本人教四年制內容標題分組分解法(二)拆項、配方、換元編稿老師韋海柱【本講教育信息】一.教學內容：分組分解法(二)拆項、配方、換元.重點、難點拆項、配方、換元是因式分解常用到的技巧，這些技巧在今后的數學學習中還將大量用到。拆項主要是把系數適當的拆分，再重新分組達到分解的目的。配方主要用到完全平方公式，找到平方元素是配方的關鍵。換元法的本質就是把相同的部分看作一個整體，這個整體有單個字母的作用。以下是配方常用的公式222_ab(a b)2ab(ab)24ab(ab)2(ab)24ab(ab)2_2_2a(a 1)(a 2)(a 3) 1 (a3a 1)222222

2、a (a 1) a (a 1)(aa 1)【典型例題】2例 1分解因式：(a b 2ab)(a b 2) (1 ab)分析：此題無公因式可提，也無法運用公式，只有兩項也無法分組，但要把每一項乘開則太麻煩，注意到 a b, ab把它們看作一個字母，用換元法即可。解：設x a b, y ab 2 則原式(x 2y)(x 2) (1 y) 22x 2xy 2x 4y 1 2y y22x 2xy y 2x 2y 1,、2(x y) 2(x y) 1(x y 1)2 2(a b ab 1)(a ab) (1 b)22x b 2a b 2ab x ax(x2b ax) (2ab2x 2a 2 b)x(xb

3、 a) 2ab(bx a)(xb a)(x 2ab) (a 1)b a(a 1) 2ab(a 1)2(b 1)2 22例 2分解因式：(1 2a a )b a(a 1)(2b1)分析：此多項式展開后，項數較多，不易找到分解的方法，可把其中a 1看做一個整式，減少展開后的項數，簡化問題。 22222解：令 a 1 x則 1 2a a (a 1) 2a x 2a222原式(x 2a )b ax(2b 1)(ab a b)(a 2ab 1)說明：換元時可以進行部分換元，分解因式后再還原。例 3分解因式(1) x4 2x3 3x2 2x 1; (2) x4 2000x2 1999x 2000解：4 3

4、 2 3 2 2(1)原式(x x x ) (x x x) (x x 1) 2222x (x x 1) x(x x 1) (x x 1)(x2x1)(x2x1)(x2x 1)2432322(2)原式x xx x xx 2000x2000x2000222_2x (x x 1) x(x x 1) 2000(x x 1)22(x2 x 1)(x2 x 2000) 2.說明：對于局次多項式x x 1是經常出現的因式例4分解因式：bc(b c) ca(ca) ab(a b)分析：因為c a(b c) (a b),所以可先將ca(c a)進行拆項，然后再進行分組分解。解：原式 bc(b c) ca(b c

5、) (a b) ab(ab)bc(b c) ca(b c) ca(ab) ab(ab)c(b c)(a b) a(a b)(c b) (a b)(b c)(c a)22、22222、例 5分解因式(x y )4(x z )(z y )222222分析：若直接乘開非常復雜，觀察到(x z )(zy )xy222222，設 x z a z yb 利用(ab)4ab(ab)解：設 x2 z2 a z2 y2 b2222a b x z z y2原式(a b) 4ab(a b)22222 2(x z z y )/ 22- 2、2(x y 2z )例6分解因式（12_ 2242y) 2x (1 y ) x

6、 (1 y)分析：觀察多項式，其首、末兩項是完全平方式，可考慮對其進行配方。解：原式(1 y)2 2(1y)x2(1 y) x4(1y)2 2(1 y)x2(1 y) 2x2(1 y2)22_ 222(1y)x(1y) 2x(1y)(1y )222_2(xxyy1)(2x),2222(xxyy1 2x)(xxy y12x)2_22_2(x2x 1)y(x1)( x 2x1) y(x1)2 2(x1)y(x1)(x1)( x1)y(x 1)(x1) (x 1)(x 1 xy y)(x 1)(x 1 xy y) 4_32_ _ _例 7分解因式(1)x7x6； (2) 3x11x28x 20解：(

7、1)原式x4x3x3x x2 x6x 63 2x (x 1) x (x 1) x(x 1) 6(x 1)(x 1)( x3x2(x 1) 8x(x 1) 20(x 1) x2 x 6)3 22(2)原式 3x 3x8x 8x 20x 20一 2 一 一(x 1)(3x 8x 20)說明：若一個多項式各項系數之和為0,則一定有x 1這個因式，若一個多項式奇次系數之和與偶次系數之和相等一定有x 1這個因式。2例 8分解(x y 3)(x y) (x y 3) 6422解：原式(x y) 9(x y) 644 _2_(x y) 9(x y) 64(x y)4 16(x y)2-22_-2_2z5yy

8、y9zy 6y 90 z (y 3)0z0y30y3x5y532. x 2y 3z 2 2 3 3 0 8 64 25( x y)2 (x y)2 82 25(x y)2,22(x 2xy y225x 5y 8)(x 2xy y 5x 5y 8). 一 .222 一2例9分解因式x (1 x) x 8(1 x)分析：觀察題目，前兩項都是平方元素，但配方后卻做不下去，聯想前面的配方公式222222 .一一 一.a (a 1)a (a1)(aa1)拆最后一項去做。解：原式x2(1x)2x2(x1)2 9(x 1)2222(x2 x 1)2 9(x 1)222_(x4x4)(x2x2)_ 22_(x

