1、精品文檔 復變函數與積分變換試題(一) 1. 1歡迎下載 、填空(3 分X 10) 1. ln( 1 3、.i)的模 ，幅角 2. -8i 的三個單根分別為： ， ， 。 3. Lnz 在 的區域內連續。 4. f(z) z的解極域為： 。 5. f (z) x2 y2 2xyi 的導數 f (z) 。 sin z 小 6. Res ,0 。 z 7指數函數的映照特點是： 8幕函數的映照特點是： 9. 若 F( )=F f(t)，則 f(t) = F 1f( ) _ 10. 若 f (t )滿足拉氏積分存在條件，則 L f(t)= o 、(10 分) 已知v(x, y) 1 2 1 2 x y

2、，求函數 u(x, y)使函數 f(z) u(x, y) iv(x, y)為 2 2 解析函數，且 f (0)=0。 三、(10 分)應用留數的相關定理計算 dz 6 z (z 1)(z 3) |z| 精品文檔 2歡迎下載 |z| 2 z(z 1) 四、計算積分(5 分X 2) dz 2. c臂3 C 繞點i 一周正向任意簡單閉曲線 五、(10 分)求函數f(z) 在以下各圓環內的羅朗展式。 z(z i) 1.1. 0 |z i| 1 2.2. 1 |z i | 六、證明以下命題：(5 分X 2) (1) (t to)與e iwto構成一對傅氏變換對。 (2) ei tdt 2 () x y

3、z 1 七、(10 分)應用拉氏變換求方程組 x y z 0滿足 x(0)= y(0)= z(0)=0 的解 y 4z 0 y(t)。 八、(10 分)就書中內容，函數在某區域內解析的具體判別方法有哪幾種精品文檔 復變函數與積分變換試題答案（一） 21 3歡迎下載 二、解： x x u y v y y u - u xy x C (5 j分） f(z) i 1 2 1 2 2x 2 y xy c f (0)=0 c=0 （3分） f (z) xy 如2 3 2y ) i / 2 2(x 2 y 2xyi) 1 2 z 2 (2 分) 2 1 三、解：原式=（2分） 2 i Re6 ,Zk 乙0

4、J 1 k 1 z (z 1)3) 1 _ _ 36 2 = 36 2 2k k 3.3. 3. Z不取原點和負實軸 4.空集 5. 2z 7將常形域映為角形域 8.角形域映為角形域 9. F( )ei d 2 st 10. 0 f(t)e dt 2 4 94 9 2 2 2 n n 1 精品文檔 復變函數與積分變換試題答案（一） 21 4歡迎下載 原式=（2分） (2 分) 4 i Res k 3 1 z6(z 1)(z 3)，Zk Z3 3 Res 1 z6(z 1)(z 3) ,3 Res 1 z6(z 1)(z 3) (2分)Res 1 1 1 1)( 3) z z z 1 2 ,0

5、=0 z 四、1解：原式 2 i Res k 1 1 z(z 1) Zk (3 分)Z1=0 z2=1 2 i 1 1 =0 (2 分) 精品文檔 復變函數與積分變換試題（二） 5歡迎下載 2解：原式 2 i cos 2! z zi COSZ)z i i cosi = ich1 五、1解: f(z) (1 分) (1分) i) (份) 2. (1 分) 六、 1. n 1 i (z i) 解：f (z) (z i) (2分) (份) 1 (T i) (z i) (1分) 1 (z i)2 n 0 解： (t 1 (2)解：T 2 2 t)e i 1 1 n 2 (z i) n i (z 0 i

6、) 2 (2分) tdt t t0 e i t0 (3分) 結論成立 )e i tdw (2分) 2 (w)與1構成傅氏對 e i tdt 2 (2分) sX(s) Y(s) 七、解： X(s) Y(s) sY(s) 4sZ(s) S (2) - (1)： Y(s) 1 s2 1 sZ(s) Z(s) 0 (3分) (3分) 1 1 Y(t) 1 et et 1 cht 2 2 八、解：定義; C-R充要條件Th; v為u的共扼函數 10分 精品文檔 6歡迎下載 、填空（3 分X 10） 1. 函數 f（z）在區域 D 內可導是 f（z）在 D 內解析的（ ） 條 2 2. w= =z在z=

