1、二次求導(dǎo)問題導(dǎo)數(shù)既是高中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，又是高考的一個(gè)必考內(nèi)容近幾年高考中，出現(xiàn)了一種新 的“導(dǎo)數(shù)”，它是對(duì)導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行二次求導(dǎo)而產(chǎn)生的新函數(shù)，尤其是近幾年作為高考的壓軸題時(shí)常出 現(xiàn).金樂一"利用二次求導(dǎo)求函數(shù)的單調(diào)性1 .sin x典例 右函數(shù) f(x) = , 0<xi<X2<n 設(shè) a= f(xi) , b= f(X2)，試比較 a, b 的大小.z.思路點(diǎn)撥sin x此題可聯(lián)想到研究函數(shù)f(x)=l在(0, n的單調(diào)性函數(shù)圖象雖然可以直觀地反映出兩個(gè)變量之間的變化規(guī)律，但大多數(shù)復(fù)合的函數(shù)作圖困難較大導(dǎo)數(shù)的建立拓展了應(yīng)用圖象解題的空間.導(dǎo)數(shù)這個(gè)強(qiáng)有力的工具對(duì)

2、函數(shù)單調(diào)性的研究提供了簡(jiǎn)單、程序化的方法，具有很強(qiáng)的可操作性.當(dāng)f ' (x)>0時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f ' (x)<0時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.方法演示sin xxcos x- sin x解：由 f(x)= ，得 f ' (X)=-,xx設(shè) g(x) = xcos x sin x，貝U g' (x) = xs in x + cos x cos x= xsi n x. 0<x< n 二 g' (x)<0，即函數(shù) g(x)在(0 , n 上是減函數(shù). g(x)<g(0) = 0,因此 f' (x)<

3、0 , 故函數(shù) f (x)在(0 , n 是減函數(shù)，當(dāng) 0<xi<x2<n,有 f(xi)>f(X2)，即 a>b.解題師說xcos x sin x 從本題解答來看，為了得到f(x)的單調(diào)性，須判斷f'(X)的符號(hào)，而f' (x)= xx-2xx的分母為正，只需判斷分子xcos x sin x的符號(hào)，但很難直接判斷，故可通過二次求導(dǎo)，判斷出一次導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，并最終解決問題.應(yīng)用體驗(yàn)1 .已知函數(shù)f(x)滿足f(x) = f ' (1)e x1 f(0)x+ 2X2，求f(x)的解析式及單調(diào)區(qū)間. 1 解：因?yàn)?f (x) = f'

4、(1)e x 1 f (0) x + 2x2，所以 f ' (x) = f ' (1)e x 1 f(0) + x.令 x = 1,得 f(0) = 1.所以 f (x) = f' (1)e x1 x + ；x2,所以 f (0) = f ' (1)e 1= 1，解得 f ' (1)=e.所以 f(x) = ex x+衣.設(shè) g(x) = f' (x) = ex 1 + x,貝U g' (x) = ex+ 1>0,所以 y= g(x)在 R上單調(diào)遞增. 因?yàn)?f ' (0) = 0,所以 f ' (x)>0 =

5、 f' (0) ? x>0, f ' (x)<0 = f' (0) ? x<0.1所以f(x)的解析式為f(x) = ex x+ 2x2,且單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+)，單調(diào)遞減區(qū)間為(一8,0).題型二典例(理)已知函數(shù) f (x) = In( ax+ 1) + x x ax.2(1) 若x= 3為y = f (x)的極值點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a的值；(2) 若y=f (x)在1 , +)上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù) a的取值范圍；3 b(3) 若a= 1時(shí)，方程f(1 x) (1 x)=-有實(shí)根，求實(shí)數(shù)b的取值范圍.x方法演示解：(1)f'(x)a2+ 3x2xa

