1、圓周運(yùn)動(dòng)問題分析【專題分析】圓周運(yùn)動(dòng)問題是高考中頻繁考查的一種題型，這種運(yùn)動(dòng)形式涉及到了受力分析、牛頓運(yùn)動(dòng)定律、天體運(yùn)動(dòng)、能量關(guān)系、電場、磁場等知識(shí)，甚至連原子核的衰變也可以與圓周運(yùn)動(dòng) 結(jié)合（衰變后在磁場中做圓周運(yùn)動(dòng)）。可見，圓周運(yùn)動(dòng)一直受到命題人員的厚愛是有一定原因的。不論圓周運(yùn)動(dòng)題目到底和什么知識(shí)相聯(lián)系，我們都可以把它們分為勻速圓周運(yùn)動(dòng)和變速圓周運(yùn)動(dòng)兩種。同時(shí)，也可以把常用的解題方法歸結(jié)為兩條。1勻速圓周運(yùn)動(dòng)勻速圓周運(yùn)動(dòng)的規(guī)律非常簡單，就是物體受到的合外力提供向心力。只要受力分析找 到合外力，再寫出向心力的表達(dá)式就可解決問題。2、豎直面內(nèi)的非勻速圓周運(yùn)動(dòng)物理情景：在重力作用下做變速運(yùn)動(dòng)，最

2、高點(diǎn)速度最小，最低點(diǎn)速度最大，所以最高 點(diǎn)不容易通過。特點(diǎn)：在最高點(diǎn)和最低點(diǎn)都滿足“合外力等于向心力”，其他位置滿足“半徑方向的合外力等于向心力”，整個(gè)過程中機(jī)械能守恒。注意：上面所述“半徑方向的合外力等于向心力”實(shí)際上適用于一切情況。另外，涉及的題目可能不僅僅是重力改變速率，可能還有電場力作用，此時(shí)，應(yīng)能找 出轉(zhuǎn)動(dòng)過程中的速率最大的位置和速率最小的位置。基本解題方法：1涉及受力，使用向心力方程；2、涉及速度，使用機(jī)械能守恒定律或動(dòng)能定理。【題型講解】題型一勻速圓周運(yùn)動(dòng)問題例題1:如圖所示，兩小球 A、B在一漏斗形的光滑容器的內(nèi)壁做勻速 圓周運(yùn)動(dòng)，容器的中軸豎直，小球的運(yùn)動(dòng)平面為水平面，若兩小

3、球的質(zhì)量 相同，圓周半徑關(guān)系為 rA>rB，則兩小球運(yùn)動(dòng)過程中的線速度、角速度、周 期以及向心力、支持力的關(guān)系如何？（只比較大小）解析：題目中兩個(gè)小球都在做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其向心力由合外力提供， 由受力分析可知，重力與支持力的合力提供向心力， 如圖3-2-2所示, 何關(guān)系，兩小球運(yùn)動(dòng)的向心力相等，所受支持力相等。兩小球圓周運(yùn)動(dòng)的向心力相等，半徑關(guān)系為a>b，2由公式F向=m，可得va>vb；r2由公式卩向=m，可得3 A< 3 B；2兀由公式T，可得Ta>Tb ；CO變式訓(xùn)練如圖3-3-3所示，三條長度不同的輕繩 分別懸掛三個(gè)小球 A、B、C,輕繩的另一端都固定于天

4、 花板上的P點(diǎn)。令三個(gè)小球以懸點(diǎn)下方的 0點(diǎn)為圓心, 在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 則三個(gè)小球擺動(dòng)周期的關(guān)系 如何？（答案：Ta 二 Tb 二 Tc）思考與總結(jié)0圖 3-2-3題型二 重力作用下的豎直面內(nèi)的圓周運(yùn)動(dòng)例題2 :用一根長為L的輕繩將質(zhì)量為 m的小球懸掛在 0點(diǎn)，使小球處于靜止?fàn)顟B(tài)， 現(xiàn)在最低點(diǎn)給小球一個(gè)水平向右的沖量10，使小球能在豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)， 若小球在運(yùn)動(dòng)的過程中始終對細(xì)繩有力的作用，則沖量I。應(yīng)滿足什么條件？解析：小球受到水平?jīng)_量后，獲得水平向右的速度，之后小球在豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且繩 上始終有拉力，包括兩種情況。在最高點(diǎn)，由向心力方程mg Ftm v2第一種情況：小球做完整的圓