7、=- -i處的伸縮率為（ ）。 3. z . 12 2i的指數表示式為（ ） 4. Ln（-1）的主值等于（ ）。 5. 函數 ez以（ ）為周期。 6. 設 C 為簡單閉曲線，貝U : c山山=（ ）。 z Zo 7. 若 Zo 為 f (z)的 m 級極點，則 Resf(z), z( 8. 若 F( ) F f(t)( ) 9. 2 （t t。）與（ ）構成一個付立葉變換對。 10. 已知 L sint J ，則 L sint（ ） 。 s 1 t 、計算題（7 分X 7） 1.求 p,m,n 的值使得函數f（z） my3 nx2y i（x3 pxy2）為解析函數。2.計 |z| 3 dz

8、 3. 已知調和函數u 2（x 1）y，求解析函數f（z） u iv 使得 f(2) 精品文檔 復變函數與積分變換試題（二） 7歡迎下載 z 1 5. 指出函數f（z）二在擴充復平面上所有孤立奇點并求孤立奇點處的留4. 把函數石 1 1)(z 2）在12內精品文檔 8歡迎下載 z 6. 計算 孚 dz |z| 2 z 1 7 利用留數計算積份 2 1d 0 2 cos 三、積分變換(7 分X 3) 1設 f(t) sin ot cos ot ( o 為常數),求 F f ( (t) 2 .設 f(t)以 2 為周期，且在一個周期內的表達式為 2y 3y e t滿足條件y(0) 0, y (0)

9、 1的解 (L )f(t) cost 0 t 0 t 求 L f( (t) 3.求方程y 精品文檔 復變函數與積分變換試題答案（二） 9歡迎下載 5 1. 5. 充要條件 2. 2 3. 4e6 z在 C 內 z不在 C 內 4. 2 i 6. 原式= 2 i 0 1 m 1 d c 1 i t 7. l im m(z Z。）f 8. F( )ejtd (m 1)!； 。 dzm 1 2 i 9. 2 ejt0 10. 2 ds arcctgs s s 1 1. 解： 2nxy v 2nyp n P (3分) x y u3my2 2 nx v 3x2 2 py n 3 3n=p y x p 3

10、, m 1, n 3 (1 分) 2.原式=（25分） 1 |z| 3z 1 |z| 丄dz 3z 2 (4分) 2 i 6 i (1 分) 3.原式=2y x y v / g(x) u 2(x 1) v g (x) g(x) x2 2x c x x 二 f (z) 2(x 1)y i(y2 x2 1) f(2) i i 2yy iy： c) c 1 (2分) f(z) 2( x 1)y i(y2 x2 2x 1) （1分） (2分) + (2分) 4 .解: 1 z2 1 z2 1 (-1)nz (2分) n= 0 精品文檔 10歡迎下載 Z 2 n= o （2 分） 1 z2 1 （1）n

11、z n = 0 2（ n+ 1） n z n =0 2 n+ 1 k k. n 4 Cna b （3 分） 5.解：Z=0, z=2, z= （2 分） Resf（z）,0 Resf（z）,2 z 1 lim z 0 2z 2 z 1 2z 1 2 1 2 （2 分） （2 分） Resf（z） , （1 分） 6 .解：原式（3分） i Res z ze z 1,1 z r ze Res 2 - z 1,1 （3分）2 2 i ch1 （1 分） 7.解: 原式=（2分） |Z| 丄=（1 分） 2z |z| 1 z2 2i 4z -dz 1 =（1 分） 2i iz 1（z 2 . 3）（

12、z 2 =（2 分） i Res 2A 4z 1,2 .3 =（1 分） 2i 三、1.解: F f（t） f（t）e j tdt 1 sin 2 2 0te j tdt （3 分） 2wo） 2 0） （4分） 精品文檔 11歡迎下載 s2Y(s) sY(s) Y(0) 2(sY(s) Y(0) 3Y(s) 1 八 Y(s) 1 1 s 1 s 2 （2分） /s2 2s 3 = (s 1)(s 3)( s 1) Y(t) ResY(s)est ,zk 1, 1, 3= 1 t 3 t 1 3t e e e 4 8 8 (2 分)2.解： L f（t）=（ 2 分）1 1 s2 e -o f

13、(t)est dt (2 分) =1 2 s o coste stdt = =(2 分) 1 e 1 s (1 分) 2 s 1 e 1 s 3解: F(y 2y -t 3y)=Fe (1 分) 1 s s se 精品文檔 12歡迎下載 復變函數與積分變換試題(三) 1. ( 5)復數z與點(x,y)對應，請依次寫出z的代數、幾何、三角、指 數表達式和z的3次方根。 2. ( 6)請指出指數函數w ez、對數函數w lnz、正切函數w tanz的 解析域，并說明它們的解析域是哪類點集。 3. (9)討論函數f(z) x2 i y2的可導性，并求出函數f(z)在可導點 的導數。另外，函數f(z)

