1、數列求和的基本方法和技巧（配以相應的練習）一、總論：數列求和7種方法：利用等差、等比數列求和公式錯位相減法求和反序相加法求和分組相加法求和裂項消去法求和分段求和法（合并法求和） 利用數列通項法求和二、等差數列求和的方法是逆序相加法，等比數列的求和方法是錯位相減 法，三、逆序相加法、錯位相減法是數列求和的二個基本方法。數列是高中代數的重要內容，又是學習高等數學的基礎.在高考和各種數學競賽中都占有重要的地位 數列求和是數列的重要內容之一，除了等差數列和等比數列有求和公式外，大部分數列的求和都需要一定 的技巧.下面，就幾個歷屆高考數學和數學競賽試題來談談數列求和的基本方法和技巧、利用常用求和公式求和

2、21、等差數列求和公式：Snn(a1 an)2na12、等比數列求和公式：Sna1(1 qn)1 qn1 ,1)3、Snkn(n4k 125、Snnk31二 n(n1)2k 12例1已知log1求X x23 Xlog2 3利用下列常用求和公式求和是數列求和的最基本最重要的方法n(n na121)d(q 1)a1a.q(q1)1 q、Snnk2k 111n(n 1)(2n1)63nxx的前n項和.解：由log3 x1log 2 3log 3 xlog 32由等比數列求和公式得2Sn X X（利用常用公式）例 2設 S= 1+2+3+n, n N,求 f (n)解：由等差數列求和公式得SnSnf(

3、門)(n 32) Sn 11""64n 34 -nx(1 xn)1 x2(i丄)卍=1 -丄1 1 2n2Sn(n 32)Sn 12n（n 1），nn2 34n 6450的最大值.Sn501-(n 1)( n 2)2（利用常用公式） 8二當n ，即n= 8時，f (n)V8max150解：原式 =答案2223.2題 2.右 1 +2 + +(n-1) =an+bn+cn,貝U a=,b=,c=二、錯位相減法求和這種方法是在推導等比數列的前n項和公式時所用的方法，這種方法主要用于求數列項和，其中 a n 、 b n 分別是等差數列和等比數列 例 3求和：Sn 1 3x 5x2

4、 7x3(2n 1)xn 1解：由題可知， (2n 1)xn1的通項是等差數列2n 1的通項與等比數列 xn設 xSn 1x 3x2 5x3 7x4(2n 1)xn2xn 1(2n1)xna n bn的前 n的通項之積(設制錯位)(錯位相減)一得(1 x)Sn 1 2x 2x2 2x3 2x4(2n1)xn再利用等比數列的求和公式得:n 11 x(1 x)Sn 1 2x -1 xSn(2n 1)xn 1(2n1)xn (1 x)(1 x)2解:由題可知,設Sn2Sn2 1 23 1曰 2n4224一得（1練習題1 已知答案:2n2前n項的和.1的通項是等差數列2n的通項與等比數列厶的通項之積

5、2n1)Sn2_6_236尹22Sn2歹12 n 1n 22n孑2n盯2 2T3 T42 22n2* 12 2nnn 12 2，求數列 an的前（設制錯位）（錯位相減）n項和S.練習題 2的前 n 項和為 答案：、反序相加法求和這是推導等差數列的前 n 項和公式時所用的方法，就是將一個數列倒過來排列（反序），再把它與原數列相加，就可以得到n 個(a1an).例5 求證： Cn03Cn15Cn2(2n 1)Cnn(n 1)2n證明： 設 SnCn03C1n5Cn2(2ni)cn .把式右邊倒轉過來得Sn(2n1)Cnn (2n1)Cnn 13Cn1c0 cn又由m CnnmCn可得Sn(2n1)

6、Cn0 (2n1)Cn13cnn1cnCn .反序）+得 2Sn01(2n2)(Cn0C1nCnn 1CnCnn )2(nn1) 2n（反序相加）Sn(n 1)2n22例 6求 sin 1 sin 22sin 32sin 882sin 89的值解：設 S sin 21sin 2 2sin 23sin 288sin 89 . 將式右邊反序得S sin289sin 2882sin3sin 2 2sin21 . （反序）又因為 sinxcos(90x),sin 2 x2cos x 1 +得（反序相加）2S (sin21cos21 ) (sin2 2cos2 2 ) (sin289cos2 89 )

7、= 89S =題 1 已知函數1）證明：的值.=右邊（2）求解：（ 1）先利用指數的相關性質對函數化簡，后證明左邊（ 2）利用第（ 1）小題已經證明的結論可知，兩式相加得:所以練習、求值：四、分組法求和有一類數列，既不是等差數列，也不是等比數列，若將這類數列適當拆開，可分為幾個等差、等比或常見的數列，然后分別求和，再將其合并即可例7求數列的前n項和:111-14, 27,7L 3n2 :>aaa解：設Sn(1 1)(14)1(27)(；13n2)aaa將其每一項拆開再重新組合得Sn(1 112h) (1473n2)（分組）aaa當a=1時，Snn(3n1)n(3n1)n（分組求和）22當

8、a 1時，Sn(3n 1)n_2(3n 1)n2例8求數列n（n+1）（2n+1）的前n項和.解：設 akk(k 1)(2k 1) 2k3 3k2 kn Snk(k 1)(2k1)k 1n=(k 12k3將其每項拆開冉重新組合得nnns= 2k3 3 k2kk 1k 1k 1=2(1323n3)3(1222n2(n 1)2 n(n1)(2n1)2223k k)（分組）n2) (1 2n)n(n 1)（分組求和）2五、裂項法求和2n(n 1) (n 2)2這是分解與組合思想在數列求和中的具體應用.裂項法的實質是將數列中的每項（通項）分解，然后重新組合，使之能消去一些項，最終達到求和的目的.通項分

