1、第七章：證明（一）7.1為什么要證明1推理證明的必要性 給出兩條線段a，b，判斷它們是否相等，我們就需要去測量，因為有誤差，所以測量的結果可能相等，也可能不相等，這說明測量所得出的結論也不一定正確 實驗、觀察、操作是人們認識事物的重要手段，但僅憑實驗、觀察、操作得到的結論有時是不全面的，甚至是錯誤的，所以正確地認識事物，不能單憑直覺，必須一步一步、有根有據地進行推理談重點 證明的必要性(1)直覺有時會產生錯誤，不是永遠可信的；(2)圖形的性質并不都是通過測量得出的；(3)對少數具體例子的觀察、測量或計算得出的結論，并不能保證一般情況下都成立；(4)只有通過推理的方法研究問題，才能揭示問題的本質

2、【例1】 觀察下圖，左圖中間的圓圈大還是右圖中間的圓圈大？2檢驗數學結論常用的方法 (1)檢驗數學結論常用的方法主要有：實驗驗證、舉出反例、推理證明實驗驗證是最基本的方法，它直接反映由具體到抽象、由特殊到一般的邏輯思維方法；舉出反例常用于說明該數學結論不一定成立；推理證明是最可靠、最科學的方法，是我們要掌握的重點實際上每一個正確的結論都需要我們進行嚴格的推理證明才能得出檢驗數學結論的具體過程：觀察、度量、實驗猜想歸納結論推理正確結論 (2)應用檢驗數學結論常用的三種方法的應用：實驗驗證法常用于檢驗一些比較直觀、簡單的結論；舉出反例法多用于驗證某結論是不正確的；推理證明主要用來進行嚴格的推理論證

3、，既可以驗證某結論是正確的，也可以驗證某結論是不正確的【例21】 我們知道：2×24,224.試問：對于任意數a與b，是否一定有結論a×bab?【例22】 如圖，在ABCD中，DFAC于點F，BEAC于點E，試問DF與BE的位置關系和數量關系如何？你能肯定嗎？請說明理由3推理的應用推理的應用在數學中很多，下面給出兩種較常見的應用：(1)規律探究給出形式上相同的一些代數式或幾何圖形，觀察、猜想其中蘊含的規律，并驗證或推理說明這是規律歸納類題目的特點解題思路：解決此類題目時，要用從特殊到一般的思想找到思路，而且必須善于猜想代數規律題一般用式子表示其規律，對于幾何規律題有時用式子

4、表示，有時寫出文字結論(2)推理在日常生活中的應用生活中我們經常需要對有關結論的真偽作出判斷，如購買貨物、稱重是否準確、獲得的某種信息是否可靠等我們可以根據自己的知識儲備或借助外力，進行適當的推理，辨別真偽，從而作出判斷【例31】 下列圖案均由邊長為單位長度的小正方形按一定的規律拼接而成依此規律，第5個圖案中小正方形的個數為_【例32】 有紅、黃、藍三個箱子，一個蘋果放入其中某個箱子內，并且：紅箱子蓋上寫著：“蘋果在這個箱子里”黃箱子蓋上寫著：“蘋果不在這個箱子里”藍箱子蓋上寫著：“蘋果不在紅箱子里”已知中只有一句是真的，那么蘋果在哪個箱子里？7.2定義與命題1定義 對某些名稱或術語的含義加以

5、描述，作出明確的規定，就是對名稱和術語下定義談重點 下定義的注意事項在定義中，必須揭示出事物與其他事物的本質屬性的區別定義的雙重性：定義本身既可以當性質用，又可以當判定用語句必須通順、嚴格、準確，一般不能用“大約”“大概”“差不多”“左右”等含糊不清的詞語要有利于人們對被定義的事物或名詞與其他事物或名詞區別【例1】 下列語句，屬于定義的是()A兩點之間線段最短B連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線C三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半D三人行則必有我師焉2命題(1)定義：判斷一件事情的句子，叫做命題(2)命題的組成結構：每個命題都是由條件和結論兩部分組成條件是已知事項，結論是由

