1、 1. 1.函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性 在在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)內(nèi)可導(dǎo)函數(shù)f(x),f(x)在在(a,b)任意子區(qū)間內(nèi)都任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于不恒等于0. f(x)0 f(x)為為 ; f(x)0 f(x)為為 .減函數(shù)減函數(shù) 增函數(shù)增函數(shù) 2. 2.函數(shù)的極值函數(shù)的極值 (1)判斷判斷f(x0)是極值的方法是極值的方法 一般地一般地,當(dāng)函數(shù)當(dāng)函數(shù)f(x)在點(diǎn)在點(diǎn)x0處連續(xù)時(shí)處連續(xù)時(shí), 如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè), 右側(cè)右側(cè) ,那么那么f(x0)是極大值是極大值. 如果在如果在x0附近的左側(cè)附近的左側(cè) ,右側(cè)右側(cè) ,那么那么f(x0)是極小值是極小值. (2)求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟求可導(dǎo)

2、函數(shù)極值的步驟 求求f(x); 求方程求方程 的根的根;f(x)0f(x)0 f(x)0f(x)=0 考察在每個(gè)根考察在每個(gè)根x0附近附近,從左到右導(dǎo)函數(shù)從左到右導(dǎo)函數(shù)f(x)的符號(hào)的符號(hào)如何變化如何變化.如果左正右負(fù)如果左正右負(fù),那么那么f(x)在在x0處取得處取得 ;如如果左負(fù)右正果左負(fù)右正,那么那么f(x)在在x0處取得處取得 . 3. 3.函數(shù)的最值函數(shù)的最值 (1)在閉區(qū)間在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)上連續(xù)的函數(shù)f(x)在在a,b上上必有最大值與最小值必有最大值與最小值. (2)若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在a,b上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增,則則 為函為函數(shù)的最小值數(shù)的最小值, 為函數(shù)的最大值為函

3、數(shù)的最大值;若函數(shù)若函數(shù)f(x)在在a,b上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減,則則 為函數(shù)的最大值為函數(shù)的最大值, 為函數(shù)的為函數(shù)的最小值最小值.極小值極小值 極大值極大值 f(a) f(b)f(a) f(b) (3)設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)在在a,b上連續(xù)上連續(xù),在在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)內(nèi)可導(dǎo),求求y=f(x)在在a,b上的最大值與最小值的步驟如下上的最大值與最小值的步驟如下: 求函數(shù)求函數(shù)y=f(x)在在(a,b)內(nèi)的內(nèi)的 ; 將函數(shù)將函數(shù)y=f(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較比較,其中最大的一個(gè)是最大值其中最大的一個(gè)是最大值,最小的一個(gè)是最小值最小的一個(gè)是最小值.極

4、值極值 已知已知f(x)=ex-ax-1.(1)求求f(x)的單調(diào)增區(qū)間的單調(diào)增區(qū)間;(2)若若f(x)在定義域在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增內(nèi)單調(diào)遞增,求求a的取值范圍的取值范圍;(3)是否存在是否存在a,使使f(x)在在(-,0上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減,在在 0,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增?若存在若存在,求出求出a的值的值;若不存若不存 在在,說(shuō)明理由說(shuō)明理由. f(x)=ex-a. (1)若若a0,f(x)=ex-a0恒成立恒成立,即即f(x)在在R上遞增上遞增. 若若a0,ex-a0,exa,xlna. f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為的單調(diào)遞增區(qū)間為(lna,+). (2)f(x)在在R內(nèi)單調(diào)遞增內(nèi)單調(diào)遞增

5、,f(x)0在在R上恒成立上恒成立.ex-a0,即即aex在在R上恒成立上恒成立.a(ex)min,又又ex0,a0. (1)通過解通過解f(x)0求單調(diào)遞增區(qū)間求單調(diào)遞增區(qū)間; (2)轉(zhuǎn)化為恒成立問題求轉(zhuǎn)化為恒成立問題求a; (3)假設(shè)存在假設(shè)存在a,則則x=0為極小值點(diǎn)為極小值點(diǎn),或利用恒成立問題或利用恒成立問題.(3):由題意知由題意知ex-a0在在(-,0上恒成立上恒成立.aex在在(-,0上恒成立上恒成立.ex在在(-,0上為增函數(shù)上為增函數(shù).x=0時(shí)時(shí),ex最大為最大為1.a1.同理可知同理可知ex-a0在在0,+)上恒成立上恒成立.aex在在0,+)上恒成立上恒成立.a1,a=1

6、.:由題意知由題意知,x=0為為f(x)的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn).f(0)=0,即即e0-a=0,a=1.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性比用函數(shù)單調(diào)性的定義要方便的定義要方便,但應(yīng)注意但應(yīng)注意f(x)0(或或f(x)0)僅是僅是f(x)在某個(gè)區(qū)在某個(gè)區(qū)間上為增函數(shù)間上為增函數(shù)(或減函數(shù)或減函數(shù))的充分條件的充分條件,在在(a,b)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)內(nèi)可導(dǎo)的函數(shù)f(x)在在(a,b)上遞增上遞增(或遞減或遞減)的充要條件應(yīng)是的充要條件應(yīng)是f(x)0或或f(x)0,x(a,b)恒成立恒成立,且且f(x)在在(a,b)的任意子區(qū)間內(nèi)都的任意子區(qū)間內(nèi)都不恒等于不恒等于0,這就是說(shuō)