9、解（裂項）如:(1)anf(n 1)f(n)(2)sin 1cos n cos(n 1)tan(n 1) tan n(3)an1n(n 1)(4)an(2n )2(2n 1)(2 n1)2n 1)(5)ann(n 1)( n 2)2 n(n 1)(nann 21n(n 1) 2n2(n1) nn(n 1)12n(7)an(8)an1n 1nn 2 (n 1)2'則 $1 (n 1)2"(An B)(An C) C B、An B An C)- .n 1. n.n n 11111111 1例9 求數列, 的前n項和.1邁忑43蘇R解：設an.n（裂項）例 10例 11解:則Sn=

10、C.2,1)在數列an中,解:an（裂項求和）(.3,2)七，又bnan2，求數列b n的前n項的和.1n 12n n 12（裂項）數列b n的前n項和Sn8(1=8(11 12)(2)=n 113)8nn 11(314)（裂項求和）111cos1cosO cos1cos1 cos 2cos88 cos89.2 .sin 1111cosO cos1cos1 cos2cos88 cos89si n1tan(n 1) tan nsn cos(n 1)111cos0 cos1cos1 cos2cos88 cos891(ta n 1tan 0 ) (tan 2tan1 ) (tan 3tan 2 )s

11、in 11丄c、1cos1(tan 89tan 0 )=cot1 = . 2dsin 1sin 1sin21設S- S求證tan 89原等式成立（裂項）（裂項求和）tan 88 答案：練習題1.練習題2。答案：六、分段求和法(合并法求和)針對一些特殊的數列，將某些項合并在一起就具有某種特殊的性質，因此，在求數列的和時，可將這 些項放在一起先求和，然后再求Sn.例 12 求 cosl ° + cos2 ° + cos3 ° + + cos178 ° + cos179 ° 的值.解：設 S= cosl ° + cos2 ° +

12、cos3 ° + + cos178 ° + cos179 ° cosn cos(180 n )(找特殊性質項) S=(cos1 ° + cos179 ) + ( cos2 ° + cos178 ) +( cos3 ° + cos177 ) + +( cos89 ° + cos91 °) + cos90 °(合并求和)=0例 13數列an: a1 1,a23,a3 2, an 2 an 1 an，求 S2002.解：設 S2oo2= a1 a2 a3a2002由 a11, a23,a32, an 2 an

13、1 an 可得a41, a53, a62,a71,a83,a92, a101, a113, a122,a6k 1 a6k 2 a6k 3 a6k 4 a6k 5 a6k 60找特殊性質項）a6k 11, a6k 23, a6k 32, a6k 41, a6k 53, a6k 62Soo2= aia2a3a2002合并求和）例 14=(a1a 2a3a6)(a7a8a12)(a6k 1a6k 2a6k 6)(a1993a1994a1998 )a1999a2000a 2001 a2002=ai999a 2000a2001a2002=a6k 1a 6k 2a6k 3a6k4=5在各項均為正數的等比數

14、列中，若a5a69,求 log3 a1log 3a2log 3 aio 的值.解：設 Snlog 3 a1log 3 a2log 3a10由等比數列的性質m n pqa m a na paq（找特殊性質項）和對數的運算性質logaMlogaNloga M N得Sn(log 3 a1log3 a10 ) (log 3 a2log3 a9 )(log 3 a5log 3 a6）（合并求和）= (log 3 a1 a10 )(log 3 a2 a9 )(log 3 a5a6)=log 3 9 log 3 9 呱9=10練習、求和：D .2答案： 2 .練習題 2 .若 S=1-2+3-4+ +(-1

15、) n-1 n,貝U 817+833+ S 50等于()答案:解：對前n項和要分奇偶分別解決，即： S=A練習題 31002-99 2+982-97 2+F-12 的值是解：并項求和，每兩項合并，原式=(100+99)+(98+97)+ +(2+1)=5050.答案：B七、利用數列的通項求和先根據數列的結構及特征進行分析，找出數列的通項及其特征，然后再利用數列的通項揭示的規律來 求數列的前n項和，是一個重要的方法.例 15求 1 11 1111111 之和.n個 1解：由于111119999丄(忖1)(找通項及特征)k個 19k個 19 1 11 111111 1n個11 1=-(101 1)

16、91 2(102 1)913(103 1)9(10n 1)9(分組求和)1 1 2=-(101 10210310n)丄(1 111)99n個11 10(10n 1) n910 191n 1=(1010 9n)8(n 1)(n1)(an81解：(n 1)(an an 1)8(n1)-(n11)(n1 3) (n 2)( n 4)（找通項及特征）=8 11 （設制分組）(n 2)(n4)(n 3)(n 4)=4 (-1 1 1)8( 一）（裂項）例16已知數列an: an3?求 m(nan 1 )的值.n2n4n 3 n41(n 1)(an an 1)4(丄）1 18 ( )（分組、裂項求和）n 1 n 2n 4n 1 n 3 n 4111=4 ()8344=133提高練習：1.已知數列an中，Sn是其前n項和，并且Sn1 4% 2（n 12川）,務1 ,設數列bn an 1 2an （n 1,2,），求證：數列bn是等比數