1、臨界力和歐拉公式第二節(jié)臨界力和歐拉公式12pt 14pt 16pt瀏覽字體設置 : - 11pt + 10pt放入我的網絡收藏夾第二節(jié) 臨界力和歐拉公式桿件所受壓力逐漸增加到某個限度時，壓桿將由穩(wěn)定狀態(tài)轉化為不穩(wěn)定狀態(tài)。這個壓力的限度稱為臨界力 Pcr 。它是壓桿保持直線穩(wěn)定形狀時所能承受的最小壓力。為了計算壓桿的穩(wěn)定性，就要確定臨界力的大小。通過實驗和理論推導，壓桿臨界力與各個因素有關 :(1) 壓桿的材料， Pcr 與材料的彈性模量 E 成正比，即(2) 壓桿橫截面的形狀和尺寸， Pcr 與壓桿橫截面的軸慣性矩 J 成正比，即(3) 壓桿的長度， Pcr 與長度的平方 l2 成反比，即(4

2、) 壓桿兩端的支座形式有關，用一個系數(shù)表示，稱為支座系數(shù), ，列于表 1-10。表 1-10 壓桿長度系數(shù)桿端約束情況 兩端固定 一端固定一端鉸支 兩端鉸支 一端固定一端自由長度系數(shù) , 0.5 ?0.7 1.0 2.0壓桿的撓曲線形狀為計算方便，寫成細長中心受壓直桿臨界力的歐拉公式Pcr 對于兩端鉸支的細長中心受壓直桿，當其在臨界力，的作用下處于不穩(wěn)定直線形式的平衡狀態(tài)，若其材料仍處于理想的線彈性范圍內，從力學的觀點講，這類穩(wěn)定問題稱為線彈性穩(wěn)定問題。這是壓桿穩(wěn)定問題中最簡單的一種。由臨界力的定義可知，中心受壓直桿只有在臨界力的作用下才有可能在微彎形態(tài)下維持平衡( 見圖 7-3) 。現(xiàn)假設P

3、Pcrcr 壓桿軸線在臨界力作用下呈圖7-3(b) 所示的曲線形態(tài)。在圖示的坐標系下，壓力取正值，位移忙 V=f(x) 以沿 y 軸正方向為正，彎矩的正負號規(guī)定同 2.3 節(jié)。壓桿任一 x 截面上彎矩為將式 (7-1a) 代入撓曲線的近似微分方程(6-8h) 中，并利用壓桿支承處的邊界Pcr 條件就可求出壓桿的撓曲線的表達式，并進一步導出壓桿承受的臨界力。這個臨界力實際也就是使壓桿維持微彎平衡的最小壓力。(將式 (7-1a) 代入公式 (6-8h) 可得I 其中為壓桿橫截面的最小形心主慣性矩。令公式 (7-1b) 可改寫為如下形式的二階常系數(shù)線性微分方程其通解為kAB式中、三個待定常數(shù)可利用該

4、撓曲線的三個邊界條件來確定。xv 由=0，=0 的邊界條件可得因此式 (7-1e) 可化為xvL 利用桿的另一邊界條件 =, =0 代入式 (7-1f)可得kvALA這就要求 =0 或 sin=0 。若 =0，則由式 (7-1f)可得 =0，即桿的撓度為零，這和假定Pcr 桿在臨界力作用下維持微彎狀態(tài)的平衡的前提相矛盾。因此，只可能Pcr 這就是壓桿有可能在微彎形態(tài)下維持平衡的必備條件。由此還可進一步求出壓桿的臨界力。由式 (7-1g) 可知故將此關系代入式 (7-lc)得所以n 由于使桿維持微彎平衡的最小壓力才是臨界力，故在公式于是得歐拉 (L.Euler)在 1774 年推得的公式，常稱歐

