1、3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質第三章第三章 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 晶格振動的研究晶格振動的研究 晶體的熱學性質晶體的熱學性質 固體熱容量固體熱容量 熱運動是晶體宏觀性質的表現熱運動是晶體宏觀性質的表現 杜隆珀替經驗規律杜隆珀替經驗規律 一摩爾固體有一摩爾固體有N個原子，有個原子，有3N個振動自由度，按能個振動自由度，按能 量均分定律，每個自由度平均熱能為量均分定律，每個自由度平均熱能為kT摩爾熱容量摩爾熱容量()VTECT3ENkT總的內能總的內能3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正

2、坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動晶格振動 研究固體宏觀性質和微觀過程的重要基礎研究固體宏觀性質和微觀過程的重要基礎晶格振動晶格振動 晶體的熱學性質、電學性質、光學性質、超晶體的熱學性質、電學性質、光學性質、超 導電性、磁性、結構相變有密切關系導電性、磁性、結構相變有密切關系 實驗表明較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降實驗表明較低溫度下，熱容量隨著溫度的降低而下降摩爾熱容量摩爾熱容量 與溫度無關與溫度無關33VCNkR 杜隆珀替經驗規律杜隆珀替經驗規律3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質3-1 簡

3、諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 簡諧近似簡諧近似 只考慮最近鄰原子之間的相互作用只考慮最近鄰原子之間的相互作用)(tn研究對象研究對象 由由N個質量為個質量為m的原子組成的晶體的原子組成的晶體偏離平衡位置的位移矢量偏離平衡位置的位移矢量原子的位置原子的位置( )nnnRRt(1, 2, 3)niinR第第n個原子的平衡位置個原子的平衡位置3個方向上的分量個方向上的分量原子位移宗量原子位移宗量3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質( )itN個原子的位移矢量個原子的位移矢量)3, 43, 2, 1(Nii 體系的勢能函數在平衡位

4、置按泰勒級數展開體系的勢能函數在平衡位置按泰勒級數展開NjijijiNiiiitemsHighVVVV31,023100)(21)(取取00V平衡位置平衡位置0)(0iV 不計高階項不計高階項系統的勢能函數系統的勢能函數230,11()2Niji jijVV 3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質系統的哈密頓量系統的哈密頓量NjijijiNiiiVmH31,02312)(2121系統的勢能函數系統的勢能函數NjijijiVV31,02)(21系統的動能函數系統的動能函數NiiimT31221 含有坐標的交叉項含有坐標的交叉項3-1

5、 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質引入簡正坐標引入簡正坐標NQQQQ3321, 原子的坐標和簡正坐標通過正交變換聯系起來原子的坐標和簡正坐標通過正交變換聯系起來31Niiijjjma Q 假設存在線性變換假設存在線性變換系統的哈密頓量系統的哈密頓量NiiiNiiQQH31223122121拉格朗日函數拉格朗日函數NiiiNiiQQVTL31223122121正則動量正則動量iiiQQLp32112NiiTQ 322112NiiiVQ 3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性

6、質系統的哈密頓量系統的哈密頓量NiiiNiiQpH31223122121正則方程正則方程iiHpQ 3N個獨立無關的方程個獨立無關的方程20,1, 2, 3,3iiiQQiN簡正坐標方程解簡正坐標方程解sin()iiQAt簡正振動簡正振動 所有原子參與的振動，振動頻率相同所有原子參與的振動，振動頻率相同 振動模振動模 簡正坐標代表所有原子共同參與的一個振動簡正坐標代表所有原子共同參與的一個振動iiiQQLp正則動量正則動量3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質只考察某一個振動模只考察某一個振動模)sin(tAmaQmajiijji

7、ijiNjjijiiQam31系統能量本征值計算系統能量本征值計算正則動量算符正則動量算符iiQip系統薛定諤方程系統薛定諤方程),(),()2121(31313122312NNNiiiNiiQQEQQQpsin()jjQAt3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質),(),()(213131312231222NNNiiiNiiQQEQQQQ任意一個簡正坐標任意一個簡正坐標)()(2122222iiiiiiQQQQ 諧振子方程諧振子方程能量本征值能量本征值iiin)21(本征態函數本征態函數)()2exp()(2iiniinHQ/i

