1、波利亞“怎樣解題”的思想，內容及實踐結果喬治 . 波利 亞 (George Polya) 1887 年出生在 匈牙利 ，青年時期曾在布達佩斯 、維也納 、 哥廷根 ，巴黎等地攻讀數學、物理和哲學，獲博士學位 。 1914年 在 蘇黎世 著名的 瑞士聯邦理工學院任教。 1940 年 移居美國，1942 年 起任 美國斯坦福大學 教授。 他一生發表達200 多篇論文和許多專著 ， 他在數學的廣闊領域內有精深的 造詣 ，對 實變函數 、 復變函數 、 概率論 、 數論 、幾何和 微分方程 等若干分支領域都做出了開創性的貢獻，留下了以他的名字命名的術語和定理波利 亞致力于解題的研究，為了回答“一個好的

2、解法是如何想出來的”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程 ， 并把研究所得寫成怎樣解題一書。這本書的核心是他分解解題的思維過程 得到的一張怎樣解題表。在這張包括“弄清問題”、 “擬定計劃”、 “實現計劃”和“回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即“擬定計劃”的分析是最為 引人入勝 的。 他指出尋找解法實際上就是“找出已知數與未知數之間的聯系， 如果找不出直接聯系， 你可能不得不考慮輔助問題 。 最終得出一個求解計劃。 ”他把尋找并發現解法的思維過程分解為五條建議和23 個具有啟發性的提示語，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程的“慢動作鏡頭”， 使我們對解題的思維過程看得見

3、，摸得著。波利 亞的 怎樣解題表的精髓是啟發你去聯想。聯想什么？怎樣聯想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和提示性的問題吧。 “你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數！試指出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。這里有一個與你現在的問題有聯系且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它，你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方式重新敘述它？”這些大量提示性的問題，不是問別人，而是問自己，實際是解題者的自我詰問 ， 自我反省。問題中有一

4、部分其對象是針對問題具體的內容的，也就是“ 客體水平”的， 屬于認 知性 的； 問題中的還有一部分是以解題者身軀為對象，針對主體內部心理抽象認知過程 的， 屬于 元認知 性的。 這些問題并沒有直接涉及問題的具體內容，完全是針對主體自身思維，是對自身解題思維活動的反詰 ， 是自我監察， 自我意識 ，自我預測，自我調節，自我監控。因此在地理解題過程中我們應該：一、加強對解題過程的監控在解題過程中，自己應該對以下幾個主要要素 進行監控：控制、 監察、 預見、調節和評價。1控制，即在解題過程中，對如何入手，如何策劃，如何構思，如何選擇，如何組織，如何猜想，如何修正等做出基本計劃和安排。對 學習情境 中

5、的各種信息做出準確的知覺和分類，調動頭腦中已有的相關知識，對有效信息做出迅速選擇，以恰當的方式組織信息，選擇解決問題的策略，安排學習步驟，控制自己的思維方向。關注解題的過程性和層次性，有意識地控制自己的解題節奏，對整個解題過程做到“心中有數”，明確地意識到自己所采取的每一個解題步驟的意圖。2監察，即臨視和考察。在解題過程中，密切關注解題進程，保持良好的批判性 ， 以高度的警覺審視解題每一歷程問題的認識、策略的選取、前景的設想、概念的理解、定理的運用、形式的把握，用恰當的方式方法檢查自己的猜想、推理、運算和結論。3預見，即在解題的整個過程，隨時估計自己的處境，判斷問題的性質，展望問題的前景。對問

6、題的性質、特點和難度以及解題的基本策略和基本思維做出大致的估計、判斷和選擇；猜想問題的可能答案和可能采取的方法，并估計各方法的前景和成功的可能性等等，要設法使自己置易于抓住問題的位置上。4調節，即根據監察的結果，根據對解題各方面的預見，及時調整解題進程，轉換思考的策略，重新考慮已知條件、未知數或條件、假設和結論；對問題重新表述，以使其變得更加熟悉，更易于接近目標。如，“盡可能畫一張圖”，“引入適當的符號”，“回到定義中去”。5評價，即以“理解性”和“發展性”標準來認識自己解題的收獲，自覺對問題的本質進行重新解剖，反思自己發現解題念頭的經歷，抽取解決問題的關鍵， 總結解題過程的經驗與教訓，反思解

7、題過程的成敗得失及其原因；從思維策略的高度對解題過程進行總結，從中概括出一般性規律，概括出點點滴滴的新經驗 、 新見解、 新體會， 以及對問題進行推廣、深化， 尋找新的解法、更好的解法，對解題過程或表述予以簡化。評價應該貫穿于解題的始終，隨時進行評價，而不僅僅是在解題后。二、提高解題的自我意識意識是人對客觀現實的反映，它包括 自我意識 和對外界事物的意識。自我意識是 人的意識 的最高形式，由于自我意識以主體及其內部活動為意識對象，因而它能對人的認識活動進行監控和調節，它是自我監控的最高水平。在地理解題學習中，人的自我意識是對自己在問題感知、表征 、思考、記憶和體驗的意識，對自己的目的、計劃、行