6、已知事項推斷出的事項命題一般寫成“如果那么”的形式“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結論有些命題沒有寫成“如果那么”的形式，條件和結論不明顯對于這樣的命題，要經過分析才能找到條件和結論，也可以將它們改寫成“如果那么”的形式命題的條件部分，有時也可用“已知”或“若”等形式表述命題的結論部分，有時也可用“求證”或“則”等形式表述談重點 改寫命題命題的改寫不能是簡單地加上“如果”“那么”，而應當使改寫的命題和原來的命題內容不變，且語句通順完整，命題的條件、結論要清楚可見有些命題條件和結論不一定只有一個，要注意區分【例2】 指出下列命題的條件和結論：平行于同一直線的兩條直線互相平行；若ab

7、1，則a與b互為倒數；同角的余角相等；矩形的四個角都是直角分析：命題的條件是已知事項，結論是由已知事項推斷出的事項命題一般寫成“如果，那么”的形式“如果”引出的部分是條件，“那么”引出的部分是結論解：條件：兩條直線都和第三條直線平行，結論：這兩條直線互相平行 條件：ab1，結論：a與b互為倒數 條件：兩個角是同一個角的余角，結論：這兩個角相等 條件：一個四邊形是矩形，結論：這個四邊形的四個角都是直角點技巧 分清條件和結論“若則”形式的命題中“若”后面是條件，“則”后面是結論3公理、定理、證明(1)公理公認的真命題稱為公理公理是不需推理論證的真命題公理可以作為推理論證定理及其他命題真假的依據常用

8、的幾個公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等兩邊及其夾角對應相等的兩個三角形全等兩角及其夾邊對應相等的兩個三角形全等三邊對應相等的兩個三角形全等全等三角形的對應邊相等、對應角相等其他公理：等式和不等式的有關性質，等量代換都可以看作公理(2)定理有些命題的正確性是通過推理的方法證實的，這樣的真命題叫做定理定理是經過推理論證的真命題，但真命題不一定都是定理定理可以作為推理論證其他命題的依據(3)證明推理的過程叫證明推理必須做到步步有據，條條有理【例3】 下列說法正確的是()A真命題都可以作為定理 B公理不需要證明C定理不一定都要證明

9、 D證明只能根據定義、公理進行4命題及真假命題的判斷(1)命題的判斷判斷一個句子是否為命題，要根據命題的定義命題的特征：一是必須為一個完整的句子；二是必須對某件事情做出肯定或否定的判斷，即具有明確的判斷性如果一個句子對某一件事情沒有作出任何判斷，那么它就不是命題命題并不是數學所獨有，凡是判斷某一件事情的正確或錯誤的語句都是命題命題是陳述語句，其他形式的句子，如：疑問句、感嘆句、祈使句等都不是命題如：“你愛好什么運動？”沒有作出判斷，這不是命題注意：錯誤的判斷也是命題，不能以正確與否來判斷是否為命題(2)真假命題的判斷命題是一個判斷，這個判斷可能正確，也可能錯誤因此可以將命題分為真命題和假命題正

10、確的命題稱為真命題不正確的命題稱為假命題真命題、假命題的判斷與比較：要說明一個命題是假命題，通常可以舉出一個例子，使之具有命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子稱為反例；要說明一個命題是真命題需根據公理和定理證明談重點 判斷真假命題的方法如果題設成立，結論也一定成立，那么這樣的命題為真命題；如果題設成立，但結論不成立，這樣的命題為假命題【例41】 下列句子中是命題的有_(填序號)直角三角形中的兩個銳角互余正數都小于0.如果12180°，那么1與2互補太陽不是行星對頂角相等嗎？作一個角等于已知角【例42】 下列命題中，真命題是()A若a·b0，則a0，b0B若a·

11、b0，則a0，b0C若a·b0，則a0，且b0D若a·b0，則a0，或b0【例43】 已知下列命題：對角線互相平分的四邊形是平行四邊形；等腰梯形的對角線相等；對角線互相垂直的四邊形是菱形；內錯角相等其中假命題有_(填序號)5命題的組合 命題是由條件和結論組成的，當條件成立，結論也成立時，該命題即為真命題命題的組成就是通過選擇一定的條件，使結論成立，即組成真命題組合新的命題是考察命題的概念及有關知識的重要題型該題型常見于對幾何的考查，一般是給出幾個單獨的論斷，根據有關知識內容結合圖形重新組合寫出正確的命題命題的條件和結論往往不是固定的，要使所組合的命題是正確的，要求必須理解掌

