1、直線與圓錐曲線位置關系一、基礎知識：（一）直線與橢圓位置關系1、直線與橢圓位置關系：相交（兩個公共點），相切（一個公共點），相離（無公共點）2、直線與橢圓位置關系的判定步驟：通過方程根的個數進行判定，22x y下面以直線 y = kx+m和橢圓： =十彳 =1（a >b >0 ）為例a by = kx m（i）聯立直線與橢圓方程：2 2 22 22 2b x a y = a b（2）確定主變量x （或y）并通過直線方程消去另一變量y （或x）,代入橢圓方程得到關于主變量2 2222.2的一兀二次萬程： b x+a（kx + m）=ab ,整理可得：（3）通過計算判別式 的符號判斷方

2、程根的個數，從而判定直線與橢圓的位置關系& A0;方程有兩個不同實根 二直線與橢圓相交 = 0=方程有兩個相同實根二直線與橢圓相切 <0=方程沒有實根二直線與橢圓相離3、若直線上的某點位于橢圓內部，則該直線一定與橢圓相交（二）直線與雙曲線位置關系1、直線與雙曲線位置關系，相交，相切，相離2、直線與雙曲線位置關系的判定：與橢圓相同，可通過方程根的個數進行判定以直線y = kx + m和橢圓:22xy.=1(a>b>0)為例:ab（1）聯立直線與雙曲線方程:消元代入后可得:J_y = kx m r.2 22 22. 2b x -ay =ab2 22_（2）與橢圓不同，在橢

3、圓中，因為 a k +b >0,所以消元后的方程一定是二次方程，但雙曲線中,22 2消兀后的萬程一次項系數為b -a k ,有可能為零。所以要分情況進行討論一.22 2b當b -a k =0=k= 且m。時，方程變為一次方程，有一個根。此時直線與雙曲線相交，只a有一個公共點.22. 2 b . b2 22. 2當b2 -a2k2 >0=<k <2時，常數項為 _（a2m2 +a2b2）<0,所以 下0恒成立，此時直線a a與雙曲線相交22. 2bb當b2a2k2<0= k> 或k<時，直線與雙曲線的公共點個數需要用判斷：a a A0n方程有兩個不

4、同實根 二直線與雙曲線相交& =0= 方程有兩個相同實根 :直線與雙曲線相切 <0:方程沒有實根二直線與雙曲線相離注：對于直線與雙曲線的位置關系，不能簡單的憑公共點的個數來判定位置。尤其是直線與雙曲線有一個公共點時，如果是通過一次方程解出，則為相交；如果是通過二次方程解出相同的根，則為相切（3）直線與雙曲線交點的位置判定：因為雙曲線上的點橫坐標的范圍為（_m，_aj a," ）,所以通過橫坐標的符號即可判斷交點位于哪一支上：當x之a時，點位于雙曲線的右支；當 xMa時，點位于雙曲線的左支。對于方程:.22. 22- 2.222. 2-.(b -a k )x 2a kxm

5、 (a m +a b ) = 0,設兩個根為 x1,x222 2 bbD 當 b -a k A0= 一一 < k <一時，則 x(x2 =aa222, 2a m a b222b -a kC0 ,所以XZ XZx1, x2升萬，即交點分別2 22. 2a m a b 2 >0，b -a k所以x1,x2同號,位于雙曲線的左，右支_22 2bbZ 當b -a k <0= kA 或 k<，且4 >0 時，x,x2 =即交點位于同一支上（4）直線與雙曲線位置關系的幾何解釋：通過（2）可發現直線與雙曲線的位置關系與直線的斜率相關,b其分界點士？剛好與雙曲線的漸近線斜率

6、相同。所以可通過數形結合得到位置關系的判定a_ bk = 士？且m#0時，此時直線與漸近線平行，可視為漸近線進行平移，則在平移過程中與雙曲線的一支相交的同時，也在遠離雙曲線的另一支，所以只有一個交點_ bb -巳<k <時，直線的斜率介于兩條漸近線斜率之中，通過圖像可得無論如何平移直線，直線均aa與雙曲線有兩個交點，且兩個交點分別位于雙曲線的左，右支上。22 2b _ bb -a k <0= kA 或kc-時，此時直線比漸近線“更陡”，通過平移觀察可得：直線不一定與雙曲線有公共點（與的符號對應），可能相離，相切，相交，如果相交則交點位于雙曲線同一 支上（三）直線與拋物線位置關