5、拉公式，即(7-1i)中應取 =l 。由于桿的兩端系球鉸，它對端截面的轉動約束在各方向上都是相同的，而桿的彎曲變形總是發(fā)Imin 生在抗彎能力最弱的主慣性平面內，故上式中的，應是橫截面的最小形心主慣性矩。L,kLxvn2另外，當 =時，令 =代入式 (7-1f)，考慮到當 =l 時， =故式 (7-1f)可化為, 這說明兩端鉸支壓桿的撓曲線是一個半波正弦曲線。式 (7-2b) 中的具體值無法確定，似乎壓, 桿在臨界壓力作用下于微彎狀態(tài)時的平衡是隨遇的，可取任意值。之所以這樣，是因為推導過程中采用了撓曲線近似微分方程的緣故。若采用撓曲線的精確微分方程，則撓曲線中點的撓, 度與軸向壓力 P 存在一

6、一對應關系 ( 見圖 7-2(b)。不同桿端約束 -F 細長壓桿臨界力的歐拉公式 ?壓桿的長度系數(shù)在工程中，除了兩端鉸支的壓桿外，還會遇到其他不同形式的桿端約束的情況。對于這些情況下壓桿臨界力的公式，可用與上節(jié)相同的方法來推導。當然這里我們仍然強調，壓桿在臨界力的作用下于微彎狀態(tài)時仍處于彈性范圍內。壓桿的臨界力也可通過變形類比的方法得出。以一端固定、一端自由的細長壓桿為例，其在微彎狀態(tài)的平衡如圖7-4(b) 所示。將它和兩端鉸支桿在微彎形態(tài)下的撓曲線( 圖 7-4(a) 相比較，可見它的變形曲線和兩端鉸支桿的變形曲線的上半部是一樣的。設想將圖 7-4(b) 所示的曲線對稱的延長一倍，所得的曲線

7、將完全和圖7-4(a) 所示的曲線一樣。在彈性范圍內，相同的變形對應相同的力，故一L2L 端固定，一端自由，長為的壓桿的臨界力就等于兩端鉸支但長度為的壓桿的臨界力，故此種壓桿的臨界力應為L4 對于兩端固定的細長壓桿，其失穩(wěn)后撓曲線如圖7-4(c) 所示。在距兩端為上處，撓L2 曲線有拐點，此處的彎矩為零，因而可把該處視為一個鉸，這樣就可把其中長為的中L 間部分當作是兩端鉸支的桿。因此，由前面相似的論證可知，兩端固定，長為的壓桿的L2 臨界力就等于兩端鉸支但長度為的壓桿的臨界力，故此種壓桿的臨界力應為同樣，對一端固定，一端鉸支的細長壓桿，其失穩(wěn)后撓曲線如圖7-4 。對于這種情況可近似0.7L 地

8、把長為他的那一部分桿當作兩端鉸支桿，故綜上所述，以上各式可統(tǒng)一寫成,L 這就是細長壓桿歐拉公式的普遍形式。式中是把不同支座約束條件下的壓桿折算成和其臨界力相當?shù)膬啥算q支桿時所用的一個折算長度，稱為相當長度。稱為長度系數(shù)，圖 7-4 中列出了各種情況下壓桿的長度系數(shù)。以上幾種約束只是幾種典型的情況，實際問題中壓桿的支座還可有其他形式。例如桿端與其他彈性構件固接的壓桿，這種情況相當于壓桿的端面是介于固定支座和鉸支座之間的彈性支座。另外，作用在壓桿上的荷載也可以有不同的形式。例如壓力可以是沿壓桿軸線分布而不, 是集中作用在桿的兩端。所有這些因素對壓桿臨界力的影響，可以用不同的長度系數(shù)值, 來反映。在

9、有關的設計規(guī)范中對各種壓桿值的選取均有具體的規(guī)定。例題 7-1 例題 7 1 圖(a) 所示為兩端固定，但上端可有水平位移的等截面細長中心受壓直PlcrEL 桿，其長度為，抗彎剛度。試推導其臨界力，的歐拉公式，并求出撓曲線方程。PcrB 解 : 在臨界力作用下，壓桿可在圖(b) 所示的微彎狀態(tài)下維持平衡。此時桿上端處有支反mx，轉向如圖示。桿任意橫截面上的彎矩為力偶矩此時，壓桿撓曲線近似微分方程為引入參數(shù)可得此微分方程通解為其一階導數(shù)為'vxv 由下端 A 處的邊界條件 =0, =0, =0可得于是由式 (7-5a) 有',vxv再由上端 B處的邊界條件 =l ，=,=0 可得由式 (7-5e) 可知，使壓桿微彎條件下維