8、動以及行動效果的意識。提高解題能力，就是要使解題的監控上升到自我意識的水平。只在當各種監控達到 不假思索 ， 油然而生 的境界， 也就是上升到“意識”的層次， 才能使主體的地理解題能力達到自己的最高水平。地理解題的自我意識包括：問題意識、審題意識、聯想意識、目標意識、接近度意識、猜想意識、反思意識、概括意識等等，也就是波利亞的提示語所要達到的期望。三、運用波利亞的“提示語”波利亞在他的解題理論著 作中給出了很多的提示語。因而在解題時經常自覺 地運用這些提示語，是提高解題能力的有效途徑。正如波利亞指出，“表中的問 題除了普遍性以外，它們也是自然的、簡單的、顯而易見的，來自于普通常識。這些問題總是

9、勸告你去做此時你該去做的合乎情理的事，而對你正要解決的特定 問題并沒有提出特定的勸告。” “如果問得是地方，是時候，就可能引出好的答 案，引出正確的想法，或一個能夠推動解題進程的合宜的步子。”波利亞提示語的常識性、普遍性，使得這些問題對學生的幫助并非是強加于 人的，學生自己也可以很自然地提出類似的問題。 在各種不同的問題情境下，如 果學生以各種不同的方式反復用同一個提示語 詰問自己，就很容易引起同樣的思 維活動，從而利于形成一種思維習慣。如果表中的同一個提示語反復的對學生有 所幫助，那么他就更會注意到這個提示語， 從而在類似的情況下，不斷地運用這 個提示語。這些提示語只不過是指出了一般的方向，

10、而留給學生去做的還很多。 通過反復地提出這些提示語，總會獲得一次誘導出正確念頭的成功。 通過這樣的 成功，就會逐漸真正領會它。在解題教學中，教師為學生所能做的最大的好事是通過比較自然的幫助，特別應當反復經常地提出這些提示語，促使他自已想出一個好念頭。這樣的指導， 可以使學生找到使用各種提示語的正確方法。因為這些知識超越了具體的對象而 實用于任何問題，從而學生就學到比任何具體 地理知識更重要的東西。四、提煉自己的“提示語”對于善于解決問題而已經擁有這些常識的人來說， 這些常識性提示似乎很自 然、很平凡、很不起眼，但是他們往往不注意用明確的語言來表達他們的行動， 而波利亞則以自己的明確意識，清晰地

11、表達出這些觀點。因此，一方面需要學習運用波利亞的解題監控的提示語， 培養良好的解題習 慣，另一方面解題者還應當從自己的體驗中提煉和總結自己在解題監控中的經驗 和體會，形成有自己風格的解題監控的提示語。波利亞教我們怎樣解題波利亞教我們怎樣解題波利亞熱心數學教育，十分重視培養學生思考問題分析問題的能力。 他認為中學數學教育的 根本宗旨是 教會年輕人思考教師要努力啟發學生自己發現解法， 從而從根本上提高學生 的解題能力。波利亞致力于解題的研究，為了回答個好的解法是如何想出來的 ”這個令人困惑的問題，他專門研究了解題的思維過程，并把研究所得寫成怎樣解題一書。這本書的核心是 他分解解題的思維過程得到的一

12、張怎樣解題表。在這張包括弄清問題”、擬定計劃”、實現計劃”和回顧”四大步驟的解題全過程的解題表中，對第二步即擬定計劃”的分析是最為引人入勝的。他指出尋找解法實際上就是找出已知數與未知數之間的聯系，如果找不出直接聯系，你可能不得不考慮輔助問題。最終得出一個求解計劃。”他把尋找并發現解法的思維過程分解為五條建議和23 個具有啟發性的問題，它們就好比是尋找和發現解法的思維過程的 “慢動作鏡頭”，使我們對解題的思維過程看得見，摸得著。波利亞的怎樣解題表的精髓是啟發你去聯想。聯想什么？怎樣聯想？讓我們看一看他在表中所提出的建議和啟發性問題吧。“你以前見過它嗎？你是否見過相同的問題而形式稍有不同？你是否知

13、道與此有關的問題？你是否知道一個可能用得上的定理？看著未知數！試指出一個具有相同未知數或相似未知數的熟悉的問題。這里有一個與你現在的問題有聯系且早已解決的問題。你能不能利用它？你能利用它的結果嗎？你能利用它的方法嗎？為了能利用它， 你是否應該引入某些輔助元素？你能不能重新敘述這個問題？你能不能用不同的方式重新敘述它？ ”波利亞解題表一、弄清題意1 、 已知是什么?2、未知是什么?3、題目要求你干什么?4、可否畫一個圖形?5、可否數學化?二、擬定方案（核心）1 、你能否一眼看出結果?2、是否見過形式上稍有不同的題目?3、你是否知道與此有關的題目,是否知道用得上的定義,定理,公式 ?4、有一個與你現在的題目有關且你已解過的題目,你能利用它嗎?5、已知條件A,B,C可否車t化？可否建立一個等式或不等式