7、系：相交，相切，相離21、位置關系的判te：以直線 y=kx+m和拋物線：y =2px(p>0)為例y = kx m2聯立方程：2 2= (kx + m) =2px,整理后可得：y =2px(1)當k =0時，此時方程為關于 x的一次方程，所以有一個實根。此時直線為水平線，與拋物線相交(2)當k #0時，則方程為關于 x的二次方程，可通過判別式進行判定 >0n方程有兩個不同實根二直線與拋物線相交 = 0=方程有兩個相同實根二直線與拋物線相切 <0=方程沒有實根=直線與拋物線相離.、一一 22、焦點弦問題：設拋物線方程：y2 = 2px ,過焦點的直線l ： y=k x，2(斜

8、率存在且k#0),對應傾斜角為e,與拋物線交于A xq ,B x2,y22-.y px2 p 2.聯立方程：p pk2 x -上I =2px ,整理可得:y=k|x I 2)222 J2p2(1) x1 x2 = y/2 = -p4k2p+2 P2k2p+2PI 1 )(2) AB =x1+x2+p=pyp + p=-p-2p=2p.1+上 k2k2Ik2,(3)11.Saob =2 - AB =24OF-1sin 日)AB =一 2p sin>p-2 sin -2sin -(四)圓錐曲線問題的解決思路與常用公式: 1、直線與圓錐曲線問題的特點：(1)題目貫穿一至兩個核心變量(其余變量均

9、為配角，早晚利用條件消掉)，(2)條件與直線和曲線的交點相關，所以可設A(,y1 ), B(x2,y2 ),至于A,B坐標是否需要解出,則看題目中的條件，以及坐標的形式是否復雜(3)通過聯立方程消元，可得到關于x (或y)的二次方程，如果所求的問題與兩根的和或乘積有關,則可利用韋達定理進行整體代入，從而不需求出x1,x2, y1,y2 (所謂“設而不求”)(4)有些題目會涉及到幾何條件向解析語言的轉換，注重數形幾何，注重整體代入。則可簡化運算的這幾點歸納起來就是“以一個(或兩個)核心變量為中心，以交點A(Xi,y1),B(X2,y2)為兩個基本點，堅持韋達定理四個基本公式(X1 +x2,x1x

10、2, y1 +y2, y1y2,堅持數形結合，堅持整體代入。直至解決解析幾何問題“2、韋達定理：是用二次方程的系數運算來表示兩個根的和與乘積，在解析幾何中得到廣泛使用的原因 主要有兩個：一是聯立方程消元后的二次方程通常含有參數，進而導致直接利用求根公式計算出來的實 根形式非常復雜，難以參與后面的運算；二是解析幾何的一些問題或是步驟經常與兩個根的和與差產生 聯系。進而在思路上就想利用韋達定理，繞開繁雜的求根結果，通過整體代入的方式得到答案。所以說，解析幾何中韋達定理的應用本質上是整體代入的思想，并不是每一道解析題必備的良方。如果二次方程 的根易于表示(優先求點，以應對更復雜的運算)，或者所求的問

11、題與兩根和，乘積無關，則韋達定理 毫無用武之地。3、直線方程的形式：直線的方程可設為兩種形式：(1)斜截式：y =kx +m ,此直線不能表示豎直線。聯立方程如果消去y則此形式比較好用，且斜率在直線方程中能夠體現，在用斜截式解決問題時要注意檢驗斜率不存在的直線是否符合條件(3) x = my +b ,此直線不能表示水平線，但可以表示斜率不存在的直線。經常在聯立方程后消去x2時使用，多用于拋物線 y = 2 px (消元后的二次方程形式簡單)。此直線不能直接體現斜率，當m#0, 1時，斜率k =m4、弦長公式：(已知直線上的兩點距離)設直線 l : y = kx十m , l上兩點A( x1, y

12、1 ),B( x2,y2 ),所以AB = Ji + k2 |x1 一 x2 或 AB| = ,1 + g ) | y1 - y2yi = kxi my2 ; kx2mABx1 -x2y2 ; kx2 m(1)證明：因為 A(x1, y1 ),B(x2,y2 )在直線l上，所以5同理可證得 AB = J1 + | y1 y2 k(2)弦長公式的適用范圍為直線上的任意兩點，但如果A,B為直線與曲線的交點(即 AB為曲線上的弦)，則xi x2(或yi y2)可進行變形：xi x2=xi x2 )=Xi + x2 ) 4xix2,從而可用方程的韋達定理進行整體代入。5、點差法：這是處理圓錐曲線問題的