7、這就是說(shuō),函數(shù)函數(shù)f(x)在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間上的增減性并不排斥在區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處有在區(qū)間內(nèi)個(gè)別點(diǎn)處有f(x0)=0,甚至可以在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)處甚至可以在無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)處f(x0)=0,只要這樣的點(diǎn)不能充滿所給區(qū)間的任何一個(gè)子區(qū)只要這樣的點(diǎn)不能充滿所給區(qū)間的任何一個(gè)子區(qū)間間,因此因此,在已知函數(shù)在已知函數(shù)f(x)是增函數(shù)是增函數(shù)(或減函數(shù)或減函數(shù))求參數(shù)的取值求參數(shù)的取值范圍時(shí)范圍時(shí),應(yīng)令應(yīng)令f(x)0或或f(x)0恒成立恒成立,解出參數(shù)的取值范解出參數(shù)的取值范圍圍(一般可用不等式恒成立理論求解一般可用不等式恒成立理論求解),然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值然后檢驗(yàn)參數(shù)的取值能否使能否使f(x)恒等于恒等于

8、0,若能恒等于若能恒等于0,則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去則參數(shù)的這個(gè)值應(yīng)舍去,若若f(x)不恒為不恒為0,則由則由f(x)0或或f(x)0恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定恒成立解出的參數(shù)的取值范圍確定.設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)f(x)=ax-(a+1)ln(x+1),其中其中a-1,求求f(x)的單調(diào)區(qū)間的單調(diào)區(qū)間.由已知得函數(shù)由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)椋ǎ亩x域?yàn)椋ǎ?且且f(x)= (a1).(1)當(dāng)當(dāng)-1a0時(shí)時(shí),由由f(x)0時(shí)，由時(shí)，由f（x）=0,解得解得x= .a1f（x）,f(x)隨隨x的變化情況如下表：的變化情況如下表：x x(-1, )ff（x x）-0+f f（x x）極小值極小值a1

9、a1),1(a 從上表可知從上表可知 當(dāng)當(dāng)x(-1, )時(shí)，時(shí)，f(x)0,函數(shù)函數(shù)f(x)在在( ,+)上單上單調(diào)遞增調(diào)遞增.綜上所述綜上所述: 當(dāng)當(dāng)-1a0時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)在在(-1,+ )上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減. 當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí),函數(shù)函數(shù)f(x)在在(-1, )上單調(diào)遞減上單調(diào)遞減,f(x)在在( ,+)上單調(diào)遞增上單調(diào)遞增.a1a1a1a1a1a1已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx+1，當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)x=-1，x=1時(shí)時(shí) 取得極值，且極大值比極小值大取得極值，且極大值比極小值大4.(1)求求a,b的值的值;(2)求求f(x)的極大值和極小值的極大值和極小值.求出求出f(

10、x)，依題意，依題意x=-1，x=1是是 f(x)=0的兩根，得到的兩根，得到a,b的方程，并判斷出的方程，并判斷出x=-1及及x=1時(shí)所時(shí)所取的極值是極大值還是極小值，從而建立取的極值是極大值還是極小值，從而建立y極大極大 y 極小極小=4的方程的方程.聯(lián)立解出聯(lián)立解出a,b的值和極大、極小值的值和極大、極小值. (1)f(x)=x5+ax3+bx+1的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)镽.f(x)=5x4+3ax2+b.x=1時(shí)有極值時(shí)有極值,5+3a+b=0.b=-3a-5.將代入將代入f(x)得得f(x)=5x4+3ax2-3a-5=5(x4-1)+3a(x2-1)=(x2-1)5(x2+1)+3a=

11、(x+1)(x-1)5x2+(3a+5).f(x)僅在僅在x=1時(shí)有極值時(shí)有極值,5x2+(3a+5)0對(duì)任意對(duì)任意x成立成立.3a+50,a .35考查考查f(x),f(x)隨隨x的變化情況的變化情況:由此可知，當(dāng)由此可知，當(dāng)x=-1時(shí)取得極大值時(shí)取得極大值;當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)取得極小值時(shí)取得極小值.f(-1)-f(1)=4.即即(-1)5+a(-1)3+b(-1)+1-(15+a13+b1+1)=4.整理得整理得a+b=-3. a=-1, b=-2.x x(-,-1)-1(-1,1)1(1,+) +0-0+極大值極大值極小值極小值 )(x(xf f)f(xf(x由解得由解得此題屬于逆向思維，仍可

