1、134 課題學習最短路徑教學設計一、教材分析1 1、 地位作用：隨著課改的深入，數學更貼近生活，更著眼于解決生產、經營中的問題，于是就出現了為省時、省財力、省物力而希望尋求最短路徑的數學問題。 這類問題的解答依據是“兩點之間，線段最短”或“垂線段最短”，由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別。 初中數學中路徑最短問題，體現了 數學來源于生活，并用數學解決現實生活問題的數學應用性。2 2、 目標和目標解析：（1 1）目標：能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形的變化在解決最 值問題中的作用；感悟轉化思想. .（2 2） 目標解析：達成目標的標志是：學生能講實際問題中的“地點”“河

2、”抽象 為數學中的線段和最小問題，能利用軸對稱將線段和最小問題轉化為“連點之間， 線段最短”問題；能通過邏輯推理證明所求距離最短；在探索最算路徑的過程中， 體會軸對稱的“橋梁”作用，感悟轉化思想 3 3、 教學重、難點教學重點：禾 I I用軸對稱將最短路徑問題轉化為“連點之間，線段最短”問題教學難點：如何利用軸對稱將最短路徑問題轉化為線段和最小問題突破難點的方法：禾 I I用軸對稱性質，作任意已知點的對稱點， 連接對稱點和已知 點，得到一條線段，利用兩點之間線段最短來解決 二、教學準備：多媒體課件、導學案三、教學過程教學內容與教師活動學生活 動設計意圖一、創設情景引入課題師： 前面我們研究過一

3、些關于“兩點的所有連線中， 線段 最短”、 “連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線 段最短”等的問題，我們稱它們為最短路徑問題現實生活 中經常涉及到選擇最短路徑的問題，本節將利用數學知識探 究數學史中著名的“將軍飲馬問題” （板書）課題學生思 考教師 展示問題，并觀 察圖片， 獲得感 性認識 從生活中問 題出發，喚 起學生的學 習興趣及探 索欲望 二、自主探究合作交流建構新知 追問 1 1:觀察思考，抽象為數學問題 這是一個實際問題，你打算首先做什么？ 活動 1 1:思考畫圖、得出數學問題將 A A, B B 兩地抽象為兩個點，將河 I I 抽象為一條直線.B動手畫直線追問 2 2 你

4、能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數學問題嗎？師生活動：學生嘗試回答， 并互相補充，最后達成共識：(1 1)從 A A 地出發，到河邊 I I 飲馬，然后到 B B 地；(2 2)在河邊飲馬的地點有無窮多處，把這些地點與 A,BA,B 連 接起來的兩條線段的長度之和，就是從 A A 地 到飲馬地點，再回到 B B 地的路程之和；(3 3)現在的問題是怎 樣找出使兩條線段長度之和為最短的直線 I I 上的點.設 C C 為 直線上的一個動點，上面的問題就轉化為：當點 C C 在 I I 的 什么位置時，ACAC 與 CBCB 的和最小(如圖).AVBC 嘩*/B”強調：將最短路徑問題

5、抽象為“線段和最小問題”活動 2 2:嘗試解決數學問題問題 2 2 :如圖，點 A A，B B 在直線 I I 的同側，點 C C 是直線 上的一個動點，當點 C C 在 I I 的什么位置時，ACAC 與 CBCB 的和 最小？追問 1 1 你能利用軸對稱的有關知識，找到上問中符合條 件的點 BB嗎？觀察口答動手連線觀察口答獨立思 考合作交流匯報交流成果,書寫理由 思考感 悟活動1 1 中的將 軍飲馬為 學 生 提 供參 與 數 學 活動 的 生 活 情境， 培養學 生的把生活 問題轉化為 數學問題的 能力 經歷觀察- - 畫圖- -說理 等活動，感 受幾何的研 究方法，培 養學生的邏 輯思

6、考能力. .達 到 軸 對 稱知 識 的 學 以致用注 意 問 題 解決 方 法 的 小結： 抓對稱 性來解決及時進行學法指導，注問題 3 3 如圖，點 A,A, B B 在直線 I I 的同側，點 C C 是直線C師生活動：學生獨立思考，畫圖分析，并嘗試回答，互相 補充如果學生有困難，教師可作如下提示 作法：（1 1）作點 B B 關于直線 I I 的對稱點 BB;（2 2）連接 ABAB，與直線 I I 相交于點 C,C,則點 C C 即為所求. 如圖所示：問題 3 3 你能用所學的知識證明 ACAC +BC+BC 最短嗎?教師展示：證明：如圖，在直線 I I 上任取一點 C C （與點

7、C C 不重合），連接 ACAC，BCBC，BB CC.由軸對稱的性質知，BCBC =B=B C,C, BCBC =B=B CC.ACAC +BC+BC=AC=AC +B+B C C = = ABAB ，ACAC +BC+BC=AC=AC +B+BC.問題， 把 剛學過 的方法 經驗遷移過來重方法規律的提煉總結 上的一個動點，當點 C C 在 I I 的什么位置時, 最小？ACAC 與 CBCB 的和學生獨 立完成， 集體訂 正學以致用,及時鞏固學生獨 立完成， 集體訂 正注意問題解決方法的小結： 抓軸對 稱來解決CC方法提煉 C C 將最短路徑問題抽象為“線段和最小問題冋題 4 4練習 如圖