13、一種特殊方法，適用于所有圓錐曲線。不妨以橢圓方程22x V二+22=1 (a Ab A0)為例，設直線y = kx + m與橢圓交于 A(x1,y1 ),B(x2,y2)兩點，則該兩點滿a b足橢圓方程，有:考慮兩個方程左右分別作差，并利用平方差公式進行分解，則可得到兩個量之間的聯系:122122cl1xix21產一”72)=yiy2二 02由等式可知：其中直線 AB的斜率k = y1 - y2 , AB中點的坐標為,x1 + x2 , y1 + y2 i,這些要 x1 - x2. 22素均在式中有所體現。所以通過“點差法”可得到關于直線AB的斜率與 AB中點的聯系，從而能夠處理涉及到弦與中點

14、問題時。同時由可得在涉及A,B坐標的平方差問題中也可使用點差法。、典型例題22x y例1：不論k為何值，直線 y = kx +1與橢圓+工=1有公共點，則實數 m的取值范圍是()7 mA. 0,1B. 1 )C. 1,7 U 7 j D. 0,7思路一：可通過聯立方程，消去變量(如消去y),得到關于x的二次方程，因為直線與橢圓有公共點，所以至0在x w R恒成立，從而將問題轉化為恒成立問題，解出 m即可y = kx 12 _ . 2 _ 一 e-解：4 22= mx +7(kx+1) =7m,整理可得:mx 7y = 7m即 -1 m 7k2 _0= m _ -7k2 1思路二：從所給含參直線

15、y = kx +1入手可知直線過定點(0,1),所以若過定點的直線均與橢圓有公共.1 . W1,即=E1= m21,因為是橢 m22點，則該點位于橢圓的內部或橢圓上，所以代入(0,1)后上+工7 m圓，所以m#7,故m的取值范圍是 1,7燈(7,+8)答案：C小煉有話說：(1)比較兩種思路，第一種思路比較傳統，通過根的個數來確定直線與橢圓位置關系,進而將問題轉化為不等式恒成立問題求解；第二種思路是抓住點與橢圓位置關系的特點，即若點在封閉 曲線內，則過該點的直線必與橢圓相交，從而以定點為突破口巧妙解決問題。在思路二中，從含參直線 能發現定點是關鍵(2)本題還要注意細節，橢圓方程中22 ,x ,y

16、的系數不同，所以 m#722x y_例2：已知雙曲線 _匚=1的右焦點為F ,若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則 124此直線斜率的取值范圍是()A. JB,叵 B.(行舟 C. 31 D.廠百,61I 33 J：33 1-22x yy=±-x,若過右焦點的直線與右支只有一個交點，則 3思路：由 工=1可得漸近線方程為:124直線的斜率的絕對值小于或等于漸近線斜率的絕對值，即后=一段£心二333答案：C小煉有話說：本題是利用“基礎知識”的結論直接得到的答案，代數的推理如下:22上 x y ,一一由二1可知124F (4,0 ),設直線l : y =k(x 4)

17、,聯立方程可得:x2 -3y2 =12 (口y = k x -4222x2 -3k2 (x -4 ) =12 ,整理后可得:當 1 - 3k2 =0= k=_*時，8x -28 =0= x = 7 ,即位于雙曲線右支，符合題意 32當 1 3k2 #0時， =(24k2 j -4(1 -3k2(48k2 +1248(k2 + 10二直線與雙曲線必有兩個交點，設為(x1,y1),(x2,y2 )因為直線與雙曲線的右支有且只有一個交點二 x1x2 <0 ，即248k121 -3k2<0綜上所述:例3:已知拋物線 C的方程為B.D. -：,-, 2 IJ 2,:個方程只能無解或兩解。所以

18、可知當九=4時，方程有兩解，再結合斜率不存在的情況，共有3解。符A(0, 1)和點B(t,3)的直線與拋物線 C沒有公共點,則實數t的取值范圍是()A.U 1, ,二C. 一二,22 U 2 .2,二 < 0即可得到關思路：由A,B兩點可確定直線 AB的方程(含t),再通過與拋物線方程聯立，利用于t的不等式，從而解得 t的范圍解：若t =0 ,則直線AB : x = 0與拋物線有公共點，不符題意4 一 4右t #0，則kAB = AB: y = x 1 ,與橢圓聯立方程: tt2-2tx -4x+t =0;直線與拋物線無公共點, =16 -8t2 <0= t 、,2 或 t ： -

