1、考點50 離散型隨機變量及其分布列、離散型隨機變量的均值與方差一、選擇題1. （2013·廣東高考理科·4）已知離散型隨機變量X的分布列為X123p則X的數學期望E（x）=（ ）A. B. 2C. D3【解題指南】本題考查離散型隨機變量的期望公式，可以直接代入計算.【解析】選A. .2. （2013·湖北高考理科·9）如圖，將一個各面都凃了油漆的正方體，切割為125個同樣大小的小正方體，經過攪拌后，從中隨機取一個小正方體，記它的油漆面數為X，則X的均E(X)=（ ）A. B. C. D【解題指南】先求分布列，再求E(X)。【解析】選B. E(X)=二、填

2、空題3.（2013·上海高考理科·T10）設非零常數d是等差數列的公差，隨機變量等可能地取值，則方差【解析】，【答案】.4.（2013·上海高考文科·T6）某學校高一年級男生人數占該年級學生人數的40%.在一次考試中，男、女生平均分數分別是75、80，則這次考試該年級學生平均分數為 .【解析】 【答案】 78.三、解答題5. （2013·四川高考理科·18） 某算法的程序框圖如圖所示,其中輸入的變量x在1,2,3,24這24個整數中等可能隨機產生()分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出y的值為i的概率Pi(i=1,2,3)；()甲、乙

3、兩同學依據自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復運行n次后,統計記錄了輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數以下是甲、乙所作頻數統計表的部分數據甲的頻數統計表(部分)運行次數n輸出y的值為1的頻數輸出y的值為2的頻數輸出y的值為3的頻數30146102 1001 027376697乙的頻數統計表(部分)運行次數n輸出y的值為1的頻數輸出y的值為2的頻數輸出y的值為3的頻數30121172 1001 051696353當n=2100時,根據表中的數據,分別寫出甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率(用分數表示),并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大.()將按

4、程序框圖正確編寫的程序運行3次,求輸出y的值為2的次數的分布列及數學期望.【解題指南】求解本題的關鍵是理解題意,并且弄清框圖的功能,找到隨機變量可能的取值,列出分布列再求數學期望.【解析】()變量x是在1,2,3,24這24個整數中隨機產生的一個數,共有24種可能.當x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數中產生時,輸出的y=1,故P1=;當x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數中產生時,輸出的y=2,故P2=;當x從6,12,18,24這4個數中產生時,輸出的y=3,故P3=.所以輸出y的值為1的概率是,輸出y的值為2的概率是,輸出y的值為3的

5、概率是.() 當n=2100時,甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率如下:輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為1的頻率甲乙比較頻率趨勢與概率,可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大. ()隨機變量的所有可能取值為0,1,2,3.P(=0)=C30()0()3=,P(=1)=C31()1()2=,P(=2)=C32()2()1=,P(=3)=C33()3()0=.故的分布列為0123P所以,E=0´+1´+2´+3´=1,即的數學期望為1.6. （2013·四川高考文科·18）某算法的程序框圖如圖

6、所示，其中輸入的變量在這個整數中等可能隨機產生。（）分別求出按程序框圖正確編程運行時輸出的值為的概率；()甲、乙兩同學依據自己對程序框圖的理解,各自編寫程序重復運行n次后,統計記錄了輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻數以下是甲、乙所作頻數統計表的部分數據甲的頻數統計表(部分)運行次數n輸出y的值為1的頻數輸出y的值為2的頻數輸出y的值為3的頻數30146102 1001 027376697乙的頻數統計表(部分)運行次數n輸出y的值為1的頻數輸出y的值為2的頻數輸出y的值為3的頻數30121172 1001 051696353當時，根據表中的數據，分別寫出甲、乙所編程序各自輸出的值為的頻率（用

7、分數表示），并判斷兩位同學中哪一位所編寫程序符合算法要求的可能性較大。【解題指南】求解本題的關鍵是證明理解題意，并且弄清框圖的功能，在第()問中應比較頻率的趨勢與概率進行判斷.【解析】()變量x是在1,2,3,24這24個整數中隨機產生的一個數,共有24種可能.當x從1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23這12個數中產生時,輸出y的值為1,故P1=;當x從2,4,8,10,14,16,20,22這8個數中產生時,輸出y的值為2,故P2=;當x從6,12,18,24這4個數中產生時,輸出y的值為3,故P3=.所以輸出y的值為1的概率是,輸出y的值為2的概率是,輸出y的值為3