12、根據(jù)求函數(shù)極值此題屬于逆向思維，仍可根據(jù)求函數(shù)極值步驟來(lái)求，但要注意極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：極值點(diǎn)步驟來(lái)求，但要注意極值點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系：極值點(diǎn)為為f(x)=0的根，利用這一關(guān)系，建立字母系數(shù)的方程，的根，利用這一關(guān)系，建立字母系數(shù)的方程，使問題轉(zhuǎn)化為含字母系數(shù)的方程或方程組問題，通過解使問題轉(zhuǎn)化為含字母系數(shù)的方程或方程組問題，通過解方程或方程組確定字母系數(shù)方程或方程組確定字母系數(shù).（2）a=-1，b=-2，f(x)=x5-x3-2x+1.f(x)的極大值的極大值f(x)極大極大=f(-1)=3;f(x)的極小值的極小值f(x)極小極小=f(1)=-1.已知函數(shù)已知函數(shù)f(x)= +aln(

13、x-1),其中其中nN*,a為常數(shù)為常數(shù).(1)當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí),求函數(shù)求函數(shù)f(x)的極值的極值;(2)當(dāng)當(dāng)a=1時(shí)時(shí),證明證明:對(duì)任意的正整數(shù)對(duì)任意的正整數(shù)n,當(dāng)當(dāng)x2時(shí)時(shí),有有f(x)x-1.n nx)x)- -(1(1 1(1)由已知得函數(shù)由已知得函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)閤|x1,當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí),f(x)= +aln(x-1),所以所以f(x)= .當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí),由由f(x)=0得得x1=1+ 1,x2=1- 1,此時(shí)此時(shí)f(x)= .當(dāng)當(dāng)x(1,x1)時(shí)時(shí),f(x)0,f(x)單調(diào)遞增單調(diào)遞增.2 2x)x)- -(1(1 13 32 2x x) )- -( (1 1x x)

14、)- -a a( (1 1- -2 2a2a23 32 21 1x x) )- -( (1 1) )x x- -) )( (x xx x- -a a( (x x- -（2）證明）證明:證法一證法一:因?yàn)橐驗(yàn)閍=1,所以所以f(x)= +ln(x-1).當(dāng)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)為偶數(shù)時(shí),令令g(x)=x-1- -ln(x-1),則則g(x)=1+= 0(x2).所以當(dāng)所以當(dāng)x2,+)時(shí)，時(shí)，g(x)單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，當(dāng)當(dāng)a0時(shí)時(shí),f(x)0時(shí)時(shí),f(x)在在x=1+ 處取得極小值處取得極小值,極小值為極小值為f(1+ )= (1+ln ).當(dāng)當(dāng)a0時(shí)，時(shí)，f(x)無(wú)極值無(wú)極值.a2a22aa2 x x)

15、 )- -( (1 1 1 1n n x)x)- -(1(1 1 1n n1 1- -x x1 1- -1 1) )- -( (x xn n1 1n n1 1- -x x2 2- -x x1 1n n1 1) )- -( (x xn n又又g(2)=0,因此因此g(x)=x-1- -ln(x-1)g(2) =0恒成立，所以恒成立，所以f(x)x-1成立成立.當(dāng)當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，要證為奇數(shù)時(shí)，要證f(x)x-1,由于由于 0，所以當(dāng)，所以當(dāng)x2時(shí)，恒有時(shí)，恒有h(x)0,即即ln(x-1)0).試問當(dāng)試問當(dāng)x取何值時(shí)，容積取何值時(shí)，容積V有最大值有最大值?V=x(2a-2x)2=4(a-x)2x.

16、t,0 x .函數(shù)函數(shù)V=V(x)=4x(a-x)2的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?.顯然顯然 0,得得0 xa，此時(shí)，此時(shí)V(x)為增函數(shù)；由為增函數(shù)；由V0，得，得 xa，此時(shí)，此時(shí)V（x）為減函數(shù)）為減函數(shù).2x2x- -2a2ax x2 2t t1 12 2a at t 2 2t t1 12 2a at t,02 2t t1 12 2a at t3 3a a3 3a a當(dāng)當(dāng) ，即，即t 時(shí)，時(shí)，在在x= 時(shí)，時(shí)，V有最大值有最大值 a3;當(dāng)當(dāng) ,即即0t 時(shí)，時(shí)，在在x= 時(shí)，時(shí)，V有最大值有最大值 .3 3a a2 2t t1 12 2a at t4 41 12 27 71 16 64 41

17、13 33 32 2t t) )( (1 1t t8 8a a2 2t t1 12 2a at t3 3a a3 3a a2 2t t1 12 2a at t 1.注意單調(diào)函數(shù)的充要條件注意單調(diào)函數(shù)的充要條件,尤其對(duì)于已知單調(diào)性尤其對(duì)于已知單調(diào)性求參數(shù)值求參數(shù)值(范圍范圍)時(shí)時(shí),隱含恒成立思想隱含恒成立思想. 2.求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范、表格齊全，求極值、最值時(shí)，要求步驟規(guī)范、表格齊全，含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小含參數(shù)時(shí)，要討論參數(shù)的大小. 3.在實(shí)際問題中在實(shí)際問題中,如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)點(diǎn),那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定最大值還是最小值即可那么只要根據(jù)實(shí)際意義判定最大值還是最小值