19、, 2答案：D2例4：過雙曲線x2 匕=1的右焦點F作直線l交雙曲線于A,B兩點，若實數 上使得AB =九的直2線恰有3條，則九=思路：由雙曲線方程可知F (73,0 ),當l斜率不存在時，可知 AB為通徑，計算可得：AB = 4 ,當2廠4(1 + k )l斜率存在時，設直線 l : y = k (x - J3 ),與橢圓方程聯立，利用弦長公式可得AB = -j2廠為12-kl、,r 41k22生-4 ,、 22" 44 2* -4關于 k 的表 達式， 即：=九。 可解得 ： k =或 k =。 右=0 或2 - k |1 44,.+ 424 r. 一一 42 -424-=0,即

20、九=±2時，可得k =0,僅有一解，不符題意。若 。0且二#0,則每4' 44合題意，所以 =42_解：由雙曲線 x2 - - =1 可彳4 a =1,b = J2, c = J3, F(J3,0),空=42當AB斜率不存在時，l的方程為x=J3 ,AB為通徑，即 AB =若直線l斜率存在，不妨設為 k則設 l : y =k(x-73卜 A(Xi,y1),BX2,y2 )聯立直線與橢圓方程:2x2 -y2 =2_消去y可得:y = k x - . 3o o_ 22x -k (x-V3) =2,整理可得:,22 -4f1 224 小二可得：k2 =或k2= :+4, - 42

21、-4當“=0時,即九=2,則方程的解為4k = 0,只有一解，不符題意同理，當2-4=0,即九=2 ,則方程的解為 k = 0 ,只有一解，不符題意-4當2±二4 #0且2' +4 ¥0時，則每個方程的解為 0個或兩個，總和無法達到 3個，不符題意.41 - 4所以若 AB =£的直線恰有3條，只能 九=4,方程解得:k 2,滿足條件的直線AB的方程為:x=3, y告x-® y =答案： =422x y 例5：已知橢圓 + J=1,則當在此橢圓上存在不同兩點關于直線y=4x+m對稱，則 m的取值43范圍是（）1313A. 一一 m -1313、1

22、3.13C. : m :13132.132 13B. - m 13132.132 13D. : m 13132x0 二 x1 x2思路：設橢圓上兩點 A（x1,y1 ）, B（x2,y2）,中點坐標為（x0,y0）,則有,由中點問您2% = y1 y23x； 4y；122222想到點差法，則有！ 11= 3（x2 x； ）+4（y； y； ）=0 ,變形可得：3xf 4y2 =123（x1 -x2 Jx1 +x2 ）+4（y1 - y2 X y1 + y2 ） = 0由對稱關系和對稱軸方程可得，直線 AB的斜率k =-1 =_yi二yz,所以方程轉化為：6x0+8y0'1=0= y0=

23、3x0，由對稱性可知 AB中4 x1 -x；. 4x0 - -m點（x0, y0雁對稱軸上，所以有 yO = 4x0 + m ,所以解得：,依題意可得：點（x0, y0 ）必V。- -3m-m) +4(3m)<12 ，解得：2 .河：m132 13<13答案：D例6：過點M2(2,0)的直線m與橢圓x+y2=1交于P, F2兩點，線段PP2的中點為P,設直線m的斜率為=0 ),直線OP的斜率為k2,則kik2的值為(A. 2B.1 c.-21D. 一一2思路一：已知m與橢圓交于R, P2兩個基本點，從而設P1 (x1, y1 1 P2( x2, y2 ),可知P xx 2 y 1

24、y,k2 =y1 y2 ,從結構上可聯想到韋達定理，設x1 x2橢圓方程:- 2x 2.y = 1，2y = k(x+2)_.2.2_2_2_12kl +1)x +8kl x+8kl 2 = 0,可得:二一半，所2kl2 1=k1 x1 x24k12k11,即 k1k2 =- 2思路二：線段 P1P2為橢圓的弦，且問題圍繞著弦中點P展開,在圓錐曲線中處理弦中點問題可用“點日優，% )尸2漢，丫2 ),則-2 x_ 22 x22y2 =1y2 = 1兩式作差，可得：122 x1-x2y1221-y2 )=0= 2 x1 - x2 x1 x2、1 - y2 y1十丫2 )=0,發現等式中出現與中點