12、握有關的知識內容點評：命題組合時，條件可能不止一個，注意兩個條件的情況組合命題一般是幾何中的某一圖形的性質或者判定 【例51】 如圖，在ABD和ACE中，有下列四個論斷：ABAC；ADAE；BC；BDCE.請以其中三個論斷作為條件，余下的一個論斷作為結論，寫出一個正確的命題_(用序號的形式寫出)【例52】 對同一平面內的三條直線a，b，c，給出下列五個論斷：ab；bc；ab；ac；ac.以其中兩個論斷為條件，另一個論斷為結論，組成一個你認為正確的命題：_(用序號表示)7.3平行線的判定1平行線的判定公理(1)平行線的判定公理：兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行簡單記為

13、：同位角相等，兩直線平行如圖，推理符號表示為：12，ABCD.談重點 同位角相等，兩直線平行平行線的判定公理是證明兩直線平行的原始依據；應用時，應先確定同位角及形成同位角的是哪兩條直線；本判定方法是由兩同位角相等(數量關系)來確定兩條直線平行(位置關系)，所以在推理過程中要先寫“兩角相等”，然后再寫“兩線平行”(2)平行公理的推論：垂直于同一條直線的兩條直線平行若ab，cb，則ac；平行于同一條直線的兩條直線平行若ab，cb，則ac.【例1】 工人師傅想知道砌好的墻壁的上下邊緣AB和CD是否平行，于是找來一根筆直的木棍，如圖所示將其放在墻面上，那么，他通過測量EGB和GFD的度數，就知道墻壁的

14、上下邊緣是否平行了請問：EGB和GFD滿足怎樣的條件時，墻壁的上下邊緣才會平行？你的依據是什么？2平行線的判定定理(1)判定定理1兩條直線被第三條直線所截，如果同旁內角互補，那么這兩條直線平行簡單記為：同旁內角互補，兩直線平行符號表示：如下圖，23180°，ABCD.談重點 同旁內角互補，兩直線平行定理是根據公理推理得出的真命題，可直接應用；應用時，找準哪兩個角是同旁內角，使哪兩條直線平行(2)判定定理2兩條直線被第三條直線所截，如果內錯角相等，那么這兩條直線平行簡單記為：內錯角相等，兩直線平行符號表示：如上圖，24，ABCD.【例21】 如圖，小明利用兩塊相同的三角板，分別在三角板

15、的邊緣畫直線AB和CD，這是根據_，兩直線平行【例22】 如圖，下列說法中，正確的是()A因為AD180°，所以ADBC B因為CD180°，所以ABCDC因為AD180°，所以ABCD D因為AC180°，所以ABCD3平行線的判斷方法 平行線的判定方法主要有以下六種：(1)平行線的定義(一般很少用)(2)同位角相等，兩直線平行(3)同旁內角互補，兩直線平行(4)內錯角相等，兩直線平行(5)同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線相互平行(6)如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線平行析規律 如何選擇判定兩直線平行的方法在利用平行線的公理或定理判

16、定兩條直線是否平行時，要分清同位角、內錯角以及同旁內角是由哪兩條直線被第三條直線所截而構成的；證明兩條直線平行，關鍵是看與待證結論相關的同位角或內錯角是否相等，同旁內角是否互補【例3】 如圖，直線a，b與直線c相交，形成1，2，8共八個角，請你填上你認為適當的一個條件：_，使ab.4平行線判定的應用 (1)平行線的生活應用數學來源于生活，同樣生活中也有大量的平行線，其判定平行的方法也常在生活中遇到如木工師傅判定所截得的木板的對邊是否平行，工人師傅判定所制造的機器零件是否符合平行的要求對于生活中的平行線判斷，關鍵是利用工具確定與平行有關的角是否相等，比較常用的是利用直角尺判斷同位角是否相等，從而