8、的概率是.() 當n=2100時,甲、乙所編程序各自輸出y的值為i(i=1,2,3)的頻率如下:輸出y的值為1的頻率輸出y的值為2的頻率輸出y的值為1的頻率甲乙比較頻率趨勢與概率,可得乙同學所編程序符合算法要求的可能性較大.7.(2013·天津高考理科·T16)一個盒子里裝有7張卡片,其中有紅色卡片4張,編號分別為1,2,3,4;白色卡片3張,編號分別為2,3,4.從盒子中任取4張卡片(假設取到任何一張卡片的可能性相同).(1)求取出的4張卡片中,含有編號為3的卡片的概率.(2)在取出的4張卡片中,紅色卡片編號的最大值設為X,求隨機變量X的分布列和數學期望.【解題指南】(1

9、)根據組合數原理求出符合條件的取法及總取法,再求概率.(2)根據隨機變量X所有可能取值列出分布列,求數學期望.【解析】(1)設“取出的4張卡片中, 含有編號為3的卡片”為事件A,則所以，取出的4張卡片中, 含有編號為3的卡片的概率為. (2)設隨機變量X的所有可能取值為1,2,3,4.所以隨機變量X的分布列是 X1234P隨機變量X的分布列和數學期望8.(2013·浙江高考理科·T19)設袋子中裝有a個紅球,b個黃球,c個藍球,且規定:取出一個紅球得1分,取出一個黃球得2分,取出一個藍球得3分.(1)當a=3,b=2,c=1時,從該袋子中任取(有放回,且每球取到的機會均等)

10、2個球,記隨機變量為取出此2球所得分數之和,求的分布列.(2)從該袋子中任取(每球取到的機會均等)1個球,記隨機變量為取出此球所得分數.若E()= ,D()= ,求abc.【解題指南】(1)在分析取到兩球的顏色時,要注意是有放回地抽取,即同一個球可能兩次都能抽到;(2)根據計算數學期望與方差的公式計算,尋找a,b,c之間的關系.【解析】(1)由題意得,=2,3,4,5,6,故 ， 所以的分布列為23456（）由題意知的分布列為123所以 化簡得，解得所以.9. （2013·重慶高考理科·18）某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規定：在一次摸獎中，摸獎者先從裝有3個紅球與4個

11、白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個籃球與2個白球的袋中任意摸出1個球，根據摸出4個球中紅球與籃球的個數，設一、二、三等獎如下：獎級摸出紅、藍球個數獲獎金額一等獎3紅1藍200元二等獎3紅0藍50元三等獎2紅1藍10元其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級（）求一次摸球恰好摸到1個紅球的概率；（）求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額的分布列與期望【解題指南】首先設出相應的事件,根據古典概型的公式求出恰好摸到一個紅球的概率,然后再求出相應事件的概率列出分布列求出期望.【解析】設表示摸到個紅球,表示摸到個藍球,則與獨立.（）恰好摸到1個紅球的概率為（）的所有可能值為,且綜上知,的分布列為 從而有(元

12、).10. （2013·湖南高考理科·18）某人在如圖所示的直角邊長為4米的三角形地塊的每個格點(指縱、橫直線的交叉點以及三角形的頂點)處都種了一株相同品種的作物.根據歷年的種植經驗,一株該種作物的年收獲量Y(單位:kg)與它的“相近”作物株數X之間的關系如下表所示:X1234Y51484542這里,兩株作物“相近”是指它們之間的直線距離不超過1米.(1)從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物,求它們恰好“相近”的概率;(2)從所種作物中隨機選取一株,求它的年收獲量的分布列與數學期望.【解題指南】(1)本三角形地共有15株作物,其中內部3株,邊界12株,結合題意求解

13、相應概率.(2)先弄清15株滿足相應年產量的各有多少株,然后求出對應的概率,寫出分布列再求期望.【解析】(1)所種作物總株數N=1+2+3+4+5=15,其中三角形地塊內部的作物株數為3,邊界上的作物株數為12,從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株的不同結果有種，選取的兩株作物恰好“相近”的不同結果有3+3+2=8種.故從三角形地塊的內部和邊界上分別隨機選取一株作物,它們恰好“相近”的概率為.(2)先求從所種作物中隨機選取的一株作物的年收獲量Y的分布列.因為P(Y=51)=P(X=1),P(Y=48)=P(X=2),P(Y=45)=P(X=3),P(Y=42)=P(X=4),所以只需求出

14、P(X=k)(k=1,2,3,4)即可,記nk為其“相近”作物恰有k株的作物株數(k=1,2,3,4),則n1=2,n2=4,n3=6,n4=3.由P(X=k)=得P(X=1)= ,P(X=2)= ,P(X=3)= =,P(X=4)= =,故所求的分布列為Y51484542P所求的數學期望為.11. （2013·江西高考理科·18）小波以游戲方式決定是參加學校合唱團還是參加學校排球隊，游戲規則為：以O為起點，再從A1，A2，A3，A4，A5，A6，A7，A8（如圖）這8個點中任取兩點分別分終點得到兩個向量，記這兩個向量的數量積為X.若X=0就參加學校合唱團，否則就參加學校排