5、周運(yùn)動(dòng)，即小球可以通過最高點(diǎn)。小球由最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的過程中，由動(dòng)能定理-mg2L1 2=mw21 2-mvo2在小球受到瞬時(shí)沖量時(shí)，由動(dòng)量定理I。=mv。由以上三式可得I。 m,5gL0點(diǎn)下方來第二種情況：小球做不完整的圓周運(yùn)動(dòng)，由于繩子不能松弛，所以只能在回?cái)[動(dòng)，其最高點(diǎn)不能超過 0點(diǎn)，并且不能包括 0點(diǎn)，因?yàn)閯偤脭[到 0點(diǎn)時(shí)，小球速率為2零，由向心力方程 Ft =亍可知，拉力為零。小球在0點(diǎn)下方擺動(dòng)。剛好能擺到與1-mgL 二 0mv。在小球受到瞬時(shí)沖量時(shí)，由動(dòng)量定理20點(diǎn)等高時(shí)，由動(dòng)能定理I。二 mv。由以上兩式可得Io :m 2gL因此，沖量I。應(yīng)滿足的條件為|0 . m.、5gL

6、或10 ： m 2gL 。變式訓(xùn)練內(nèi)側(cè)光滑的3/4圓弧軌道AB豎直放置，半徑為R,如圖3-2-4 所示。一小球自 A點(diǎn)正上方由靜止釋放。為使小球由A點(diǎn)進(jìn)入軌道后能到達(dá)B點(diǎn)，小球下落的高度 h至少為多少？（答案：h=1.5R）思考與總結(jié)題型三天體的圓周運(yùn)動(dòng)例題3:（ 06廣東）宇宙中存在一些離其它恒星較遠(yuǎn)的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通常可忽略其它星體對它們的引力作用。已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運(yùn)行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，并沿外接于等邊三角形的圓形軌道運(yùn)行。設(shè)每個(gè)星體的質(zhì)量均為

7、m。（1）試求第一種形式下，星體運(yùn)動(dòng)的線速度和周期。2v二 m一R（2）假設(shè)兩種形式星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，第二種形式下星體之間的距離應(yīng)為多少？ 解析：（1）第一種形式下，三星共線，中央星不動(dòng)，邊緣星受到其它兩星的萬有引力 做圓周運(yùn)動(dòng)。由萬有引力定律和牛頓第二定律，得：2 2m mG 2 G 2R2(2R)2圖 3-2-5（2）第二種形式下，三顆星組成等邊三角形，轉(zhuǎn)動(dòng)的圓心在三角形的中心，向心力由其它兩星對其的合力提供，如圖3-2-5所示。設(shè)三角形的邊長為I，由萬有引力定律和牛頓第二定律，得：2m2丨2兀22G = cos30 °= m（）I22cos30” T星體之間的距離為：|二變式

8、訓(xùn)練我國將要發(fā)射一顆繞月運(yùn)行的探月衛(wèi)星“嫦娥1號(hào)”。設(shè)該衛(wèi)星的軌道是圓形1 1的，且貼近月球表面。已知月球的質(zhì)量約為地球質(zhì)量的81，月球的半徑約為地球半徑的-，地球上的第一宇宙速度約為7.9km/s，則該探月衛(wèi)星繞月運(yùn)行的速率約為A. 0.4km/sB. 1.8km/sC. 11km/sD. 36km/s(答案：B)思考與總結(jié)題型四電場中的圓周運(yùn)動(dòng)例題4:豎直面內(nèi)有一光滑圓環(huán)軌道，軌道半徑為R,處于水平向右的勻強(qiáng)電場中。一質(zhì)量為m帶+q電量的小球以初速度 vo由圓環(huán)最低點(diǎn)開始運(yùn)動(dòng)，如圖所示。若小球所受電場力為重力的0.75倍。求：若令小球能做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小球的初速度Vo的最小值為多少？運(yùn)