17、判定兩直線是否平行(2)平行線在數學中的運用平行線判定方法在數學中的運用主要通過角之間的關系判定兩條直線平行，進一步解決其他有關的問題常見的條件探索題就是其應用之一探索題是培養發散思維能力的題型，它具有開放性，所要求的答案一般不具有唯一性解決探索性問題，不僅能提高分析問題的能力，而且能開闊視野，增加對知識的理解和掌握釋疑點 判定平行的關鍵判定兩直線平行，關鍵是確定角的位置關系及大小關系 【例41】 如圖，一個零件ABCD需要AB邊與CD邊平行，現只有一個量角器，測得拐角ABC120°，BCD60°，這個零件合格嗎？_(填“合格”或“不合格”) 【例42】 已知：如圖在四邊形

18、ABCD中，AD，BC，試判斷AD與BC的位置關系，并說明理由7.4平行線的性質1平行線的性質公理 平行線的性質公理：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等簡記為：兩直線平行，同位角相等如圖，推理符號表示為：ABCD，12.談重點 兩直線平行，同位角相等兩直線平行的性質公理是推理論證后面兩個性質定理的基礎；“同位角相等”是在“兩直線平行”的前提下才成立的，是平行線特有的性質要避免一提同位角就以為其相等的錯誤；兩直線平行的性質公理與兩直線平行的判定公理的條件與結論是互逆的其中判定公理是在已知同位角相等(數量關系)的前提下推理論證兩直線的平行位置關系，是由角到線的推理過程；而兩直線平行的性質公理是

19、在已知兩直線平行的前提下推理論證同位角相等的數量關系，是由線到角的推理過程【例1】 如圖，ABCD，CE平分ACD，若125°，那么2的度數是_2平行線的性質定理(1)性質定理1兩條平行線被第三條直線所截，同旁內角互補簡單記為：兩直線平行，同旁內角互補符號表示：ABCD，23180°.(2)性質定理2兩條平行線被第三條直線所截，內錯角相等簡單記為：兩直線平行，內錯角相等符號表示：ABCD，24.點評：平行線的性質定理是在平行線性質公理的基礎上推理得出的；從平行線得到角相等或互補的關系；內錯角相等或同旁內角互補的前提條件是“兩條直線平行”要避免出現一提內錯角就相等或一提同旁內

20、角就互補的錯誤【例21】 某商品的商標可以抽象為如圖所示的三條線段，其中ABCD，EAB45°，則FDC的度數是()A30°B45°C60°D75°【例22】 如圖，直線AB，CD相交于點E，DFAB.若AEC100°，則D等于()A70°B80°C90°D100°3證明的步驟(1)證明的一般步驟：理解題意；根據題意正確畫出圖形；結合圖形，寫出“已知”和“求證”；分析題意，探索證明的思路；依據尋求的思路，運用數學符號和數學語言條理清晰地寫出證明過程；檢查表達過程是否正確、完善(2)證明的思路：可

21、以從求證出發向已知追溯，也可以由已知向結論探索，還可以從已知和結論兩個方向同時出發，互相接近點評：對于用文字敘述的命題的證明，要先分清命題的條件和結論，然后根據題意畫出圖形，寫出已知和求證，證明即可4借助輔助線構造平行線在有平行線的條件下，證明兩個角相等或求某個角，當這兩個角不是兩條平行線所截得的同位角、同旁內角或內錯角時，往往要利用其他的角，轉化為平行線所截的角但有些題目中某些條件所對應的圖形沒有或不完整，這時就需要通過添加輔助線去構造某些“基本圖形”，再由圖形聯想相關性質，從而確定方法，達到解題的目的釋疑點 平行線判定與性質的應用以平行為條件的求值或證明角相等的問題中，關鍵要分析出哪對角相

22、等(或互補)，再進行轉化，從而求出結論中的角或完成證明【例3】 證明“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行”分析：本題是文字證明題根據文字證明的一般步驟，先根據題意畫出兩條直線a，b都與直線c垂直，根據已知和圖形寫出本題的已知和求證，已知是直線ac，bc，求證是ab.證明兩條直線平行，可根據平行線的判定方法，證明同位角相等就可以然后寫出證明過程解：已知：如圖，直線a，b被直線c所截，且ac，bc.求證：ab.證明：ac，bc(已知)，190°，290°(垂直的定義)12(等量代換)ab(同位角相等，兩直線平行)點技巧 文字證明題的步驟文字證明題的已知和求證要結合圖形來寫，因此