15、球隊.(1)求小波參加學校合唱團的概率；(2)求X的分布列和數學期望.【解題指南】(1)將基本事件總數求出，然后找所求概率事件的基本事件數，由古典概型公式求得結果；（2）先確定X的可能取值，然后再計算各個概率值即得分布列，最后計算期望值.【解析】（1）從8個點中任取兩點為向量終點的不同取法共有種，時，兩向量夾角為直角共有8種情形.所以小波參加學校合唱團的概率為.(2)兩向量數量積的所有可能取值為-2，-1,0,1.時，共有2種情形，時，有10種情形，有8種情形.所以X的分布列為X01P .12. （2013·山東高考理科·19）甲、乙兩支排球隊進行比賽，約定先勝3局者獲得比

16、賽的勝利，比賽隨即結束.除第五局甲隊獲勝的概率是外，其余每局比賽甲隊獲勝的概率是 .假設每局比賽結果互相獨立.（）分別求甲隊以3：0，3：1，3：2勝利的概率  （）若比賽結果為3：0或3：1，則勝利方得3分，對方得0分；若比賽結果為3：2，則勝利方得2分、對方得1分，求乙隊得分X的分布列及數學期望.【解題指南】（）本題考查了相互獨立事件的概率；（）本題考查的是隨機變量的分布列及數學期望，先列出X的所有值，并求出每個X值所對應的概率，列出分布列，然后根據公式求出數學期望.【解析】（）記“甲隊以3:0勝利”為事件A1，“甲隊以3:1勝利”為事件A2，“甲隊以3:2勝利”為事件A3，由題

17、意，各局比賽結果相互獨立，故， ， ，所以甲隊以3:0勝利、以3:1勝利的概率都為，甲隊以3:2勝利的概率為.（）設“乙隊以3:2勝利”為事件A4，由題意，各局比賽結果相互獨立，所以.由題意，隨機變量的所有可能的取值為0,1,2,3，根據事件的互斥性得,又,故的分布列為0123P所以E=.13.（2013·北京高考理科·16）下圖是某市3月1日至14日的空氣質量指數趨勢圖，空氣質量指數小于100表示空氣質量優良，空氣質量指數大于200表示空氣重度污染，某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，并停留2天（1）求此人到達當日空氣重度污染的概率（2）設X是此人停留期間

18、空氣質量優良的天數，求X的分布列與數學期望。（3）由圖判斷從哪天開始連續三天的空氣質量指數方差最大？（結論不要求證明）【解題指南】（1）這是古典概型的概率計算問題，分別求出基本事件空間的基本事件總數、所求事件包含的基本事件總數，作比即可求出概率。（2） 天數的可能取值為0，1，2，列出分布列，再求期望。（3） 從圖中找一找哪三天的波動最大，則方差也就最大。【解析】（1）某人隨機選擇3月1日至3月13日中的某一天到達該市，共有13種可能。到達當日空氣重度污染有2種可能。所以概率為。（2）X可能取值為0，1，2.分布列如下X012P。（3）5，6，7三天。14.(2013·福建高考理科&

19、#183;T16)某聯歡晚會舉行抽獎活動,舉辦方設置了甲、乙兩種抽獎方案,方案甲的中獎率為,中獎可以獲得2分;方案乙的中獎率為,中獎可以獲得3分;未中獎則不得分.每人有且只有一次抽獎機會,每次抽獎中獎與否互不影響,晚會結束后憑分數兌換獎品.(1)若小明選擇方案甲抽獎,小紅選擇方案乙抽獎,記他們的累計得分為X,求X3的概率.(2)若小明、小紅兩人都選擇方案甲或都選擇方案乙進行抽獎,問:他們選擇何種方案抽獎,累計得分的數學期望較大?【解析】(1)由已知得:小明中獎的概率為,小紅中獎的概率為,且兩人中獎與否互不影響,記“這2人的累計得分X3”的事件為A,則A事件的對立事件為“X=5”,因為,所以P(

20、A)=1-P(X=5)= ,所以這兩人的累計得分X3的概率為.(2)設小明、小紅都選擇方案甲抽獎中獎的次數為X1,都選擇方案乙抽獎中獎的次數為X2,則這兩人選擇方案甲抽獎累計得分的數學期望為E(2X1),選擇方案乙抽獎累計得分的數學期望為E(3X2),由已知: ，,所以,所以E(2X1)=2E(X1)= ,E(3X2)=3E(X2)= ,因為E(2X1)>E(3X2),所以他們都選擇方案甲進行抽獎時,累計得分的數學期望最大.15. （2013·陜西高考理科·19）在一場娛樂晚會上,有5位民間歌手(1至5號)登臺演唱,由現場數百名觀眾投票選出最受歡迎歌手.各位觀眾須彼此