14、在可導點解析嗎？是或否請說明理由。 4. ( 7)已知解析函數f(z) u iv的實部u y3 3x2y，求函數 f (z) u i v的表達式，并使f (0) 0。 5. (6X 2)計算積分： 其中C為以zc為圓心,r為半徑的正向圓周，n為正整數; z e 2 區 3 (z 1) (z 2) 6. (5X 2)分別在圓環 (1) 0 |z| 1 , (2) 0 |z 1| 1內將函數 f(z) 展為羅朗級數。 z(1 z) 7. (12)求下列各函數在其孤立奇點的留數。 (1) C(z Zo) (2) 精品文檔 13歡迎下載 (1) f(z) z S3nz ； (2) f(z) 盲丄 ；(

15、3) f (z) ze z z sin z 8. (7)分式線性函數、指數函數、幕函數的映照特點各是什么 9. (6分)求將上半平面lm(z) 0保形映照成單位圓|w| 1的分式 線性函數。 10. (5X 2) (1) 己知F Ff(t) F()，求函數f(2t 5)的傅里葉變換； (2)求函數F() - 的傅里葉逆變換 (3 i )(5 i ) 11. ( 5X 2) (1)求函數f(t) e2tu(t 2)的拉普拉斯變換； (2)求拉普拉斯逆變換L L-1 -r-s 。 s 4s 5 12. (6 分)解微積分方程：y(t) 0 y( )d 1, y(0) 0。精品文檔 14歡迎下載 復

16、變函數與積分變換試題答案(三) 1.1. ( 5 5 分)請依次寫出z的代數、幾何、三角、指數表達式和 z的 3 3 次方 根。 z x iy rei r (cos i sin ) z re 3 z: r, Argz 2.2. ( 6 6 分)請指出指數函數 w ez、對數函數 w In z、正切函數 w tanz 的解析域，并說明它們的解析域是哪類點集。 指數函數w ez、對數函數 w In z、正切函數 w tanz 的解析域 分別為：整個復平面，無界幵區域；除去原點及負半實軸，無界幵區域， ； 除去點z k ，無界幵區域。 2 3.3. ( 9 9 分)討論函數f (z) x2 i y2

17、的可導性，并求出函數f(z)在可導點的 導數。另外，函數f(z)在可導點解析嗎？是或否請說明理由。 解：-U 2x 2y 0 0，u,v可微 x y y y 所以x y時函數可導，且f (z)|x y 2x o 因為函數在可到點的任一鄰域均不可導，所以可導點處不解析。 精品文檔 (2(2) 15歡迎下載 4.4. (6 6 分)已知解析函數f (z) u iv的實部u y3 3x2y，求函數精品文檔 16歡迎下載 f(z) u i v的表達式， 并使 f(0) 0o Q u 3 2 y 3x y u v u 2 2 V 6xy 3y 3x x y y x v 3 2 x 3xy c 解: f(

18、z) y3 3x3y i( x3 3xy2) ic Q f (0) 0 c 0 f(z) y3 3x2y i(x3 3xy2) 5. 5. (6 6x2 2)計算積分: 3 dz |z| 3(z 1)2(z 2) 精品文檔 (2(2) 17歡迎下載 其中 C 為以Zo為圓心，r為半徑的正向圓周，n為正整數; z e |z| 3(z 1)2(z 2) rn1ei(n d z C n 1 C(z z0)(1) C n 1 C(Z Zo) (2(2) (1)設 C 的方程為 z z0 r ei (0 2n), ,則 dz 2n i i re 2n d n i n r e 2n isinn )d 所以

19、 d z C n 1 C(z羽 2ni (當 n 0 時) 0 (當 n 0 時)。 精品文檔 18歡迎下載 |z1|12(z 1)2(z 2)dz z e 1 z 22 dz |z1|12(z 1)2 |Z 2| ez |z 2| 12 (z z e (zH?dz 1 - d z 12 z 2 2 dz 1)2(z 2) z 1 4 .22. e n i e n i 9 9 2ni (z z e 1)2 -(2e 9 6.6. ( 5 5 X 2 2 )分別在圓環 e 2)n i . . 0 |z| 0 |z 1| 1內將函數 f(z) h展為羅朗級數。 zn) 0 7 7. . (1(1)