23、在分析題意時，要確定應該畫什么圖形書寫證明過程時，要注重格式，注意推理的條理性，每一步都要有理有據【例4】 如圖，ABCD，若ABE120°，C35°，則BEC_.5平行線性質與判定的綜合應用(1)平行線的性質與判定的區別平行線的性質定理和判定定理的條件和結論正好相反性質是由條件“平行”得到結論“角的關系”；判定是由條件“角的關系”得到結論“平行”具體為：在判定中，把角相等或互補作為判斷兩直線是否平行的前提角相等或互補是已知，結論是兩直線平行判定則是由“角相等或互補”推理論證“兩直線平行”在性質中，兩直線平行是條件，結論是角相等或互補性質是用來說明兩個角相等或互補的，即由“

24、兩直線平行”推理論證“角相等或互補”釋疑點 平行線的性質與判定要分清在書寫證明過程中，填寫推理的根據或者理由時，要注意性質與判定的區別，防止填錯(2)平行線性質的應用平行線的應用包括生活中的實際應用和綜合應用實際應用要挖掘題目中隱含的平行線，利用平行線的性質來解決和角有關的計算問題而綜合應用主要是綜合運用平行線的性質和判定來求角的度數或證明，要注意與圖形的結合(數形結合)和角的轉換如求方位角和機器零件的角度問題就是實際應用比較多的問題解決時，確定平行線是關鍵 【例51】 如圖，已知：ADBC，AC，求證：ABCD.【例52】 如圖1，在甲、乙兩地之間修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走向是北偏

25、東48°.甲、乙兩地間同時開工，若干天后，公路準確接通，則乙地所修公路的走向是南偏西_7.5三角形內角和定理1三角形內角和定理 三角形內角和定理：三角形的內角和等于180°.符號表示：ABC中，ABC180°.變式：A180°BC.談重點 三角形內角和解讀(1)三角形內角和等于180°是三角形的一個重要性質與三角形的具體形狀或種類沒有關系，即所有三角形的內角和都等于180°；(2)三角形內角和等于180°是三角形本身固有的一個隱含條件，在有關角的計算或日常生活中應用廣泛；(3)利用定理在三角形中已知兩角可求第三角，或已知各角

26、的關系求各角；(4)三角形內角和的一個重要結論：直角三角形的兩個銳角互余【例11】 在一個三角形中，下列說法錯誤的是()A可以有一個銳角和一個鈍角 B可以有兩個銳角C可以有一個銳角和一個直角 D可以有兩個鈍角【例12】 已知一個三角形三個內角度數的比是156，則其最大內角的度數為()A60° B75° C90° D120°2三角形的外角 (1)定義：三角形的一邊與另一邊的延長線所組成的角，叫做三角形的外角如圖所示，ACD和BCE是ABC的兩個外角，而DCE不是三角形的外角(2)三角形外角的特征三角形的外角特征：頂點是三角形的一個頂點；外角的一邊是三角形的

27、邊；外角的另一條邊是三角形某條邊的延長線(3)三角形外角的實質是一個內角的鄰補角，兩個角的和等于180°.如上圖中，ACBACD180°.【例2】 如圖所示，1為三角形的外角的是() 3三角形內角和定理的證法在解決幾何問題時，當僅用已有條件解決問題比較困難時，常在圖形中添加線，構造新的圖形，形成新的關系，搭建已知與未知的橋梁，把較困難的問題轉化為熟悉的、易解決的問題這些在原來的圖形上添加的線叫輔助線輔助線通常畫成虛線證明三角形內角和定理的基本思路：想辦法把分散的三個角“拼湊”成一個“整體”，即借助于輔助線，結合所學過的知識，達到證明的目的在證明三角形的內角和定理時，常用的輔