21、獨立地在選票上選3名歌手,其中觀眾甲是1號歌手的歌迷,他必選1號,不選2號,另在3至5號中隨機選2名.觀眾乙和丙對5位歌手的演唱沒有偏愛,因此在1至5號中隨機選3名歌手.(1)求觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率.(2)X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和,求X的分布列和數學期望.【解題指南】利用相互獨立事件的概率乘法公式即可得解;通過確定隨機變量X的取值,求隨機變量X的分布列,求隨機變量X的數學期望三步完成.【解析】(1) 設事件A 表示:觀眾甲選中3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手。觀眾甲選中3號歌手的概率為,觀眾乙未選中3號歌手的概率為。所以P(A) = .因此，觀眾甲選中

22、3號歌手且觀眾乙未選中3號歌手的概率為.(2) X表示3號歌手得到觀眾甲、乙、丙的票數之和，則X可取0,1,2,3.觀眾甲選中3號歌手的概率為,觀眾乙、丙選中3號歌手的概率為。當觀眾甲、乙、丙均未選中3號歌手時，這時X=0，P(X = 0) = .當觀眾甲、乙、丙中只有1人選中3號歌手時，這時X=1，P(X = 1) = .當觀眾甲、乙、丙中只有2人選中3號歌手時，這時X=2，P(X = 2) = .當觀眾甲、乙、丙均選中3號歌手時，這時X=3，P(X =3) = .X的分布列如下表：X0123P所以，數學期望.16. （2013·新課標全國高考理科·19）經銷商經銷某種農

23、產品,在一個銷售季度內,每售出1t該產品獲利潤500元,未售出的產品,每1t虧損300元.根據歷史資料,得到銷售季度內市場需求量的頻率分布直方圖,如圖所示.經銷商為下一個銷售季度購進了130t該農產品.以X(單位:t,100X150)表示下一個銷售季度內的市場需求量.T(單位:元)表示下一個銷售季度內經銷該農產品的利潤. （1）將T表示為x的函數（2）根據直方圖估計利潤T，不少于57000元的概率；（3）在直方圖的需求量分組中，以各組的區間中點值代表該組的各個值，需求量落入該區間的頻率作為需求量取該區間中點值的概率（例如：若x）則取x=105，且x=105的概率等于需求量落入的頻率），求T的數

24、學期望。【解題指南】（1）依題意，可求得T關于x的分段函數;(2)由頻率分布直方圖可知，知利潤T不少于57000元當且僅當用頻率估計概率，可概率的估計值；（3）由分布列，代入期望公式，得所求.【解析】（1）當時，當時，所以 （2）由（1）知利潤T不少于57000元當且僅當由直方圖知需求量的頻率為0.7,所以下一個銷售季度內的利潤T不少于57000元的概率的估計值為0.7. (3)依題意可得T的分布列為T45000530006100065000P0.10.20.30.4所以 ET17. （2013·新課標高考理科·19）一批產品需要進行質量檢驗,檢驗方案是:先從這批產品中任取

25、4件作檢驗,這4件產品中優質品的件數記為n.如果n=3,再從這批產品中任取4件作檢驗,若都為優質品,則這批產品通過檢驗;如果n=4,再從這批產品中任取1件作檢驗,若為優質品,則這批產品通過檢驗;其他情況下,這批產品都不能通過檢驗.假設這批產品的優質品率為50%，即取出的產品是優質品的概率都為，且各件產品是否為優質品相互獨立（）求這批產品通過檢驗的概率；（）已知每件產品檢驗費用為100元,且抽取的每件產品都需要檢驗,對這批產品作質量檢驗所需的費用記為X(單位:元),求X的分布列及數學期望.【解題指南】（）由事件的獨立性和互斥性，并結合產品通過檢驗的情形確定這批產品通過檢驗的概率；（）根據題意，先

26、確定的可能取值，然后求出相應的概率，列出分布列利用期望公式求出期望.【解析】（）設第一次取出的4件產品中恰有3件優質品為事件，第一次取出的4件產品全是優質品為事件，第二次取出的4件產品全是優質品為事件,第二次取出的1件產品是優質品為事件，這批產品通過檢驗為事件.依題意有，且A1B1與A2B2互斥,所以.（）的可能取值為，, 所以的分布列為（元）18.（2013·大綱版全國卷高考理科·20）甲、乙、丙三人進行羽毛球練習賽，其中兩人比賽，另一人當裁判，每局比賽結束時，負的一方在下一局當裁判，設各局中雙方獲勝的概率均為各局比賽的結果都相互獨立，第局甲當裁判.（I）求第局甲當裁判的概率；（II）表示前局中乙當裁判的次數，求的數學期望.【解析】（I）記表示事件“第2局結果為甲勝”，表示事件“第3局甲參加比賽時，結果為甲負”，表示事