6、.ax+ 12-a44 由題意，知f'3 = 0,所以 2+ 3 3 a 0,解得 a 0.3a+ 1當(dāng)a= 0時(shí),f'2(x) = x(3x 2)，從而x= 3為y = f (x)的極值點(diǎn) 因?yàn)閒 (x)在1 , + 8 )上為增函數(shù),2 2+ 8 )上恒成立.ax+ 1所以 f '(X)= ax+1 + 3x2 2x a=燈3空土衛(wèi)迂：- a + 2 。在口 ,當(dāng)a= 0時(shí)，f' (x)= x(3x 2)，此時(shí)f (x)在1 , + 8)上為增函數(shù)恒成立，故a= 0符合題意；當(dāng)0時(shí)，由ax+ 1>0對(duì)x>1恒成立，知a>0.22所以 3ax

7、 + (3 2a)x (a + 2) >0 對(duì) x 1 , + 8)恒成立.2 2 1 1 1 1 1令 g(x) = 3ax + (3 2a) x ( a + 2),其對(duì)稱軸為 x =-,因?yàn)?a>0,所以 _ -< ,所以 g(x)3 2a3 2a 3在1 , + 8)上為增函數(shù)，所以只需g(1) > 0即可，即一a2+ a+ 1 > 0,解得0<aw亠5綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為0, 1 +2亠5 .(3)由已知得，x>0,. b = x(ln x+ x x ) = xln x+ x x .232令 g(x) = xln x+ x x，貝U g (

8、x) = In x + 1+ 2x 3x .216x 2x 1h(x) = g(x)，貝U h(x) = - + 2-6x =-xx豐時(shí)，h' (x)>0，.函數(shù)h(x) = g' (x)在0,粵7上遞增;x>l： 7時(shí)，h' (x)<0,.函數(shù) h(x) = g' (x)在 £ J, +上遞減.6 6又 g' (1) = 0,.存在 Xo0,1P，使得 g'(xo)=°.當(dāng) o<x<xo時(shí)，g' (x)<0 ,A函數(shù) g(x)在(0 , Xo)上遞減； 當(dāng) X0<x<1

9、 時(shí)，g' (x)>0 ,a函數(shù) g(x)在(X0,1)上遞增； 當(dāng) x>1 時(shí)，g' (x)<0,.函數(shù) g(x)在(1 , + )上遞減. 又當(dāng)x宀+ a時(shí)，g(x) oo2321又 g(x) = xln x+ x x = x(ln x+ x x ) < x In x + 4 ,1當(dāng) x 0時(shí)，In x+ 4<0,貝U g(x)<0，且 g(1) = 0, b的取值范圍為(一o, 0.解題師說本題從題目形式來看，是極其常規(guī)的一道導(dǎo)數(shù)考題，第(3)問要求參數(shù)b的范圍問題，實(shí)際上是求g(x) = x(ln x + x x2)極值問題，問題是

10、g' (x) = In x+ 1 + 2x 3x2= 0這個(gè)方程求解不易，這 時(shí)我們可以嘗試對(duì) h(x) = g' (x)再一次求導(dǎo)并解決問題.所以當(dāng)導(dǎo)數(shù)值等于 0這個(gè)方程求解有困難, 考慮用二次求導(dǎo)嘗試不失為一種妙法.(文)已知函數(shù)f(x)=ex xlnx,g(x)= eXX人 _ e + x ex+ xln x xe + ex 2e xln x令 F(x) =x2，則 F' (x) =x3- tx 2+ x, t R,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).(1) 求函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn)(1 , f(1)處的切線方程；(2) 若g(x) > f (x)對(duì)任意的x (0,+

11、o)恒成立，求t的取值范圍.方法演示解：(1)由 f (x) = ex xln x，知 f ' (x) = e ln x 1,則 f ' (1) = e 1，而 f(1) = e,則所求切線方程為y e= (e 1)( x 1)，即y= (e 1)x + 1.x2 T f (x) = ex xln x, g(x) = e tx + x, t R, g(x) >f (x)對(duì)任意的x (0 ,+o)恒成立等價(jià)于 ex tx2+ x ex+ xln x>0對(duì)任意的x (0 ,x-對(duì)任意的x (0 ,+ o )恒成立.+ a )恒成立，即x.e + x ex + xln t