9、動(dòng)過程中速度的最小值為多少？解析： 小球在運(yùn)動(dòng)過程中，同時(shí)受到重力和電場力作用，當(dāng)兩力 的合力與小球所在位置對應(yīng)的半徑共線時(shí)，其運(yùn)動(dòng)的速度為最大值或最小值，如圖3-2-7所示，小球在B點(diǎn)速度最小。所以小球能做完整的圓 周運(yùn)動(dòng)，需要能夠過 B點(diǎn)。電場力為重力的 0.75倍，由幾何關(guān)系可知 0 =37 °。當(dāng)小球剛好能經(jīng)過 B點(diǎn)時(shí)，環(huán)對小球的彈力為零，有mg cos J Eq sin 二Vb此時(shí)小球在最低點(diǎn)所需的速度V0為最小值，對小球從最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)應(yīng)用動(dòng)能定理1 2 1 2 -mg(R Rcos J -EqRsin = mvB - mv02 2兩式聯(lián)立可得V0 =變式訓(xùn)練如圖3-2

10、-8所示，由長度為L的輕繩系一質(zhì)量為m的小球，將小球拉至輕繩處于水平位置 A時(shí)釋放，整個(gè)裝置處于水平向右的勻強(qiáng)電場，小球能擺到豎直方向左側(cè)且輕繩與豎直方向夾角為0的B點(diǎn)，則當(dāng)小球從B擺到C點(diǎn)時(shí)，繩上的拉力大小為多少？丄2 cos日(答案：Ft 二 mg(3)1+s in 廿思考與總結(jié)圖 3-2-8題型五 正交的電磁場中的圓周運(yùn)動(dòng)xxxxxxxxxxRax圖 3-2-9xBxx例題5 :如圖所示是勻強(qiáng)電場和勻強(qiáng)磁場組成的復(fù)合場，電 場方向豎直向下，場強(qiáng)為 E，磁場的方向水平指向紙內(nèi)、磁感應(yīng) 強(qiáng)度為B。在該復(fù)合場中有兩個(gè)帶電小球A和B都能在垂直于磁場方向的同一豎直平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)(兩個(gè)小球間的

11、庫侖力 可以忽略)，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖。已知兩個(gè)帶電小球A和B的質(zhì)量關(guān)系為mA = 2mB，運(yùn)動(dòng)軌跡半徑的關(guān)系為 RA = 2RB = 10cm。(1)試說明小球 A和B分別帶那種電荷？它們所帶的電荷量之比等于多少?(2)設(shè)帶電小球A和B在軌道最低點(diǎn)P相碰撞，若碰撞后，原在小圓軌道上運(yùn)動(dòng)的帶 電小球B恰好能沿大圓軌道運(yùn)動(dòng)，求帶電小球A碰撞后的軌道半徑(設(shè)碰撞過程中電量不發(fā)生轉(zhuǎn)移)。解析：(1)帶點(diǎn)小球受到恒定的電場力和重力作用，同時(shí)受到洛倫茲力，只有在重力 與電場力等大反向時(shí)， 才能做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。 由圖電場方向向下，可知，兩小球一定帶負(fù)電。Eq = mg所以 qA ： qB = mA ： mB =

12、 2:1(2)小球在P點(diǎn)所受洛倫茲力向上，由左手定則可判斷小球的運(yùn)動(dòng)均為順時(shí)針方向, 即兩小球在P點(diǎn)相撞前，速度方向相同。對小球，洛倫茲力提供向心力qvB =m vqB半徑關(guān)系Ra = 2Rb = 10cm可得 vA:vB 二 qABRA : qBBRB =2:1mAmB碰撞后，原在小圓軌道上運(yùn)動(dòng)的帶電小球B恰好能沿大圓軌道運(yùn)動(dòng)，即其運(yùn)動(dòng)半徑加F倍，可得B碰后其速度加倍，vB =2vB碰撞過程中，由動(dòng)量守恒定律FFava Ebvb = mAvA mBvB十曰3可得vava43所以A球碰后運(yùn)動(dòng)半徑 Ra =Ra二7.5cm4b圖 3-2-10變式訓(xùn)練如圖3-2-10所示，MN為相距30cm的 光

13、滑平行金屬導(dǎo)軌，ab為電阻r等于0.3Q的金屬棒，且 可以緊貼平行導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)，相距為 27cm的水平放置的金 屬板A、B與導(dǎo)軌相連，圖中 R為0.1 Q的定值電阻，導(dǎo) 軌的電阻忽略不計(jì)，整個(gè)裝置處于方向垂直紙面向里的 勻強(qiáng)磁場中，當(dāng)ab桿沿導(dǎo)軌向右勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，一帶電粒 子剛好能在 AB板間以與 ab桿相同的速率做半徑為 11.1cm的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，試求金屬桿向右勻速運(yùn)動(dòng)的速 度（取整數(shù)答案）（答案：v = 2m/s ）思考與總結(jié)【強(qiáng)化訓(xùn)練】Dab O圖 3-2-11圖 3-2-121、 如圖3-2-11所示，將完全相同的兩小球 A、B,用長L=0.8 m 的細(xì)繩懸于以v=4 m/s向右勻速運(yùn)動(dòng)的