20、 ) 解: (12(12) f(z) (2 2) 階極點， n nz n 0 (|z| 1), , 1 f(z)- z 1 (1 z)2 n 1 nz n 1 (|z| 1). . 1)n(z 1)n (|z 1| 1), , f(z) 1 2 z(1 z)2 1 (z 1)2 n 1)n(z 1)n (1)n(z 1)n 2 n 0 求下列各函數在其孤立奇點的留數。 (|z 1| 1). . 寧罟；(2) (2) f(z)盲匚；(3) (3) f(z) z z sin z z 0 為f (z)的可去奇點, , Resf(z), 0 0; ; 0 為f (z)的三階極點，z kn (k 1,

21、2,)為f的一 精品文檔 (2(2) 0 , 19歡迎下載 3 Res f (z), 1 c 1 2 8.8. (7 7)分式線性函數、指數函數、冪函數的映照特點各是什么 分式線性函數具有保角性、保圓性、保對稱性的映照特點, 指數函數具有將帶形域映照為角形域的映照特點， 冪函數具有將帶形域映照帶形域的映照特點。 9.9. (6 6 分)求將上半平面 lm(z) 0保形映照成單位圓|w| 1的分式線 性函數。 解：w ei zz (Im(z0) 0) z N 10.10. ( 5 5X 2 2) ( 1 1) 己知 F Ff(t) F()，求函數f(2t 5)的傅里葉變換; Resf(z), 0

22、 丄 Iim(z3 2! z 0 = (3(3) Resf(z), kn 1 2zsinz z cosZzkn z 1 為f(z)的本性奇點 zez (z 1 1) n 1 0 n!(z 1)n (1)k ； (kn2; (2(2)求函數 )(5 i )的傅里葉逆變換。 解 (1 1) F Ff(at b) 1 i e |a| F F f(2t 5) F() f(t) 1 5I -e 2 2 5 i F(? F 3t e e5t, t 0, t 0； 精品文檔 20歡迎下載 11.11. (5 5X 2 2) (1 1)求函數 f(t) e21 u（t 2）的拉普拉斯變換; 求拉普拉斯逆變換L

23、-1 爲 F(s) e4L Le2(t 2) u(t 2) e4e 2sL Le2t u(t) e2(2 s) s 2 t| 2t = = e (cost 2sint)o 12. 12. （ 6 6 分）解微積分方程： y(t) t y( )d 0 1, y(0) 0 o 解： sY(s) 】Y(s) s 1 -,Y(s) s 1 2 , s 1 y(t) sin t o 2 s 2t e 1 2L-1 L-J s 解 （1 1） 1 (2(2) L L 二 s -1 s 2 2 (s 2) 精品文檔 21歡迎下載 復變函數與積分變換試題及答案(四) 一、填空題：(每題 3 3 分共 2121

24、 分) 1 1 (：2 K2) 的 三 角 表 2 cos( 2k ) isin( 2k ) (k 0, 1, 2,L )。 4 4 1 . (2 k ) 2.2. i1 e 2 (k 0, 1, 2丄)。 3 3 . 設 |Z| 1, |Z| 1, 則 1 1 。 4 4 .冪級數 n!zn的和函數的解析域 空 n 0 集 。 5.5. 分式線性函數、指數函數的映照特點分別是： 保角性、保圓性、 保對稱性、 保伸縮性 ， 將帶形域映照為角形 域 。 精品文檔 22歡迎下載 b 6.6. 若 L Lf(t) F(s),則 L Lf(at b) 詹() a a 二、簡答題：(每題 6 6 分共

25、1818 分) 1.1. 敘述函數f (z)在區域 D 內解析的幾種等價定義。 答 (1 1 ) 區域 D 內可導，貝 V 稱f (z)在區域 D 內 (2(2 分) ) (2) 若f(z)的實部、虛部均為 D 內的可微函數，且柯西一黎曼方程成立， 則稱 f(z) 為在 D 內的解析函數。 (2(2 分) ) (3) 若f(z)的虛部為實部的共軛調和函數，貝 y 稱 f(z)在區域 D 內解析。 (2(2 分) ) 2 2 若zo分別為f (z)及g(z)的m階及n階零點，貝 V 在zo具有什么性質。 f (z) 答 若 n m ， 則 Zo 為g(z)的n f(z) m階 零 占 ； 八、