12、 W2xX1x2e,2 e + e ln x ,xx人x2e令 G(x) = e + e InxX,XX“，x 2 xe - e則 G (x) = e -2' Xe x 1 + e 2>0對(duì)任意的xx(0 ,+g)恒成立.X2exIn x在(0，+ g)上單調(diào)遞增，且G1) = 0,當(dāng) x (0,1)時(shí)，qx) v0，當(dāng) x (1 , + g)時(shí)，G(x) >0,即當(dāng) x (0,1)時(shí)，F(xiàn)' (x) v0,當(dāng)x (1 , + g)時(shí)，F(xiàn)' (x) > 0, F(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1 ,+g)上單調(diào)遞增， F(x) > F(1) =

13、1,° t w 1,即t的取值范圍是(一g , 1.解題師說本題從題目形式來看，是極其常規(guī)的一道導(dǎo)數(shù)考題，第問要求參數(shù)t的范圍問題，實(shí)際上是Xe + x ex+ xlnF( x) = x2x-極值問題,冋題是X,1 x2eF (x) = 2e + e Inxxx這個(gè)方程求解不易，這時(shí)我們可以嘗試對(duì) Gx) = F' (x)再一次求導(dǎo)并解決問題.所以當(dāng)導(dǎo)數(shù)值等于 0這個(gè)方程求解有困難, 考慮用二次求導(dǎo)嘗試不失為一種妙法.應(yīng)用體驗(yàn)XQ2 .設(shè) k R,函數(shù) f (x) = e (1 + x + kx2)( x>0).(1) 若k= 1，求函數(shù)f (x)的導(dǎo)函數(shù)f'

14、(x)的極小值；(2) 若對(duì)任意的t>0,存在s>0,使得當(dāng)x (0 , s)時(shí)，都有f(x)<tx2，求實(shí)數(shù)k的取值范圍.解：(1)當(dāng) k = 1 時(shí)，函數(shù) f (x) = ex (1 + x + x2)，則 f(x)的導(dǎo)數(shù) f ' (x) = ex (1 + 2x),令 g(x) = f ' (x)，則 g' (x) = e 2,當(dāng) 0<x<In 2 時(shí)，g' (x)<0 ；當(dāng) x>ln 2 時(shí)，g' (x)>0 , 從而f' (x)在(0 , In 2)上遞減，在(In 2 , + g)上遞增

15、.故導(dǎo)數(shù)f' (x)的極小值為f' (In 2)= 1 2In 2.(2)對(duì)任意的 t >0,記函數(shù) F(x) = f (x) tx 2= ex 1 + x + (k+1) x2 , x>0,根據(jù)題意，存在 s>0，使得當(dāng)x (0 , s)時(shí)，Rx)<0.易得F(x)的導(dǎo)數(shù)F' (x) = ex 1 + 2( k + t)x,令 h(x) = F' (x)，則 h' (x) = ex 2(k +1). 若 h' (x) > 0,注意到 h' (x)在(0 , s)上遞增，故當(dāng) x (0 , s)時(shí)，h'

16、; (x)>h' (0) > 0,于是F' (x)在(0 , s)上遞增，則當(dāng)x (0 , s)時(shí)，F(xiàn)' (x)>F' (0) = 0,從而Rx)在(0 , s)上遞 增.故當(dāng)x (0 , s)時(shí)，F(xiàn)( x)> F(0) = 0,與已知矛盾； 若h' (x)<0，因?yàn)閔' (x)在(0 , s)上連續(xù)且遞增，故存在s>0,使得當(dāng)x (0 , s) , h' (x)<0 , 從而F' (x)在(0 , s)上遞減，于是當(dāng)x (0 , s)時(shí)，F(xiàn)' (x)<F' (0)

17、= 0,因此F(x)在(0 , s)上遞減.故 當(dāng)x (0 , s)時(shí)，F(xiàn)(x)<F(0) = 0,滿足已知條件.1 綜上所述，對(duì)任意的t>0,都有h (x)<0，所以1 2( k+1)<0，即k>2 t ,1題型三故實(shí)數(shù)k的取值范圍為2 t，+ m .利用二次求導(dǎo)證明不等式典例x 證明當(dāng) x>0 時(shí)，sin x>x .6方法演示32xx證明：令 f(x)= sin x x+小，貝Uf '(x)= cosx1 + ，所以 f " (x)= sinx+ x.62易知當(dāng)x>0時(shí)，sin x<x，所以在(0,+s)上f ” (x