14、小車頂部，兩球與小車前后 壁接觸，由于某種原因，小車突然停止運(yùn)動(dòng)，此時(shí)懸線的拉力之比Fb : Fa 為（取 g=10 m/s2）（）A . 1 : 1B. 1 : 2C. 1 : 3D. 1 : 42、 如圖3-2-12所示，在光滑的水平面上釘相距40cm的兩個(gè)釘子A和B,長1m的細(xì)繩一端系著質(zhì)量為0.4kg的小球，另一端固定在釘子A上開始時(shí)，小球和釘子A、B在同一直線上，小球始終以2m/s的速率在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng).若細(xì)繩能承受的最大拉力是4N，那么，從開始到細(xì)繩斷開所經(jīng)歷的時(shí)間是（）A . 0.9 二 sB . 1.8 二 sC. 1.6 二 sD . 0.8 二 s3. 用m表示地球

15、通信衛(wèi)星（同步衛(wèi)星）的質(zhì)量，h表示它離地面的高度，R0表示地球的半徑，g°表示地球表面處的重力加速度，3 0表示地球自轉(zhuǎn)的角速度，則通信衛(wèi)星所受的地球?qū)λ娜f有引力的大小等于2mRj g。(R0 h)2C .m3. Rod JD.以上都不正確1iEiJ1,JOLF V0m圖 3-2-134、如圖3-2-13所示，質(zhì)量為 m,帶電量為q （q >0）的小球，用一長為L的絕緣細(xì)線系于一勻強(qiáng)電場中的O點(diǎn)，電場方向豎直向上，電場強(qiáng)度為 E,試討論小球在最低點(diǎn)要以多大的水平速度V0運(yùn)動(dòng)，才能使帶電小球在豎直平面內(nèi)繞O點(diǎn)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)？圖 3-2-14圖 3-2-165、如圖3-2-14

16、所示， 兩個(gè)質(zhì)量均為 0.1kg的小球用長為1m 的不可伸長的輕線相連，將輕線水平拉直，并讓兩球靜止開始同時(shí) 自由下落，下落h高度后，線的中點(diǎn)碰到水平的釘子O上，如果輕線能承受的最大拉力為 19N，要使輕線能被拉斷，h至少應(yīng)為多大？(g=10m/s2)6、在質(zhì)量為M的電動(dòng)機(jī)上，裝有質(zhì)量為 m的偏心輪，其示意圖 如圖3-2-15所示。偏心輪轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為3,當(dāng)偏心輪重心在轉(zhuǎn)軸的正上方時(shí)，電動(dòng)機(jī)對地面的壓力剛好為零；則偏心輪重心離轉(zhuǎn)軸的距 離r多大？在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，電動(dòng)機(jī)對地面的最大壓力多大？7、北京時(shí)間11月5日上午11時(shí)37分，嫦娥一號(hào)在月球捕獲點(diǎn)實(shí)施首次關(guān)鍵的近月點(diǎn) 減速，衛(wèi)星成功進(jìn)入繞月軌道

17、，成為中國首顆繞月衛(wèi)星。設(shè)嫦娥一號(hào)在距月球表面280km的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，月球的半徑為3470km，月球表面的重力加速度約為地球表面的重力加速度的1。求嫦娥一號(hào)在此軌道上運(yùn)行的速度。(地球表面處g取10m/s2)68、如圖3-2-16所示，一個(gè)質(zhì)量為 m帶+q電量的小球，用長 L的絕緣 細(xì)線懸吊在豎直向下的場強(qiáng)為E的勻強(qiáng)電場中。如果將細(xì)線拉至與豎直方向成0角，然后將小球無初速釋放。求小球運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)細(xì)線的拉力多 大？9、如圖3-2-17所示，半徑為 R的環(huán)狀非金屬管豎直放置，AB為該環(huán)的水平直徑，且管的內(nèi)徑遠(yuǎn)小于環(huán)的半徑，環(huán)的AB以下處于水平向左的勻強(qiáng)電場中。現(xiàn)將一質(zhì)量為m,帶電量為q的小球從管中A點(diǎn)