8、，一個旅游船*從大橋 ABAB 的 P P 處前往山腳下的 Q Q 處接游客，然后將游客送往河 畫出旅游船的最短路徑.BCBC 上，再返回 P P 處，請互相交 流解題 經驗B大橋基本思路：由于兩點之間線段最短，所以首先可連接 PQPQ 線段 PQPQ 為旅游船最短路徑中的必經線路將河岸抽象為一 條直線 BCBC，這樣問題就轉化為“點 P P，Q Q 在直線 BCBC 的同側, 如何在 BCBC 上找到一點 R,R,使 PRPR 與 Q QR R的和最小”.問題 5 5 造橋選址問題如圖，A A 和 B B 兩地在一條河的兩岸，現要在河上造一座橋 MNMN 喬早在何處才能使從 A A 到 B

9、B 的路徑 AMNAMN 最短？（假定河 的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）獨立完 成，交流 經驗觀察思 考，動手 畫圖，用 軸對稱知識進 行解決經歷觀察- - 畫圖- -說理 等活動，感 受幾何的研 究方法，培 養學生的邏 輯思考能力. .提煉思想方法：軸對稱,線段和最短體會轉化思想，體驗軸對稱知識的應用思維分析：1 1、如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和BN,從 A A 到 B B的路徑是 AM+MN+BAM+MN+B 那么怎樣確定什么情況 下最短呢？2 2、禾U用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？思維點撥：改變 AM+MN+BAM+MN+B 的前提下把橋轉化到一側呢？ 什么圖形變換

10、能幫助我們呢？（估計有以下方法）1 1、把 A A 平移到岸邊 2 2、把 B B 平移到岸邊. .3 3、把橋平移到和 A A 相連. .4 4、把橋平移到和 B B 相連. .教師：上述方法都能做到使 AM+MN+BAM+MN+B 不變呢？請檢驗. .1 1、2 2 兩種方法改變了 . .怎樣調整呢？把 A A 或 B B 分別向下或 上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢 ？問題解決：如圖，平移 A A 到 A1A1,使AA1A1 等于河寬，連接 A1A1B交河岸于N作橋MN,此時路徑AM + MN+BN最 短. . 理由；另任作橋MINI,連接AM1,BN1,A INI. . 由平移性質

11、可知，AM=A1N,AA1=MN = M1N1,AM1=A1N1. . AM+MN+BAM+MN+B 轉化為AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1轉化為AA1+ A1N1+BN1. . 在A1N1B中，由線段公理知 A1N1+BNA1N1+BNAA1BA1B 因此AM1+M1N1 + BN1 AM+MN+BNAM+MN+BN 如0圖所示：A各抒己動手體驗合作與交流動手作圖1、性方法是煉 JM、 -Mi將最短路徑問題轉化為“線段和最爪問題” 性、牡I交流體 會體驗轉化思 想教學內容與教師活動N1學生活 動設計意圖三、鞏固訓練1、（一）基礎訓練：1 1 最短路徑問題（i i）求直線異側的兩點與

12、直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求.如圖所示，點 A A, B B 分別是直線 l l 異側的兩個點，在 1 1 上找一個點 C C,使CACA + CBCB 最短，這時點 C C 是直線 1 1 與 ABAB 的交點.A（2 2）求直線冋側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點， 則與該直線的交點即為所求.如圖所示，點 A A, B B 分別是直線 l l 同側的兩個點，在 1 1 上找一個點 C C,使 CACA+ CBCB 最短，這時先作點 B B 關于直線 l l 的對稱點 B B,則點

13、 C C 是直線 1 1 與 ABAB的交點.jtB學生獨 立思考 解決問 題鞏固所學知識，增強學 生應用知識 的能力，滲 透轉化思 想. .C C 疋12.如圖，A A 和 B B 兩地之間有兩條河，現要在兩條河上各造一 座橋 MNMN 和 P PQ Q橋分別建在何處才能使從 A A 到 B B 的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）A AB如圖，問題中所走總路徑是 AM+MN+NP+PQBAM+MN+NP+PQB .橋 MNMN 和 PQPQ在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用“兩點之間，線 段最短”解決問題，只有利用平移變換轉移到兩側或同一側 先走橋長. .平移的方法

14、有三種：兩個橋長都平移到 A A 點處、都獨立思 考，合 作交流 提煉方法， 為課本例題 奠定基礎. .平移到 B B 點處、MNMN 平移到 A A 點處，PQPQ 平移到 B B 點處B B，要在河邊建一自來水廠向(1)(1) 若要使廠部到 A A，B B 村的距離相等，則應選擇在哪建廠？(2)(2) 若要使廠部到A，B兩村的水管最短，應建在什么地方？(三)綜合訓練：茅坪民族中學八(2)(2)班舉行文藝晚會，桌子擺成如圖 a a 所示兩直排( (圖中的 AOAO，BO)BO)，AOAO 桌面上擺滿了橘子，OBOB 桌面上擺滿了糖果, 站在 C C 處的學生小明先拿橘子再拿糖果，然后到助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？圖 b b四、反思小結布置作業 小結反思(1) 本節課研究問題的基本過程是什么？(2) 軸對稱在所研究問題中起什么作用？解決問題中，我們應用了哪些數學思想方法？ 你還有哪些收獲？作業布置、課后延伸必做題：課本 P93-15P93-15 題；選做題：生活中，你發現那些需要 用到本課知識