25、和P1P2斜率相關的要素，其中PxX2 yy22,2，所以k2 =x1 x2k1 二 Y-y2 ,所x1 - x222在橢圓內，所以有3xo +4y0 <12 ,代入可得：3(以等式化為 1-y2 * y1 +y2)= 0即 1 +k1k2 =0,所以 k1k2 = -12x1 -x2 % x222答案：D 小煉有話說：兩類問題適用于點差法，都是圍繞著點差后式子出現平方差的特點。(1)涉及弦中點的問題，此時點差之后利用平方差進行因式分解可得到中點坐標與直線斜率的聯系(2)涉及到運用兩點對應坐標平方差的條件，也可使用點差法例7：已知點 A(1,2聲拋物線C:y2=4x上，過點 A作兩條直線

26、分別交拋物線于點D,E ,直線AD,AE的斜率分別為kAD,kAE,若直線DE過點P(1,2),則kAD kAE =()y1y2 - 2(y1 +y2 )+4 ,所以可從直線 de入 x1x2 - x1 x21A. 4B. 3C. 2D. 1思路：設D(x，yi ),E(X2，y2進而所求:kAD kAE手，設直線 DE : y +2 =k(x +1),與拋物線方程聯立，利用韋達定理即可化簡kAD ,kAE =2y1 - 2 及-2x1 -1 x2 -1解：設 D 為» ,E x2,y2y1y2-2(y1+y2)+ 4 Xx2 一/x21設 P(1,2),則 DE :y+2 = k(

27、x+1)聯立方程：y2 = 4x,消去x可得:=k x 1代入可得:答案：c例8:已知拋物線C=4x的焦點為F ,過點F的直線l交拋物線于M , N兩點，且MF = 2 NF ,則直線l的斜率為(A. - - 2B. -22C.*T-一 2D.思路一：從點的坐標出發,因為 M,F,N三點共線，從而MF = 2 NF可轉化為4MF - -2NF ,考MF =(1”-弘),NF =(1,-丫2),2y - 4my-4 = 0,利用韋達慮將向量坐標化，F (1,0 ),設M (x1,y1 ),N(x2,y2 ),有所以y 二 2y2 ,設直線l : x = my +1 ,聯立拋物線方程消元后可得:y

28、1 y2 =4m_、. 2.2te理可信：/，再結合y1 = -2y2,消去y1, y2即可得 m = ±,直線l : x = ± y +1,y型 - -444即可得到斜率為 2、. 2思路二：從所給線段關系MF =2 NF恰好為焦半徑出發，聯系拋物線的定義，可考慮 M ,N向準線引垂線，垂足分別為P,Q ,便可得到直角梯形PMNQ ,由拋物線定義可知：MP = MF , NQ = NF ,將所求斜率轉化為直線的傾斜角，即為/PMF。不妨設M在第一象限考慮將角放入直角三角形,從而可過N作NT _L MP于T ,則tnNMT =TN |TM,因為MF=2 NF而 TM =|P

29、M PT = PM QN =|MF NF =|NF，且 MN | =MF |+NF 卜 NF ，利用勾股定理可得：tn| 二 Jmn|2 |MT =2&|NF ,從而 tanNMT =TNTM，2即k =2，2,當M在第四象限時，同理，可得k = -2衣綜上所述：k 2X2答案：B2X 2例9：如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓 + y =1的左、右焦點分別為 F1,F2,設A,B是橢圓2上位于x軸上方的兩點，且直線AF1與直線BF2平行，AF2與BF1叮交于點AA. 3B. 2C. 一D. 1思路：先設出直線 AF1: x = my 1,BF2 : x = my +1 ,只需一個等

30、量條件即可求出 m ,進而求出斜率。考慮與橢圓聯立方程，分別解出A, B的縱坐標，然后利用弦長公式即可用m 表示 AF1,BF2 :,可將已知等式轉化為關于2 m2 1），m m2 1.2 m2 1 - m、m2 1AF-rng 二rn1的方程，從而解出 m =1,所以斜率為 一=1 m解：由橢圓方程可得：F1 (-1,0), F2(1,0)設 AF ： x = my 1,BF2: x = my +1 , A（。必）,B （x2, y?）,依圖可知：y1 > 0, y? a 0聯立AF1與橢圓方程可得:x2+2y2=122 a /口y n (my 1)+2y2 =1,整理可得: x = my -1同理可得：BF2 =72m21 - m .1 m212m .m2 12 工1, 直線AF1的斜率k = 一 = 1 m答案：D,抓住焦點的縱坐標為 0的特點，使用縱坐標小煉有話說：(D在運用弦長公式計算 AF1 , BF2時計算線段長度更為簡便， 因此在直線的選擇上， 本題采用x=my+b的形式以便于消去