18、)>0，所以f' (x)在(0 ,+)上單調(diào)遞增.又f ' (0) = 0,所以在(0,+)有f' (x)>f ' (0) = 0,所以f (x)在(0,+)上單調(diào)遞增.33xx故當(dāng) x>0 時(shí)，f (x) = sin x x+ 6>f (0) = 0.所以 sin x>x 6(x>0).解題師說本題是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)證明不等式證明的關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，然后在相應(yīng)區(qū)間上用二次求導(dǎo) 的方法判定導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，得到導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，再利用單調(diào)性證明不等式.應(yīng)用體驗(yàn)3. (2018西安八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x) = mex In x 1.(1

19、) 當(dāng)m0時(shí)，求曲線y = f (x)在點(diǎn)(1 , f(1)處的切線方程；(2) 當(dāng) mi> 1 時(shí)，證明：f (x)>1.1解：(1)當(dāng) mr 0 時(shí)，f(x) = ln x 1,貝U f ' (x)= 一，所以 f (1) = 1, f ' (1) = 1. x所以曲線y = f (x)在點(diǎn)(1 , f(1)處的切線方程為y ( 1) = (x 1)，即x + y= 0.(2)證明：當(dāng) 1 時(shí)，f (x) = me ln x 1 > e ln x 1.1 要證 f (x)>1，只需證 e ln x 2>0.設(shè) g(x) = e ln x 2，貝

20、U g' (x) = e -.x111設(shè) h(x) = ex -，則 h' (x) = ex + 一2>0.所以函數(shù) h(x) = g' (x) = ex-在(0 , + )上單調(diào)遞增.xxx1 1 1因?yàn)?g'2 = e2 2<0, g' (1) = e 1>0,所以函數(shù) g' (x) = ex -在(0 ,+ )上有唯一零點(diǎn)1 1Xo,且 Xo , 1 .因?yàn)?g' (xo) = 0,所以 exo=，即 ln x°= x°.2匕、/，X0當(dāng) x (0 , X。)時(shí)，g' (x)<0

21、;當(dāng) x (X0,+)時(shí)，g' (x)>0，所以當(dāng) x = x°時(shí)，g(x)取得極小值也是最小值g(xo).故 g(x) > g(xo) = exo In1Xo 2 =+ Xo 2>0.xo綜上可知，當(dāng) m> 1時(shí)，f (x)>1.J升級(jí)增型II練1. (理)對(duì)任意實(shí)數(shù)x，證明不等式1 + xln( x + 1 + x111x1 證明：由 a = 2,得 f' (x) = ln x+ x 1(x>0).令 h(x) = ln x+ x,貝U h' (x) = x x = 一/一 z.z.z.z.z.) > 1 + x2

22、.證明：設(shè) f (x) = 1+ xln( x+ 1 + x2) 1 + x2,/ f' (x) = ln( x +1 + x2) +x+1 + x2x1 + x2=ln( x +1 + x2),設(shè) h(x) = f ' (x)，則 h' (x)=x1 + x2x +1 + x22寸 1 + X2+ X1 + x2 x +1 + x所以f ' (x)在(3,+)上是增函數(shù).由 f ' (x) = 0,即即 ln( x +1 + x2) = 0，得 x= 0.所以當(dāng)x<0時(shí)，f' (x)<0，則f(x)在(一a, 0)上為減函數(shù);當(dāng)x&

23、gt;0時(shí)，f' (x)>0，則f (x)在(0 ,+a)上為增函數(shù).故 f (x)在 x= 0 處有極小值，所以f (x)> f (0) = 0,即卩1 + xln(x+1 + x2)>1 + x2.(文)已知函數(shù)f (x) = (x + 1)ln x ax,當(dāng)x° (1 , + a)時(shí)，函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn)(x°, f(x。)處的切線方程為丫= e.e(1) 求a的值；(2) 求證：函數(shù)f (x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.1解：(1)由題意，得 f (x) = ln x+ + 1 a,x所以函數(shù)f (x)的圖象在點(diǎn)(X0, f(x。)處的切線方程