8、iQ)(inH 厄密多項式厄密多項式3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質NiiiNiinE3131)21(NiinNQQQQQi313321)(),(系統能量本征值系統能量本征值系統本征態函數系統本征態函數)()2exp()(2iiniinHQN個原子組成的晶體個原子組成的晶體),(),()(213131312231222NNNiiiNiiQQEQQQQ系統薛定諤方程系統薛定諤方程3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱

9、學性質3-2 一維單原子鏈一維單原子鏈 絕熱近似絕熱近似 用一個均勻分布的負電荷產生的常量勢場來用一個均勻分布的負電荷產生的常量勢場來 描述電子對離子運動的影響描述電子對離子運動的影響晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式晶格具有周期性，晶格的振動具有波的形式 格波格波格波的研究格波的研究 先計算原子之間的相互作用力先計算原子之間的相互作用力 根據牛頓定律寫出原子運動方程，最后求解方程根據牛頓定律寫出原子運動方程，最后求解方程 將電子的運動和離子的運動分開將電子的運動和離子的運動分開 3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶

10、格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質一維無限原子鏈一維無限原子鏈 每個原子質量每個原子質量m，平衡時原子間距，平衡時原子間距a 原子之間的作用力原子之間的作用力 第第n個原子離開平個原子離開平 衡位置的位移衡位置的位移n 第第n個原子和第個原子和第n1個個 原子間的相對位移原子間的相對位移nn1第第n個原子和第個原子和第n1個原子間的距離個原子間的距離nna13-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質2221()( )()()2aadvd vv av aHigh item

11、sdrdr 平衡位置時，兩個原子間的互作用勢能平衡位置時，兩個原子間的互作用勢能)(av)(av發生相對位移發生相對位移 后，相互作用勢能后，相互作用勢能nn1 常數常數)(av0)(adrdv 平衡條件平衡條件3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質簡諧近似簡諧近似 振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項振動很微弱，勢能展式中只保留到二階項dvfd adrvd)(22相鄰原子間的作用力相鄰原子間的作用力 恢復力常數恢復力常數2221()( )()()2aadvd vv av aH

12、igh itemsdrdr 3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質原子的運動方程原子的運動方程 只考慮相鄰原子的作用，第只考慮相鄰原子的作用，第n個原子受到的作用力個原子受到的作用力)2()()(1111nnnnnnn第第n個原子的運動方程個原子的運動方程2112(2)(1, 2, 3,)nnnndmdtnN 每一個原子運動方程類似每一個原子運動方程類似 方程的數目和原子數相同方程的數目和原子數相同3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和

13、簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質方程解和振動頻率方程解和振動頻率 )2(1122nnnndtdm設方程組的解設方程組的解)(naqtinAenaq 第第n個原子振動相位因子個原子振動相位因子(1)1(1)1itnaqnitnaqnAeAe)2(2iaqiaqeem得到得到224sin ()2aqm應用三角公式應用三角公式3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質()it naqnAe 連續介質中的機械波連續介質中的機械波(2)()xiti

14、t qxyAeAe波數波數2q 格波方程格波方程格波的意義格波的意義晶體中的格波晶體中的格波2(2/ )naitqnAe2q 格波和連續介質波具有完全類似的形式格波和連續介質波具有完全類似的形式 一個格波表示的是所有原子同時做頻率為一個格波表示的是所有原子同時做頻率為 的振動的振動波長波長3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 格波的波形圖格波的波形圖 簡諧近似下，格波是簡諧平面波簡諧近似下，格波是簡諧平面波()it naqnAe 向上的箭頭代表向上的箭頭代表原子沿原子沿X軸向

15、右振動軸向右振動 向下的箭頭代表向下的箭頭代表原子沿原子沿X軸向左振動軸向左振動3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質格波波長格波波長)(naqtinAe2q格波波矢格波波矢2qn格波相速度格波相速度qvp不同原子間相位差不同原子間相位差aqnnnaqaqn)(格波方程格波方程相鄰原子的相位差相鄰原子的相位差aqnaqaqn ) 1(3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體

