1、不可約多項式的判定及應用摘 要多項式理論是高等代數的重要組成部分，而不可約多項式是多項式中重要的概念. 本文主要對有理數域上不可約多項式的判別方法進行整理歸納, 較為系統的給出不可約多項式的判定方法。對于一般的不可約多項式的判定有Eisenstein判別法、Kronecker判別法、Perron判別法、Browm判別法等。研究了各判定方法的等價和包含關系。此外，我們還給出了不可約多項式的一些應用。關鍵詞不可約多項式；判定方法；應用 2. 不可約多項式的概念及性質2.1 整除的概念設P是一個數域，對于中任意兩個多項式與，其中，一定有中的多項式，存在，使得成立，其中或者，并且這樣的，是唯一決定的。

2、定義2.1 數域P上的多項式稱為能整除，如果有數域P上的多項式使等式=成立，我們用“|”表示整除，用“”表示不能整除。定理2.1 對于數域P上的任意兩個多項式,其中,|的充分必要條件是除的余式為零。證明: 如果= 0那么=,即|。反過來，如果|，那么=+0，即= 0。注1: 帶余除法中必須不為零。下面介紹整除性的幾個常用性質:（1） 如果|,|,那么，其中為非零常數。（2）如果|,|，那么|（整除的傳遞性）。（3） |,|，那么|，其中是數域P上任意多項式。2.2 本原多項式若是一個整系數多項式的系數互素， 那么叫做一個本原多項式。2.3 有理數域上多項式的等價設有理數域上的一個多項式， 若的

3、系數不全是整數，那么以系數分母的一個公倍數乘就得到一個整系數多項式。顯然，多項式與在有理數域上同時可約或同時不可約。2.4 多項式的不可約相關概念在中學我們學過一些具體方法，把一個多項式分解為不能再分的因式的乘積，但并沒有深入探討和討論這個問題，并沒有嚴格地論證它們是否真的不可再分，所謂不可再分的概念，其實不是絕對的，而是相對于系數的數域而言，有例如下把進行分解，可分解為但這是相對于有理數域而言的，對于實數域來說還可分進一步為而在復數域上，還可以再進一步分解為由此可見，必須明確系數域后，所謂的不可再分，才有確切的涵義。在下面的討論中，仍然須選定一個數域P作為系數域，數域P上多項環P中多項式的因

4、式分解相關的不可約定義如下定義2.4.1 數域P上的次數1的多項式稱為域P上的不可約多項式，如果它不能表示成數域P上兩個次數比的次數低的多項式的乘積。我們要談的多項式的不可約性問題的相關事實如下（1）一次多項式總是不可約多項式;（2）一個多項式是否不可約是依賴于系數域的;（3）不可約多項式與任一多項式之間只能是有兩種關系，或者或者，事實上，如果，那么或者是1，或者是，當= 時，就有。2.5 有理數域上不可約多項式的定義 如果是有理數域上次數大于零的多項式且不能表示成有理數域上兩個次數比它低的多項式的乘積， 則稱為有理數域上的不可約多項式。3. 有理數域上不可約多項式的判定方法3.1 Eisen

5、stein判別法在高等代數中，Eisenstein判別法是最為經典和著名的，也是現行有理數域上不可約多項式判定判定方法中最為實用的。而人們長久以來的研究衍生出了許多不同的方法。3.1.1直接判別法定理3.1.1 設是一個整系數多項式，其中，設存在一個素數，使得 不整除，整除（）但不整除，那么多項式在有理數域上不可約。3.1.2 間接判別法對于分圓多項式不能直接應用 Eisenstein判別法，可以做適當的變形之后便可以應用了。在學習的過程中，面對此類問題，因為其系數較高，不能用定義法去判定。我們所學的也只有Eisenstein判別法，但不能直接運用。考慮到多項式的等價，對多項式我們可以做適當代

6、換，這樣產生了 Eisenstein判別法的間接判別法。定理3.1.2 有理系數多項式在有理數域上不可約的充分必要條件是: 對于任意的有理數和，多項式在有理數域上不可約。例1 證明在Q上不可約。證明: 取，則不整除1，整除4,6,2，不整除2由 Eisenstein判別法知在Q上不可約，因此在Q上不可約。3.1.3 其他派生出的判別法這種由Eisenstein判別法派生出的方法與Eisenstein判別法相類似，能夠用來判定Eisenstein判別法所不能判定的一類有理數域上的不可約多項式。定理3.1.3 設是一個整系數多項式，如果存在一個素數，使整除常數項但整除其他各項系數且不整除最高次數項

7、系數，那么多項式在有理數上不可約。例2下列多項式在有理數域上是否可約？； (2) ； ，為奇素數；，為整數.解: (1) 令，則有取素數=2，由于21,2 | 2,但是2故由Eisenstein判別法可知，在有理數上不可約，從而=在有理數域上也不可約。(2) 取素數=2,則21,2 | -8,2 | 12，但是2故由Eisenstein判別法可知，該多項式在有理數域上也不可約。(3) 令，代入=,得取素數=3。由于31,3 | 6,3 | 15,3 | 21,3 | 18,3 | 9,3 | 3，但是3，故由Eisenstein判別法可知，在有理數上不可約，從而在有理數域上也不可約。(4) 令

8、,代入=,得由于是素數，且,，故由Eisenstein判別法可知，在有理數上不可約，從而在有理數域上也不可約。（5）令，代入 =得取素數=2，由于21，又2 | 4,2 | 6,2|(4k+4)，2 | (4k+2)，但(4k+2)，故由Eisenstein判別法可知，在有理數上不可約，從而在有理數域上也不可約。3.2 Kronerker判別法定理3.2.1 設，這里為有理數域。則在有限步下能分解成不可約多項式的乘積。 （只考慮整系數多項式的情形）例3 證明在上不可約。證明：取，則從而的因子是0，的因子是1，的因子是1，故令應用插值多項式：由帶余除法可知，不整除，不整除，所以在Q上不可約。3.