9、2) (x2x2)2例10已知實數x、y、z滿足x y 5, z xy y 9,求x 2y 3z分析：原題中只有兩個方程，按常規無法求出x、y、z用消元法代入較復雜的式子中變形求解。 2解：由 x y 5得 x 5 y 則 z (5 y)y y 9【模擬試題】（答題時間：80分鐘）.判斷題2_4,i1. x5x6 (x2)(x3)()一2_一，一、，、2. x7x8 (x8)(x1)()3. x(x 2) y(2 x) (x 2)(x y)()224. x 2xy 8y (x 2y)(x 4y)()2_5. (x 1) x 21 (x 5)(x 4)()326. a 4a 12a a(a 6)

10、(a 2)()251/ 1、/ 1、 ,、7. x6x6(x 2)(x 3) ()3232.33228. aabb因式分解可分組為(ab ) (a b )(9. (a b2c) a(a b) ac有因式 a c (一 ,2,210. (x x 1)(x_2一，x 4) 6 (x x 1)(x 2)(x 1)(.填空題33321. x 25x , x 125, x y x y 20xy 的公因式是 222. 分解因式4x y 6x 3y 3. 分解因式x2 7x 60 24. x 3x = (x 2) ()81225. m 0.54mn 0.09n100-44_ 22_22_、6. 4x y (

11、2x y 2xy)(2x y 2xy)7. x2 7xy 10y2 2448. 1 17y16y ,2,29. kx7xy12y (x 3y)(kx4y),則 k32210. x6x11x6 (x 1)(xax b),則a .選擇題1.2卜面四個因式分解題：（1） x 5x 6 （x 6）（x 1）; （2）211x 28y(x 4y)(x 7y); (3).21、24x 4x 1 4(x -) ; (4)(xy)3 (y x)(x y)(x y 1) (xy 1）,其中分解正確的題數是（A. 1B. 2C. 3D. 42.多項式ax bxab可分解為（A. (xa)(x b)B. (xa)(

12、xb)C. (xa)(x b)D. (xa)(xb)3.多項式2-x 2xy2x2y 8可分解為（A. (xy 4)(x2)B. (x1)(x8)C. (xy 4)( x2)D. (x1)(x8)4.分解的結果等于（x24)(x4）的多項式是（2A. x 50x96_2 一 一B. x 20x 96_2C. x2 20x962D. x 10x 9625.與多項式x5x4有一個相同因式的多項式是（2A. x 5x22B. x 5x 6 C. x5x 6D.2x 5x 66.如果x2 mx6能分解為系數是整數的兩個一次因式的積，則整數m可取的值為32.2. x x x 3A. 2個B. 4個C.

13、6個D. 8個)21B. (a 4)(a )33a 1D. (-)(3a2)330 127. a2 -a 分解因式得(33,2、，1A. (a o)(a)331 2、“，、C. (-a -)(3a 1)338.若(xy)(xy)2 xy(xy) (xy)M,且x y 0,則”是（ ）2A. x2B. xxy-2 C222C. x 3xy yD. x xy y四.將下列各式因式分解221. 4a2 b2 6a 3b32.2. xxx12_3. t2t8324. a 4a 12a22_5. ab2b1226. m8mn12n，、2，、7. (x y) 4(x y 1)2.28. x 4xy 4y

14、6x 12y 829. (x y z) yz(y z) xyz_4_4_222.2.10. x 16y 8x y x 4y 4xy五.分解因式一 4_2,3. x 24x14442 244. 9x 2x y y六.解答題1 .已知ax 2bx ay 2by的值為12, a 2b的值為4,求x y的值。2.222.已知 3y x 2z ,求 x 9y 4z 4xz 的值。【試題答案】1.2. X8.9. x10. V1.(2a b)(2a b) 3(2a b) (2a b)(2a b 3)1. x 5y) (2x y)(2x y 3)2. (2x y)(2x y) 3(2x3. (x 12)(x

15、 5)4. 10; x 5925. (3m n)100.2 2.226. 4x y ； 4x y7. (x 2y)(x 5y)_228. (16y1)(y1) (4y 1)(4y 1)(y 1)( y 1)9. 110. 51. A2. C3. C4. C5. B6. B 7. D 8. C四.222. x (x 1) (x 1) (x 1)(x 1)(x 1) (x 1) (x 1)3. (t 4)(t 2) 2-一一4. a(a 4a 12)a(a 6)(a 2)225. a(b 1) (ab1)(ab1)6. (m2n)(m 6n),、2,、，_、 27. (xy) 4(x y) 4(xy2)28. (x 2y)6(x 2y) 8 (x 2y 4)(x 2y 2)29. (xy z) yz(x yz) (x y z)(x yz yz),2.2,2222210. (x 4y) (x 2y) (x 2y) (x 2y)(x 2y)2,22,、(x 2y) (x 4xy 4y 1)5.1. (x2 5x 4)(x2