16、的熱學性質波矢的取值波矢的取值和和布里淵區布里淵區)(naqtinAe格波格波相鄰原子相位差相鄰原子相位差aqaq2 原子的振動狀態相同原子的振動狀態相同格波格波1的波矢的波矢aaq2421相鄰原子相位差相鄰原子相位差12aq3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質)(naqtinAe格波格波格波格波2的波矢的波矢aaq255/422222aq相鄰原子的位相差相鄰原子的位相差1/2aq 兩種波矢兩種波矢q1和和q2的格波中，原子的振動完全相同的格波中，原子的振動完全相同3-2 3

17、-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質aqqaa21aq222aq波矢的取值波矢的取值 相鄰原子的相位差取值相鄰原子的相位差取值 第一布里淵區第一布里淵區 只研究清楚第一布里淵區的晶格振動問題只研究清楚第一布里淵區的晶格振動問題 其它區域不能提供新的物理內容其它區域不能提供新的物理內容3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質玻恩卡門（玻恩卡門（Born-Karman）周期性

18、邊界條件）周期性邊界條件 一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每一維單原子晶格看作無限長，所有原子是等價的，每 個原子的振動形式都一樣個原子的振動形式都一樣 實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭實際的晶體為有限，形成的鏈不是無窮長，鏈兩頭 的原子不能用中間原子的運動方程來描述的原子不能用中間原子的運動方程來描述3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 N個原子頭尾相接形成環鏈，保持所有原子等價特點個原子頭尾相接形成環鏈，保持所有原子等價特點 處理問題時考慮處理問題

19、時考慮 到環鏈的循環性到環鏈的循環性 N很大，原子運動近似為直線運動很大，原子運動近似為直線運動設第設第n個原子的位移個原子的位移n再增加再增加N個原子之后個原子之后第第N+n個原子的位移個原子的位移nN3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質則有則有nnN)(naqtiaqnNtiAeAe要求要求1iNaqehNaq22, 12, 22, 0, 32, 22, 12NNNNNNh2qhNa h為整數為整數波矢的取值范圍波矢的取值范圍aqa3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與

20、晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質22NNh2a 2/2/aNNa h N個整數值，波矢個整數值，波矢q 取取N個不同的分立值個不同的分立值 第一布里淵區包含第一布里淵區包含N個狀態個狀態每個波矢在第一布里淵區占的線度每個波矢在第一布里淵區占的線度2qNa 第一布里淵區的線度第一布里淵區的線度第一布里淵區狀態數第一布里淵區狀態數2qhNa 波矢波矢3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質格波的色散關

21、系格波的色散關系)2(sin422aqm2sin()2aqm 頻率是波數的偶函數頻率是波數的偶函數格波相速度格波相速度qvp 不同波長的格波傳播速度不同不同波長的格波傳播速度不同 色散關系色散關系 q3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 q空間的周期空間的周期頻率極小值頻率極小值min0 頻率極大值頻率極大值max2/ m 0qa02/m只有頻率在只有頻率在 之間的格波才能在晶體中傳播，之間的格波才能在晶體中傳播，其它頻率的格波被強烈衰減其它頻率的格波被強烈衰減02/m)2s

22、in(2aqm色散關系色散關系2a3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質格波格波 長波極限長波極限情況情況 0,qa0q當當)2sin(2aqm/am q 格波的色散關系與連續介質中彈性波的一致格波的色散關系與連續介質中彈性波的一致2)2sin(qaqaElasticVq /ElasticVam 3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質格波格波 短波極限短波極限情

23、情況況qa2/sin()2aqmmax2/m 格波的色散關系與連續介質中彈性波的不一致格波的色散關系與連續介質中彈性波的不一致 不同頻率的格波傳播速度不同不同頻率的格波傳播速度不同3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質長波極限下長波極限下0) 1(qaqnaanq短波極限下短波極限下/qa2 /2qa0q 相鄰兩個原子振動相位差相鄰兩個原子振動相位差2/q 晶格可看作是連續介質晶格可看作是連續介質 相鄰原子的振動相位相反相鄰原子的振動相位相反3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振