24、為y f(X0)= f ' (X0)( X X。),即 y (X0 + 1)ln X0 + ax0= ln11X0 + + 1 a (x x°),即卩 y= ln x°+ + 1 a x + ln x° x° 1,X0X011ln X0+ 1 a=_, 所以X0eX0 ln X0+ 1 = e.1 x 一 1 令 g(x) = x ln x + 1,則 g (x) = 1 xx ,z.z.當(dāng) X (1 , + a)時(shí)，g' (x) > 0,故當(dāng) X (1 , + a)時(shí)，g(x)單調(diào)遞增.11又因?yàn)?g(e) = e,所以 x

25、76;= e,將 x°= e代入 ln x°+ +1 a=，得 a = 2.X0e當(dāng) x (0,1)時(shí)，h (x) v 0;當(dāng) x (1 ,+ 8)時(shí)，h' (x) > 0,故當(dāng)x (0,1)時(shí)，h(x)單調(diào)遞減；當(dāng)x (1 , +)時(shí)，h( x)單調(diào)遞增，故h(x) >h(1) = 1.因此當(dāng) x (0 ,+ )時(shí)，f' (x) = h(x) 1> 0，當(dāng)且僅當(dāng) x= 1 時(shí)，f' (x) = 0.所以f(x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增.x22. 已知函數(shù)f (x) = e ax bx 1,其中a, b R, e = 2.718 28為自

26、然對(duì)數(shù)的底數(shù).設(shè)g(x) 是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)，求函數(shù) g(x)在區(qū)間0,1上的最小值.解：由 f (x) = ex ax2 bx 1,得 g(x) = f' (x) = ex 2ax b.所以 g' (x) = ex 2a.因此，當(dāng) x 0,1時(shí)，g' (x) 1 2a, e 2a.1當(dāng)a<2時(shí)，g' (x) >0，所以g(x)在0,1上單調(diào)遞增，因此g(x)在0,1上的最小值是 g(0)=1 b；當(dāng)a>；時(shí)，g' (x) w 0，所以g( x)在0,1上單調(diào)遞減，因此g(x)在0,1上的最小值是 g(1)=e 2a b；當(dāng) 2&l

27、t;a<；時(shí)，令 g' (x) = 0,得 x = In 2 a (0,1).當(dāng) g' (x)<0 時(shí)，0wx<ln 2 a；當(dāng) g' (x)>0 時(shí)，ln 2 a<xw 1,所以函數(shù) g(x)在區(qū)間0 , ln 2 a) 上單調(diào)遞減，在區(qū)間(In 2a, 1上單調(diào)遞增，于是 g(x)在0,1上的最小值是 g(ln 2a) = 2a 2aln 2a b.11 e綜上所述，當(dāng) aw 2時(shí)，g( x)在0,1上的最小值是 g(0) = 1 b;當(dāng)2<a<2時(shí)，g(x)在0,1上的 最小值是 g(ln 2 a) = 2a 2aln 2

28、 a b；當(dāng) a>；時(shí)，g(x)在0,1上的最小值是 g(1) = e 2a b.3. 已知函數(shù) F(x) = ex+ sin x ax,當(dāng)x>0時(shí)，函數(shù)y= F(x)的圖象恒在y= F( x)的圖象上方， 求實(shí)數(shù)a的取值范圍.解：設(shè) («x) = F(x) F( x) = e e + 2sin x 2ax.貝U $ (x) = e + e + 2cos x 2a.設(shè) S(x)=(x) = ex ex 2sin x./ S' (x) = ex+ ex 2cos x> 0 在 x> 0 時(shí)恒成立，.函數(shù)S(x)在0 ,+)上單調(diào)遞增，二S(x) > S(0) = 0在x 0 ,+ )時(shí)恒成立，因此函數(shù)$' (x)在0 ,+ )上單調(diào)遞增， $ (x) > $ ' (0) = 4 2a 在 x 0 ,+ 8)時(shí)恒成立.當(dāng) aw 2 時(shí)，$' (x) > 0, $(x)在0 , + 8)單調(diào)遞增，即 $(x) > $(0) = 0.故 aw 2 時(shí) F(x) > F( x)恒成立.當(dāng)a>2時(shí)，$