26、7 (2(2 分) ) 若 n m ， 則 zo 為 g(z)的可 f(z) 去 奇 占 ； 八、(2(2 分) ) 若 n m ， 則 Zo 為 的 m n f(z) 階 極 占 ； 八、 7 ( (2 2 分) )精品文檔 23歡迎下載 3.3. 敘述將上半平面lm(z) 0保形映照為單位圓盤|w| 1且將z0(lm(zo) 0) 答 (1 1) Zo映照 為 w 0 ， z。 映照 為w ，有f (z) z Z0 z z。 ( (3 3 分) ) (2 2 ) 當 z x 時 w1 ， 有 i e ( (2 2 分) ) (3 3 ) i z w e -(lm( Z0) 0) 使 得 l

27、m(z) 0 映為 w 1 z z ( (1 1 分) ) 映照為 w 0 的分式線性函數w ei三二產生的關鍵步驟 z Zo 解 1 1 . 求 f(z) zRe(z)的解析點； Q f (z) (x iy) x x2 ixy u 2 x , v xy, , u v u c Q 2x , x , 0 , x y y (5(5分) ) f (z) 處 處 (2(2分) ) y僅在(0,0)處成立 x 三、計算題：(每題 7 7 分共 4949 分) 精品文檔 24歡迎下載 4 4. 求積分I |z| 1 1 2, 2 z (z dz 9) 5 5. 6 6、 I |z| 1 求積分 (z2 9

28、) z2 Q sin z 求函數 (t |z| dz(2 分)2 sin 2 (2分) (2分) 3!(z 1)3 （尢 )|z0 （3 分）0 （2 5! (z 1)5 2）f（ 2t）的傅里葉變換. . L (0 |z 1| ) (3 分) 2求 f污h在23時的羅朗級數; 4 / 八、1 1 1 Z)(2 分)5-一2 z 3 5 z 1 2 z 3.3. 求積分 I |z|dz, C 為沿單位圓（|z| 1）的左半圓從 i 到 i 的曲線 C 解 Q z ei （2分） I iei d （3 分） 2i （2 分） 2 1 1 5(r 2n o zn (1)n 3n （3(2 分) 3

29、(3 1 精品文檔 25歡迎下載 精品文檔 26歡迎下載 1 1 證明： e tdt 2 () 證明 Q (t)edt 1 (2分) 丄 1 e td (t) (2分) 2 e tdt 2 ( ) (2分) 2 2 .解方程：y(t) 0y( )d 1 , y(0) 0。 解Q sY(s) 1 -Y(s) 1 (3 s s Y(s) 1 s2 1 （1分） y(t) sint (2 分)1 解 Q (t 2)f( 2t) - 2tf ( 2t) 2f( 2t) (2分) 2 4iF( it)f(t)| 1 22F( )| (2分) F( 2)F( i) (1分) 7.7. 求函數 寸厶 的拉普

30、拉斯逆變換 s 5s 2 2( 1 1 ) 4 2 2 2 s 5s 4 3 s 1 s 4 (4分) -1 s4 5s2 4 (3分) 四、證明及解方程（每題 6 6 分共 1212 分） 精品文檔 27歡迎下載 復變函數與積分變換試題及答案（五） 一、填空題（每題4分，共20分） 2z e sinz. ? dz |z|=1 (z 3冪級數mzn的收斂半徑2 2 2、 2)5 精品文檔 28歡迎下載 :、單項選擇題（每題4分，共20分） 1 1、z 1 是函數 f （z） cos 丄的 z 1 A A. 極點， B.B. 本性奇點， C. C. 可去奇點，D. D. 一級零點 【B B】4

31、4、 Resz sin z cr ,0 z6 丄 120 5 5、設 f(t) 1, 0, 黑，則付氏變換f（t） 精品文檔 29歡迎下載 三、解答下列各題(1-2每小題6分，3-6每小題7分，共40 分) 1、設a, b是實數，函數f (z) xy (ax4 5 by2)i在復平面解析，求a, b。 解: v y 2by, y x 2ax, x 4 b丄 5 2 2 2、函數f z 15 z 2 2 4 (z 1) (z 2)3在復平面上的所有有限奇點處留數的和: A. 1A. 1 B. 4B. 4 【A A】 3 3、設 C C 為正向圓周|z| 2，則積分 A A . 24 24 , B B . 24 i , 【D D】 C C. . -1 1 D. 2D. 2 ?ezs inz z4 3dz 等于 C (z 1) C.0C.0 D. D. 12 i 4 4、設 f (z) A A. 1 1 , 【C C】 1 1 zsin 2，貝9 Resf (z),0為. . z z B B. 2 2