1、會計學1材料力學利用微分關系畫剪力彎矩圖材料力學利用微分關系畫剪力彎矩圖xyOxdx第1頁/共43頁考察考察dx微段的受力與平衡微段的受力與平衡q M x M xdM x( )SFx( )( )SSFxdFxx第2頁/共43頁考察考察dx微段的受力與平衡微段的受力與平衡q M x M xdM x( )SF x( )( )SSF xdF xxdx規定規定q向上為正向上為正0:yF ( )( )( )0SSSF xqdxF xdF x( )SdF xqdx第3頁/共43頁0:CM ( )( )/ 2( )( )0SM xdM xqdx dxM xF x dxq M x M xdM x( )SF x

2、( )( )SSF xdF xxdx( )( )SdM xF xdx略去高階項，得到略去高階項，得到第4頁/共43頁q M x M xdM x( )SF x( )( )SSF xdF xxdx( )SdFxqdx( )( )SdM xF xdx22( )d M xqdx平衡微分方程的含義：平衡微分方程的含義：（1 1） 數學含義數學含義（2 2） 力學含義力學含義（3 3） 幾何含義幾何含義第5頁/共43頁第6頁/共43頁,Sq F M間的微分解析關系間的微分解析關系 22( )SSdFxq xdxdM xFxdxd M xq xdx第7頁/共43頁 ( )SSdFxq xdxdMxFxdxq

3、 M x M xdM x( )SF x( )( )SSF xdF xxdx第8頁/共43頁截面平衡法：截面平衡法：由平衡方程求得剪力方程，彎矩方程由平衡方程求得剪力方程，彎矩方程 5( )8SqlF xqx225( )288qqlqlMxxx AyF( )SF xl/2q M xx第9頁/共43頁第10頁/共43頁剪力圖在某一點處斜率等于對應截面處的載荷集度: ( )SdFxq xdx彎矩圖在某一點處斜率等于對應截面處剪力: SdM xFxdx第11頁/共43頁外力外力無外力段無外力段q=0水平直線水平直線0SF xx0SF 斜直線斜直線SF特征圖特征圖M特征圖特征圖增函數增函數x減函數減函數

4、x ( )SSdFxq xdxdM xFxdx第12頁/共43頁均布載荷段均布載荷段q0q0,凹曲線; q0,上斜；上斜；Fs0處處,M 圖凹圖凹; q0, 上斜上斜;q0,下斜下斜 集中力集中力F 處處, Fs按按F 大小大小, 方向跳方向跳 各段起終點各段起終點Fs值值=q 圖左邊面積圖左邊面積+集中力值集中力值(含支反力含支反力)校核校核: 兩圖右邊回零點兩圖右邊回零點.線形看微分，段值看積分。線形看微分，段值看積分。第22頁/共43頁第23頁/共43頁 組合梁的內力分析：組合梁的內力分析：2FaF2FaF1F2FF1F2梁間鉸可以傳遞剪力，不能傳遞力偶矩。 梁間角梁間角第24頁/共43

5、頁 第25頁/共43頁FF(1)(2)若梁的橫截面積相同若梁的橫截面積相同(1)，(2)兩種情況那種兩種情況那種情況對梁承載有利情況對梁承載有利？第26頁/共43頁 歷史回顧歷史回顧伽利略伽利略像像第27頁/共43頁伽利略指出：伽利略指出： 如果桿件斷裂，斷口將發如果桿件斷裂，斷口將發 生在生在B部位，部位，原因：原因：固接的邊緣充當施力固接的邊緣充當施力杠桿杠桿BCBC的支點，而桿的厚度的支點，而桿的厚度BABA則是杠桿的另一臂，沿則是杠桿的另一臂，沿BABA作用有抗力。此抗力阻止墻作用有抗力。此抗力阻止墻內部分與墻外部分內部分與墻外部分BDBD分離分離PBCA()2hbhP l 2222P

6、 lMbhbh 第28頁/共43頁 馬略特的研究：馬略特的研究： 馬略特作了伽利略所作的實驗馬略特作了伽利略所作的實驗 發現有的纖維拉伸，有的纖維壓縮發現有的纖維拉伸，有的纖維壓縮PBCA2233P lMbhbh 假定斷裂時梁的懸臂段繞假定斷裂時梁的懸臂段繞B B旋轉，并得出縱向纖維所旋轉，并得出縱向纖維所 受的拉力與其到受的拉力與其到B B的距離成正比的結論。的距離成正比的結論。PBCA2233P lMbhbh 26P lbh 第29頁/共43頁對稱彎曲：對稱彎曲：第30頁/共43頁彎曲正應力彎曲切應力 dA dAFSM 梁梁彎曲時橫截面上的應力彎曲時橫截面上的應力彎曲正應力彎曲正應力M 彎