24、動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質原子位移和簡正坐標的關系原子位移和簡正坐標的關系 第第q個格波引起第個格波引起第n個原子位移個原子位移)(naqtiqnqqeA第第n個原子總的位移個原子總的位移qnaqtiqqnqnqeA)(qinaqqneQNm1令令1inaqnqqmeQNqitqqQNmA e 3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質原子坐標和簡正坐標的變換原子坐標和簡正坐標的變換31N

25、nnjjjma Q 線性變換為么正變換線性變換為么正變換1inaqnqaeN*nqnqaanqnjaaq 有有3N個取值個取值nnqqqma Q1inaqnqqmeQN3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質動能和勢能的形式動能和勢能的形式 )()(*qQqQinaqeN1 N項獨立的模式項獨立的模式動能的正則坐標表示動能的正則坐標表示nnmT221212qqTQ 勢能的正則坐標表示勢能的正則坐標表示nnnU21)(211(), 01Nina q qq qneNqinaqqneQ

26、Nm1原子位移原子位移 為實數為實數 正交性正交性3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質勢能勢能qinaqqneQNm1)1(11qaqniqneQNmnnnU21)(211()(), 011()2Nia q qiaqiaqina q qqqq qnUQ QeeeemN 22qiaqiaqqqeeQQmU1cos()qqqQ Qaqm3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體

27、的熱學性質 )cos(1*qqqaqQQmU將將 代入得到代入得到)cos(122aqmqqqqqQQU*2122212qqqUQ 哈密頓量哈密頓量2221()2qqqqHTUQQ 系統復數形式的簡正坐標系統復數形式的簡正坐標qitqqQNmA e 系統勢能系統勢能3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質)()(21)(qibqaqQ)()(21)(*qibqaqQqqQT2212221qqqQU2201( )( )2qTaqb q 實數形式的簡正坐標實數形式的簡正坐標令令222

28、01( )( )2qqUaqb q 哈密頓量哈密頓量222220011( )( )( )( )22qqqHaqb qaqb q 3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質能量本征值能量本征值1()2qnqqn 聲子聲子 晶格振動的能量量子；或格波的能量量子晶格振動的能量量子；或格波的能量量子q當這種振動模處于當這種振動模處于 時，說明有時，說明有 個聲子個聲子qqn)21(qn2()/exp()( )2qqnqqnQH 本征態函數本征態函數 一個簡正坐標對應一個諧振子方程，波函數是

29、以簡正一個簡正坐標對應一個諧振子方程，波函數是以簡正 坐標為宗量的諧振子波函數坐標為宗量的諧振子波函數 3-2 3-2 一維單原子鏈 晶格振動與晶體的熱學性質3-1 3-1 簡諧近似和簡正坐標簡諧近似和簡正坐標 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 聲子是一種元激發，可與電子或光子發生作用聲子是一種元激發，可與電子或光子發生作用 晶格振動的問題晶格振動的問題 聲子系統問題的研究聲子系統問題的研究 每個振動模式在簡諧近似條件下都是獨立的每個振動模式在簡諧近似條件下都是獨立的 聲子系綜是無相互作用的聲子氣組成的系統聲子系綜是無相互作用的聲子氣組成的系統 聲子具有能量聲子具有能量_動量，

30、看作是準粒子動量，看作是準粒子晶格振動晶格振動 聲子體系聲子體系3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質3-3 一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 一維復式格子的情形一維復式格子的情形 一維無限長鏈一維無限長鏈 兩種原子兩種原子m和和M _( M m) _ 構成一維復式格子構成一維復式格子 M原子位于原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 m原子位于原子位于2n， 2n+2， 2n+4 系統有系統有N個原胞個原胞 同種原子間的距同種原子間的距離離2a_晶格常數晶格常數3-33-3一維雙原子鏈一維雙

31、原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質2121222(2)nnnnM (2) (21)221itna qitnaqnnAeandBe N個原胞，有個原胞，有2N個獨立的方程個獨立的方程 兩種原子振兩種原子振動的振幅動的振幅A和和B一一般來說是不同的般來說是不同的 第第2n+1個個M原子的方程原子的方程222121(2)nnnnm 第第2n個個m原子的方程原子的方程方程解的形式方程解的形式3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質)12(12)2(2aqntinqnatinB