9、3 Perron判別法定理3.3.1 設是多項式，如果，則在Q上不可約。例4 證明在Q上不可約證明：該題不滿足艾森斯坦判別法，但其為整系數多項式，滿足Perron判別法的條件，由題意可知，所以據Perron判別法可知該多項式在Q上不可約。3.4 Brown判別法定理3.4.1 設是次整系數多項式，令表示中1的個數，表示中的素數的個數，如果，則在Q上不可約。例5 證明在Q上不可約證明：故所以多項式在Q上不可約。3.5 多項式無有理因式判別法定理3.5.1 設是一個整系數多項式，若沒有次數小于和等于的有理因式，并且存在素數，使：（1）至少不整除中的一個（2）（3）那么，在有理數域上不可約。定理3.

10、5.2 設是一個整系數多項式，若沒有次數小于和等于的有理因式，并且存在素數，使：（1）至少不整除中的一個（2）（3）那么，在有理數域上不可約。這種方法在應對沒有不小于二次的有理因式的判定時，因為其需要計算機計算來得到，所以在此種情況下，沒有克羅奈克的方法更加的簡便。3.6 模約化處理判定法定理3.6.1 ，是素數，其中，則在中不可約。定理3.6.2 ，是素數，其中，則在中不可約。定理3.6.3 ，是素數，其中，則在中不可約。定理3.6.4 ，是素數，其中，無理想根，則在中不可約。例6判斷以下多項式在中是否可約:解：（1）其中,由定理2.5.1, 在中不可約.（2）其中，由定理2.5.3，在中不

11、可約.（3），5整除其余各項系數，其中，因為的系數全為正數，所以的有理根只可能為負數，設是的有理根，則，所以均不是整式，所以無有理根，由定理2.5.4，在中不可約。4. 兩類特殊不可約多項式的判定4.1 奇次不可約多項式的判定 定理4.1.1 對于整系數奇次多項式 若存在素數使得 （1） （2） （3） （4）那么，在有理數域上不可約。4.2 系數為1的不可約多項式的判定 定理4.2.1 已知是系數為1的多項式。當為奇數時，在上可約；當為偶數時，如果為合數，在上可約，如果為素數，在上不可約。推論4.2.2 已知是系數在的多項式 。當為奇數時，在上可約； 當為偶數時，如果為合數，在上可約，如果為

12、素數，在上不可約。推論4.2.3已知是系數在的多項式 。當為奇數時，在上可約；當為偶數時，如果為合數，在上可約。5. 不可約多項式的應用5.1 不可約多項式在重因式中的應用定義5.1.1 不可約多項式稱為多項式的重因式，如果，而。如果，那么根本不是的因式；如果，那么稱為的單因素；如果，那么稱為的重因式。如果的標準分解式為那么分別是的重，重，重因式。定理5.1.2 如果不可約多項式是的重因式，那么它是微商的重因式。推論5.1.3 如果不可約多項式是的重因式，那么是的因式，但不是的因式。推論5.1.4 不可約多項式是的重因式的充分必要條件為是與的公因式。作為重因式的概念定義的基礎，不可約多項式的應

13、用從此可見一斑。5.2 不可約多項式在多項式互素中的應用定理5.2.1 中兩個多項式互素的充要條件是有中的多項式使。定理5.2.2 如果,且,那么。例7 證明：如果，那么解：假設，則一定存在不可約多項式使得|和|又因為不可約，則有|或|這樣或，與條件矛盾。所以例8 設都是多項式，而且。求證：。解:假設，則存在不可約多項式，使得和,又因為不可約，故存在，使得,則有這與條件矛盾，故例9 證明：如果，那么。解: 假設，則存在不可約多項式使得和又因為不可約，則有|或|。不妨設|，由|和可得：|所以，|，|同時成立，即：這與條件矛盾，故有。6. 結 論 本文通過相關資料的收集與整理，對有理數域上不可約多項式的判定方法做了整理和歸納。對一般的多項式給出了克羅內克（Kronecker）判別法、艾森斯坦(Eisenstein)判別法、Perron判別法、Brown判別法、沒有有理因式的判別法、模約化判別法(為素數)。其中艾森斯坦(Eisenstein)判別法是最為經典實用的方法，也是現行課本中的判別法。但有其一定的局限性。 對于克羅內克（Kronecker）判別法，其大多依賴于計算機，實用不大。Perron判別法和Brown判別法為國外引進方法，我國數學學者在其有一定的研究基礎。模約化判別法(為素數)是我國提出來的應用抽象代數