28、助線主要有以下幾種：(1)構造平角：利用平行線的性質進行轉化(作平行線)，讓三個內角組成一個平角如圖和圖.(2)構造同旁內角：如圖，過C點作CMAB，利用ABC與BCM是同旁內角可證4三角形內角和定理的運用(1)利用定理求角的度數或證明生活中，三角形、四邊形是常見的圖形，在解決與角的度數有關的問題時，一般會用到三角形的內角和定理三角形的內角和定理的運用，主要是利用三角形內角和定理進行計算或證明常見于求三角形中相關角的度數及證明角的相等關系計算或證明時，往往與其他的知識相結合，如特殊三角形、余角、高線、角平分線等性質(2)利用定理判斷三角形的形狀根據一個三角形的內角情況判斷三角形的形狀，關鍵是利

29、用三角形內角和定理求出各個角，再根據各類三角形的性質判斷若有兩個角相等，則可判定為等腰三角形；若有三個角相等，則可判定為等邊三角形；若有特殊角90°和兩個45°，則為等腰直角三角形若一個三角形根據角來分類，可先求出最大的角若最大的內角是鈍角，則三角形為鈍角三角形；若最大的角為直角，則三角形為直角三角形；若最大的角為銳角，則三角形是銳角三角形【例3】 如圖所示的四邊形是平行四邊形，如何利用ABCD證明三角形內角和定理？【例41】 若一個三角形三個內角度數的比為234，那么這個三角形是()A直角三角形B銳角三角形 C鈍角三角形 D等邊三角形【例42】 ABC中，若BAC，則AB

30、C是_三角形【例43】 如圖，已知ABC中，B65°，C45°，AD是BC邊上的高，AE是BAC的平分線，求DAE的度數5.運用三角形內角和定理的推論進行計算或證明(1)三角形內角和定理的推論1推論1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和如圖，符號表示：ACDAB.談重點 三角形的外角推論是由三角形內角和定理推理得到的，可作為定理使用；該推論反映的是三角形的外角與和它不相鄰內角的關系(2)三角形內角和定理的推論2推論2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角符號表示：ACDA或ACDB.析規律 靈活使用三角形的外角三角形的一個外角大于和它“不相鄰”的任意一個內

31、角，而不是大于任何一個內角；利用該推論證明角之間的不等關系時，先找到一個適當的三角形，使要證明的那個大角處于外角的位置上，小角處于內角的位置上 【例51】 如圖，ABC中，A70°，B60°，點D在BC的延長線上，則ACD等于()A100° B120° C130° D150°【例52】 如圖，1，2，3的大小關系為()A213B132 C321D123【例53】 如圖，將一副三角板按圖示的方法疊在一起，則圖中等于_解析：此題主要考查外角的性質和直角三角形的性質由外角的性質可得，45°30°15°.6三角形

32、內角和定理的實際應用三角形的內角和在生活中的應用非常廣泛，如方位角與折疊問題，零件的合格判定等用三角形的內角和定理解決生活中的實際問題時，要注意幾何圖形中與問題中的對應條件析規律 靈活運用三角形的內角和“三角形的內角和為180°”是隱含條件，在實際應用中必不可少；在方位角的計算中需要構造三角形，在三角形中計算其度數；折疊問題中，被折疊部分折疊后的圖形與原圖形對應角相等，再根據內角和、平角等知識列出方程計算【例61】 如圖，是一塊三角形木板的殘余部分，量得A100°，B40°，則這塊三角形木板另外一個角的度數為_ 【例62】 如圖，D是AB邊上的中點，將ABC沿過D的直線折疊，使點A落在BC上的點F處，若B50°，則BDF_.7.輔助線與角的轉化應用(1)輔助線與角的轉化有關三角形角度的計算與比較，常常利用添加不同輔助線的方法，把大角轉化為小角，或者把不規則圖形轉化為規則圖形等，從而利用相關性質進行解題在證明角度不等的問題中，常用“三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角”這一性質，當角不在同一個三角形中時，可作輔助線使之轉化到同一個三角形中再解析規律 輔助線的作法輔助線的添加有很多種方法，基本方法是延長法和連接法在本節中主要是構造三角形，利用“三角形內角和定理及其推論”解決角的問題(2)等腰三角