32、eAe22(2)(2cos)0(2cos)(2)0mAaq Baq AMB A、B有非零的解，系數行列式為零有非零的解，系數行列式為零2121222222121(2)(2)nnnnnnnnMm 第第2n+1個個M原子原子 第第2n個個m原子原子方程的解方程的解3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質02cos2cos2222Maqaqm221/22()411sin()mMmMaqmMmM 一維復式晶格中存在一維復式晶格中存在兩種獨立的格波兩種獨立的格波221/22()411sin()mMmMaqmMmM221/22()

33、41 1sin()mMmMaqmMmM3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質221/22()411sin()mMmMaqmMmM221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM 與與q之間存在著兩之間存在著兩 種不同的色散關系種不同的色散關系 一維復式格子存在一維復式格子存在 兩種獨立的格波兩種獨立的格波 光學波光學波 聲學波聲學波05/283-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質兩種格波的振幅兩種格波的振幅0)2()cos2(0)co

34、s2()2(22BMAaqBaqAmaqmABcos22)(2aqmABcos22)(2221/22()411sin()mMmMaqmMmM 光學波光學波 聲學波聲學波3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質相鄰原胞相位差相鄰原胞相位差 aq2)12(12)2(2aqntinqnatinBeAeM和和m原子方程原子方程q的取值的取值波矢波矢q的值的值aqa22 第一布里淵區第一布里淵區 布里淵區大小布里淵區大小周期性邊界條件周期性邊界條件nnNhaqN2)2(22aNhq a2aq3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈

35、聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質22aNhq Naq h為整數為整數每個波矢在第一布里淵區占的線度每個波矢在第一布里淵區占的線度第一布里淵區允許的第一布里淵區允許的q值的數目值的數目NNaa/ 晶體中的原胞數目晶體中的原胞數目 對應一個對應一個q有兩支格波：一支有兩支格波：一支聲學波聲學波和一支和一支光學波光學波 總的格波數目為總的格波數目為2N ： 原子的數目原子的數目: 2Nq的取值的取值3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質色散關系色散關系的特點的特點 短波極限短波

36、極限2qa 兩種格波的頻率兩種格波的頻率1/21/21/2max1/21/21/2min2()()()()()2()()()()()mMMmmMMmMMmmMm因為因為 Mmmaxmin)()(3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質maxmin)()(maxmin)()( 不存在格波不存在格波 頻率間隙頻率間隙10/283-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 兩種格波中兩種格波中m和和M原子振動振幅之比原子振動振幅之比aqmABcos22)

37、(2aqmABcos22)(2 光學波光學波 聲學波聲學波3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 m原子靜止不動，相鄰原子振動的相位相反原子靜止不動，相鄰原子振動的相位相反22()2cosBmAaq cos ()02aa()BA BA2qa 時時m和和M原子振動的振幅原子振動的振幅 聲學波聲學波1/2max2()()M 3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 光學波光學波22()2cosBmAaq cos ()02aa1/2min2()()

38、m()0BA M原子靜止不動，相鄰原子振動的相位相反原子靜止不動，相鄰原子振動的相位相反 BA3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質長波極限長波極限0q聲學波聲學波221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM0, 0q0, 0qaqmABcos22)(2()1BA 3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質0, 0qaqmABcos22)(21)(AB 原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方向一致原胞中的兩個原子振動的振幅相同，振動方

39、向一致 代表代表原胞質心的振動原胞質心的振動15/283-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質光學波光學波 長波極限長波極限0q221/22()41 1sin()mMmMaqmMmM1)(sin)(422aqMmmM2,mMmM3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質2,mMmMaqmABcos22)(2MmAB)( 長光學波同種原子振動相位一致，相鄰原子振動相反長光學波同種原子振動相位一致，相鄰原子振動相反 原胞質心保持不變的振動，原胞中原胞

40、質心保持不變的振動，原胞中原子之間相對運動原子之間相對運動3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 兩種格波中兩種格波中m和和M原子振動振幅之比原子振動振幅之比3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質131402()1010 /s 長光學波與電磁波的作用長光學波與電磁波的作用 在長波極限下，對于典型的在長波極限下，對于典型的 和和 值值 對應于遠紅外的光波對應于遠紅外的光波 遠紅外光波激發離子遠紅外光波激發離子 晶體，可引起晶體中晶體，可引起晶