7、曲切應彎曲切應力力SF MsF第31頁/共43頁 橫截面上的內力與應力的關系：橫截面上的內力與應力的關系：AMydA 彎曲應力問題是一個彎曲應力問題是一個靜不定問題靜不定問題 研究思路研究思路 幾何、物理、靜力學幾何、物理、靜力學三方面分析三方面分析觀察觀察外部外部變形變形方法：方法：假設假設內部內部變形變形建立幾何方程建立幾何方程第32頁/共43頁觀察外部現象：觀察結果：觀察結果：橫線：橫線：仍為直線仍為直線仍與縱線正交仍與縱線正交兩橫線相對轉動兩橫線相對轉動縱線：縱線：變為曲線變為曲線上縮短，下伸上縮短，下伸長長橫截面：橫截面：上寬度變寬，上寬度變寬， 下寬度變窄。下寬度變窄。1、平面假設

8、：、平面假設： 變形后，橫截面仍為平面，變形后，橫截面仍為平面， 且仍與縱線正交且仍與縱線正交2、單向受力假設：、單向受力假設： 梁內各縱向纖維僅受軸向應力梁內各縱向纖維僅受軸向應力內部變形內部變形一、實驗觀測與假設一、實驗觀測與假設第33頁/共43頁 推論推論：一側伸長，一側縮短一側伸長，一側縮短存在既不伸長，也不縮短的面存在既不伸長，也不縮短的面MM中性層中性層中性軸變形過程中橫截面繞中性軸相對轉動變形過程中橫截面繞中性軸相對轉動第34頁/共43頁1. 幾何方面考察線段ab的變形：ab dxd 變形前：變形后：()aby d ababyd ydydxd yz中性軸二、彎曲正應力一般公式da

9、bdx中性層aby幾何方程第35頁/共43頁2 2、物理方面物理方面：由胡克定律和單向受力假設：由胡克定律和單向受力假設：yEE y y 偏離中性軸的坐標值偏離中性軸的坐標值 中性層的曲率半徑中性層的曲率半徑中性軸位置？的大小?yE 有關中性軸位置的歷史討論：有關中性軸位置的歷史討論： 在伽利略梁應力分析模型中不存在中性軸；在伽利略梁應力分析模型中不存在中性軸； 馬略特的梁應力分析模型馬略特的梁應力分析模型: :由于計算錯誤，中由于計算錯誤，中性軸性軸位于位于 截面的下邊緣或位于截面中間得到了相同的結果；截面的下邊緣或位于截面中間得到了相同的結果；第36頁/共43頁 17001700年左右雅各

10、布年左右雅各布. .伯努利認為自己首先發現梁彎曲時伯努利認為自己首先發現梁彎曲時一一 邊受拉、另一邊受壓，但無法確定中性軸的位置。最后邊受拉、另一邊受壓，但無法確定中性軸的位置。最后 提出提出“中性軸位置無關緊要中性軸位置無關緊要”的結論。的結論。 17131713年法國學者帕倫假定中性軸不通過截面型心，橫截年法國學者帕倫假定中性軸不通過截面型心，橫截面面 上拉力和壓力呈不同的三角形分布。但他認識到了截面上拉力和壓力呈不同的三角形分布。但他認識到了截面上上 的內力必須與載荷平衡。的內力必須與載荷平衡。 18191819年，納維提出可以由橫截面上的拉力對中性軸的力年，納維提出可以由橫截面上的拉力

11、對中性軸的力 矩等于壓力對該軸的力矩的條件來確定中性軸的位置。矩等于壓力對該軸的力矩的條件來確定中性軸的位置。 18261826年，納維應用靜力學三個平衡方程，得出了正確的年，納維應用靜力學三個平衡方程，得出了正確的 結論。結論。第37頁/共43頁3 3、靜力學方面靜力學方面：0AdA AydAM M dA0AydA 確定中性軸位置確定中性層的曲率半徑2AEy dAM 1zMEI 2zAIy dA 定義定義y yE 第38頁/共43頁y yE 1zMEI 結結 論論：zMyI 應力分布應力分布c,maxt,maxmaxmaxmax/zzMyMIIy zzIWy 定義定義maxzMW 截面抗彎系數兩種典型截面兩種典型截面的抗彎截面系的抗彎截面系數數矩形截面：矩形截面：26zbhW 圓截面：圓截面：332zdW 第39頁/共43頁三、最大彎曲正應力zM yI maxmaxmax/zzMyMIIy zzIWy 定義maxzMW （抗彎截面系數）正應力沿截面如何分布？正應力沿截面如何分布？第40頁/共43頁 34132D 464D 44164D 332D 3112bh216bh截面截面zIzWDzyoDzyodhzyob()d D 典型截面的慣