41、體中 長光學波的共振吸收長光學波的共振吸收3-33-3一維雙原子鏈一維雙原子鏈 聲學波和光學波聲學波和光學波 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質光波的頻率光波的頻率0c q 波矢遠遠小于一般格波的波矢，只有波矢遠遠小于一般格波的波矢，只有 的長光學的長光學 波可以與遠紅外的光波發生共振吸收波可以與遠紅外的光波發生共振吸收0q 將可以與光波作將可以與光波作 用的長光學波聲用的長光學波聲 子稱為電磁聲子子稱為電磁聲子20/283-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質3.4 三維晶格的振動三維晶格的振動 三維復式格子三維復式格子各原

42、子偏離格點的位移各原子偏離格點的位移晶體的原胞數目晶體的原胞數目321NNNN 原子的質量原子的質量nmmmm,321第第l個原胞的位置個原胞的位置332211)(alalallR原胞中各原子的位置原胞中各原子的位置nlRlRlRlR,3,2,1nllll,3,2,1 一個原胞中有一個原胞中有n個原子個原子3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質第第k個原子運動方程個原子運動方程 klklmk23, 2, 1 原子在三個方向上的位移分量原子在三個方

43、向上的位移分量 一個原胞中有一個原胞中有3n個類似的方程個類似的方程原子位移方程的解原子位移方程的解qklRtikeAkl 將方程解代回將方程解代回3n個運動方程個運動方程3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質2,kkkkAkkqCAm;,;,;,222111nznynxzyxzyxAAAAAAAAA 3n個線性齊次方程個線性齊次方程 系數行列式為零條件，得到系數行列式為零條件，得到3n個個)3, 3, 2, 1(njj1, 2,3;1, 2, 3;1, 2,knk3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格

44、振動與晶體的熱學性質2,kkkkAkkqCAm 3n個線性齊次方程個線性齊次方程長波極限長波極限0q3個個qj 趨于一致趨于一致nAAAA,321 三個頻率對應的格波描述不同原胞之間的相對運動三個頻率對應的格波描述不同原胞之間的相對運動 3支聲學波支聲學波 3n3支長波極限的格波描述一個原胞中各原子間的相支長波極限的格波描述一個原胞中各原子間的相 對運動對運動 3n3支光學波支光學波3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質結論結論 晶體中一個原胞中有晶體中一個原胞中有n個原子組成個原子組成 有有3支聲學波和支聲學波和3n3支光學波支光學波波

45、矢波矢332211bxbxbxq 波矢空間的波矢空間的3個基矢個基矢321,bbb三維晶格中的波矢三維晶格中的波矢 倒格子基矢倒格子基矢123,xxx 3個系數個系數3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 1 12 23 3xyzlit Rx bkxkxlit Rx bkykylit Rx bkzkzlA eklA eklA ek 采用波恩卡曼邊界條件采用波恩卡曼邊界條件1 1 1 1122222333 332,2,2N a x bhN a x bhN a x bh 1 11 1()xlitN aRx bkkxA e 3 33 3()zl

46、itN aRx bkkzA e 2 22 2()ylitN aRx bkkyA e3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質11111 1 1122222222333333 33222hhxxN a bNhhxxN a bNhhxxN a bN333222111bNhbNhbNhq波矢波矢波矢空間一個點占據的體積波矢空間一個點占據的體積123123*()bbbVNNN*0vN 倒格子原胞體積倒格子原胞體積*0123()vbbb狀態密度狀態密度*0123()NNvbbb033(2 )(2 )NvV3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶

47、格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質波矢的取值波矢的取值_ h1h2h3 原子振動波函數原子振動波函數qlRie)(波矢改變一個倒格矢波矢改變一個倒格矢332211bnbnbnGnnGqqqlRiqGlRieen)()()(1 12233( )2 ()nR lGl nl nl nqklRtikeAkl 不同原胞之間相位聯系不同原胞之間相位聯系 原子振動狀態一樣原子振動狀態一樣3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質k的取值限制在一個倒格子原胞中的取值限制在一個倒格子原胞中 第一布里淵區第一布里淵區2211bqbx2222bqby2

48、233bqbz333222111bNhbNhbNhq11122NNh22222NhN22333NhN 個取值個取值321NNNN 111222333xyzhqbNhqbNhqbN3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質對應于一個波矢對應于一個波矢q 3支聲學波支聲學波和和3n3支光學波支光學波總的格波數目總的格波數目nNnN3) 333( 晶體中原子的坐標數目晶體中原子的坐標數目nNiiiqqnE31)(21)(晶格振動總的能量晶格振動總的能量)(qi 晶格振動能量量子晶格振動能量量子 聲子聲子_Phonon3-4 3-4 三維晶格的振動三

49、維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質二維布里淵區二維布里淵區 正方格子的布里淵區正方格子的布里淵區 正方格子的基矢正方格子的基矢12aaiaaj倒格子原胞基矢倒格子原胞基矢jabiab22213-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 第一布里淵區第一布里淵區倒格子空間離原點最近的四個倒格點倒格子空間離原點最近的四個倒格點1122,bbbb垂直平分線方程垂直平分線方程akakyx 第一布里淵區第一布里淵區大小大小2)2(a3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質

50、第二布里淵區第二布里淵區由由4個倒格點個倒格點12121212()()()()bbbbbbbb2)2(a 第二布里淵區大第二布里淵區大小小的垂直平分線和第一的垂直平分線和第一布里淵區邊界所圍成布里淵區邊界所圍成3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質由由4個倒格點個倒格點12122 ,22 ,2bbbb 第三布里淵區第三布里淵區2)2(a第三布里淵區大小第三布里淵區大小的垂直平分線和第二布的垂直平分線和第二布里淵區邊界邊界所圍成里淵區邊界邊界所圍成3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質

51、第一、第二和第三布里淵區第一、第二和第三布里淵區3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 正方格子其它布里淵區的形成正方格子其它布里淵區的形成 3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 二維斜格子的第一布里淵區二維斜格子的第一布里淵區3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 二維斜格子其它布里淵區的形成二維斜格子其它布里淵區的形成 3-5 離子晶體的長光學波 晶格振動與晶體的熱學性質3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振

52、動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質3-5 離子晶體的長光學波離子晶體的長光學波 光學波中，原胞中不同的原子相對地作振動光學波中，原胞中不同的原子相對地作振動晶格中的聲學波中相鄰原子都沿同一方向振動晶格中的聲學波中相鄰原子都沿同一方向振動 正負離子組成的晶體，正負離子組成的晶體，長光學波使晶格出現宏觀極化長光學波使晶格出現宏觀極化 波長很長的光學波：長光學波波長很長的光學波：長光學波 波長很長的聲學波：長聲學波波長很長的聲學波：長聲學波 聲學波代表原胞質心的振動聲學波代表原胞質心的振動 光學波表示原胞中相鄰原子做反位相振動光學波表示原胞中相鄰原子做反位相振動波長波長 原胞的線度原胞的線度

53、a3-5 離子晶體的長光學波 晶格振動與晶體的熱學性質3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質1. 長光學波的宏觀方程長光學波的宏觀方程 兩種正負離子組成的復式格子兩種正負離子組成的復式格子_立方晶體立方晶體 長光學波長光學波 極化波極化波 半波長內，正離子半波長內，正離子組成的布喇菲原胞同向組成的布喇菲原胞同向位移，負離子組成的布位移，負離子組成的布喇菲原胞反向位移喇菲原胞反向位移 晶體出現宏觀極化晶體出現宏觀極化3-5 離子晶體的長光學波 晶格振動與晶體的熱學性質3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格

54、振動與晶體的熱學性質原胞中的兩個正負離子質量原胞中的兩個正負離子質量兩個正負離子的位移兩個正負離子的位移MandMand描述長光學波運動的宏觀量描述長光學波運動的宏觀量)()(21MWMMMMM黃昆方程黃昆方程Pand E 宏觀極化強度和宏觀電場強度宏觀極化強度和宏觀電場強度11122122Wb Wb EPb Wb E 1221bb 原胞體積原胞體積3-5 離子晶體的長光學波 晶格振動與晶體的熱學性質3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 正負離子相對運動位移產生的極正負離子相對運動位移產生的極 化和宏觀電場產生的附加極化化和宏觀電場產生

55、的附加極化EbWbW 1211EbWbP2221 離子相對運動的動力學方程離子相對運動的動力學方程1) 靜電場下晶體的介電極化靜電場下晶體的介電極化 恒定電場下恒定電場下0W EbbW1112EbbbP)(11212223-5 離子晶體的長光學波 晶格振動與晶體的熱學性質3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質EPE00)0(EP0 1)0(和和 比較比較EbbbP)(112122221202211 (0)1bbb因為因為2) 高頻電場下晶體的介電極化高頻電場下晶體的介電極化 電場的頻率遠遠高于晶格振動的頻率電場的頻率遠遠高于晶格振動的頻率

56、0WEbP22EbWbP2221EP0 1)(022 ( )1b 3-5 離子晶體的長光學波 晶格振動與晶體的熱學性質3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質2011b0220021122011 1)()()0(bbbb在長光學波下有在長光學波下有 橫長光學波的頻率橫長光學波的頻率11122122Wb Wb EPb Wb E 黃昆方程黃昆方程3-5 離子晶體的長光學波 晶格振動與晶體的熱學性質3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 晶體中存在晶體中存在長光學縱波長光學縱波(LO)和和長

57、光學橫波長光學橫波(TO) 長光學縱波聲子稱為極化聲子長光學縱波聲子稱為極化聲子(LO)，長光學縱波伴隨，長光學縱波伴隨 有宏觀的極化電場有宏觀的極化電場 長光學橫波長光學橫波伴隨著有旋的宏觀電磁場，伴隨著有旋的宏觀電磁場，電磁聲子電磁聲子(TO) 長光學橫波具有電磁性，可以和光場發生耦合長光學橫波具有電磁性，可以和光場發生耦合 極化聲子極化聲子 _ 縱光學聲子縱光學聲子3-5 離子晶體的長光學波 晶格振動與晶體的熱學性質3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質-+-+-+-+-+EE 3-5 離子晶體的長光學波 晶格振動與晶體的熱學性質3

58、-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質-+-+-+-+-+EE 3-7 3-7 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質3-8 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論 固體的定容熱容固體的定容熱容()VVECT E 固體的平均內能固體的平均內能固體內能固體內能 晶格振動的能量晶格振動的能量和和電子熱運動的能量電子熱運動的能量實驗結果實驗結果 低溫下金屬的熱容低溫下金屬的熱容3VCTAT 溫度不是太低的情況

59、，忽略電子對比熱的貢獻溫度不是太低的情況，忽略電子對比熱的貢獻T 電子對比熱的貢獻電子對比熱的貢獻3AT 晶格振動對比熱的貢獻晶格振動對比熱的貢獻3-7 3-7 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動對熱容的貢獻晶格振動對熱容的貢獻 經典理論經典理論 一個簡諧振動平均能量一個簡諧振動平均能量TkBN個原子，總的平均能量個原子，總的平均能量TNkEB3摩爾固體熱容摩爾固體熱容VVTEC)(RkNCBAV33 杜隆杜隆 珀替定律珀替定律實驗表明實驗表

60、明 在低溫時在低溫時熱容量隨溫度迅速趨于零熱容量隨溫度迅速趨于零 ! 能量均分定律能量均分定律3-7 3-7 晶體熱容的量子理論晶體熱容的量子理論 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質3-4 3-4 三維晶格的振動三維晶格的振動 晶格振動與晶體的熱學性質晶格振動與晶體的熱學性質 一個頻率為一個頻率為 j的的振動模對熱容的貢獻振動模對熱容的貢獻/jBjBjjnk Tnk TnnPee1()2jjjEn頻率為頻率為 j的的振動模由一系列量子能級振動模由一系列量子能級 組成組成 子體系子體系/jBjEk TnPCe子體系處于量子態子體系處于量子態 的概率的概率1()2jjjEn/(1)j