1、精選優質文檔-傾情為你奉上初中數學競賽題匯編（代數部分1）江蘇省泗陽縣李口中學 沈正中 精編、解答例1若m2m1，n2n1，且mn，求m5n5的值。解：由已知條件可知，m、n是方程x2x10兩個不相等的根。mn1，mn1m2n2(mn)22mn3或m2n2mn23又m3n3(mn) (m2mnn2)4m5n5(m3n3) (m2n2)(mn)2(mn)11例2已知 解：設 ，則uvw1 由得 即uvvwwu0將兩邊平方得u2v2w22(uvvwwu)1 所以u2v2w21 即例3已知x4+x3+x2+x+10，那么1+x+x2+x3+x4+x2014 。解：1+x+x2+x3+x4+x2014

2、(1+x+x2+x3+x4)+(x5+x6+x7+x8+x9)+(x2010+x2011+x2012+x2013+x2014)(1+x+x2+x3+x4)+x5(1+x+x2+x3+x4)+ x2010(1+x+x2+x3+x4)0例4：證明循環小數 為有理數。 證明：設 x 將兩邊同乘以100，得 ，得 99x261.542.61 即x 。例5：證明 是無理數。 證明（反證法）：假設 不是無理數，則 必為有理數，設 （p、q是互質的自然數） ，兩邊平方有 p22q2 ，所以p一定是偶數，設p2m（m為自然數），代入整理得q2m2，所以q也是偶數。p、q均為偶數與p、q是互質矛盾，所以 不是有

3、理數，即為有理數。例6： ； ； 。 解： 例7：化簡 （1） ； （2） （3） ；（4） ；（5） ； （6） 。 解：（1）方法1 方法2 設 ，兩邊平方得： 由此得 解之得 或 所以 。 （2） （3）（4）設 ，兩邊平方得： 由此得 解之得 所以 1 （5）設 則 所以 （6）利用(ab)3a3b33ab(ab)來解答。設 兩邊立方得： 即 x36x400 將方程左邊分解因式得(x4)(x24x10)0 因(x24x10)(x2)260 所以(x4)0 ， 即x4所以 4 例8：解：用構造方程的方法來解。設原式為利用根號的層數是無限的特點，有 ，兩邊平方得 即 繼續兩邊平方得x44x

4、242x，即x44x2x20，左邊分解因式得(x1)(x2)(x2x1)0 求得x11，x22，x3 。 因0x2，所以x1、x2、x 應舍去，所以x 即 。 例9：設 的整數部分為x，小數部分為y，試求 的值。 解： 而 所以x2，y 因此 。 例10：已知xyz3a (a0，且x、y、z不全相等)，求的值。解：設xau，yav，zaw，則 且有已知有uvw0，將uvw0兩邊平方得 u2v2w22(uvvwwu)0 由于x、y、z不全相等，所以u、v、w不全為零，所以u2v2w20，故 例11：已知x 求 的值。 解：所以x4 (x4)2 3，x28x130 ， 所以，原式分子x46x32x

5、218x23(x48x313x2)(2x316x226x)(x28x13)10x2(x28x13)2x(x28x13)(x28x13)1010， 原式分母x28x15(x28x13)22，所以 5 。例12：已知 求 的值解：方法1 當abc0時，據等比定理有 1 由此得abcc，bcaa，cabb 所以 8。 當abc0時， 1。 方法2 設 k，則 ab(k1)c，bc(k1)a，ca(k1)b， 得2(abc)(k1) (abc)，即(abc) (k1)0，故k1或abc0， 以下同上。例13：計算 + 解： + + + + ( )+( )+( )+ ( ) + + + 。 例14：分解

6、因式（1）x39x8；（2）(x2x1)(x2x2)12；。 （3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)；（4）x2+3xy+2y2+4x+5y+3。解：（1）方法1：x39x8=x39x19=(x31)9x9=(x1)(x2x1)9(x1)=(x1)(x2x8)方法2：x39x8=x3x8x8=(x3x)+(8x8) =x(x1)(x1)8(x1)=(x1)(x2x8)方法3：x39x8=9x38x39x8=(9x39x)+(8x38) =9x(x1)(x1)8(x1)(x2x1) =(x1)(x2x8)方法4：x39x8=x3x2x29x8=(x3x2)(x29x8)=x2(x1)(

7、x8)(x1)=(x1)(x2x8)（2）設x2+x=y，則(x2+x+1)(x2+x+2)-12=(y+1)(y+2)-12=y2+3y-10=(y-2)(y+5)=(x2+x-2)(x2+x+5)=(x-1)(x+2)(x2+x+5)（3）(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy令x+y=u，xy=v，則(x2+xy+y2)-4xy(x2+y2)=(x+y)2-xy2-4xy(x+y)2-2xy= (u2-v)2-4v(u2-2v) = u4-6u2v+9v2 = (u2-3v)2 =(x2+2xy+y2-3xy)2 = (x2-xy+y

8、2)2（4）方法1：設x2+3xy+2y2+4x+5y+3=(x+2y+m)(x+y+n) =x2+3xy+2y2+(m+n)x+(m+2n)y+mn， 比較兩邊對應項的系數，則有 解之得m=3，n=1所以原式=(x+2y+3)(x+y+1) 方法2：x2+3xy+2y2+4x+5y+3x y 常數1 1 11 2 3即= (x+y+1) (x+2y+3) 例15：化簡解：因這個代數式的特性時輪換對稱式，只要對其中的一項進行變形，然后再對其他項進行輪換即可。所以 ( )( )( )0 。 例16：已知 證明 a2b2c2(abc)2 。 證明（分析法）：因 (abc)2a2b2c22ab2bc

9、2ca所以 要證 a2b2c2(abc)2只要證abacbc 只要證c(ab)ab只要證 （因為也為a、b、c都不為0） 即 最后的等式正好是題設，而以上推理每一步都可逆，故所求證的等式成立例17：已知a4+b4+c4+d4=4abcd，且a，b，c，d都是正數，求證：a=b=c=d證明： 由已知可得 a4+b4+c4+d4-4abcd=0，(a2-b2)2+(c2-d2)2+2a2b2+2c2d2-4abcd=0，所以(a2-b2)2+(c2-d2)2+2(ab-cd)2=0因為(a2-b2)20，(c2-d2)20，(ab-cd)20， 所以a2-b2=c2-d2=ab-cd=0，所以 (

10、a+b)(a-b)=(c+d)(c-d)0又因為a，b，c，d都為正數，所以a+b0，c+d0， 所以ab，c=d所以ab-cd=a2-c2=(a+c)(a-c)=0，所以ac故a=bc=d成立例18：m是什么整數時，方程(m2-1)x2-6(3m-1)x720 有兩個不相等的正整數根解：首先，m2-10，m±1=36(m-3)20，所以m3用求根公式可得由于x1，x2是正整數，所以m-1=1，2，3，6； m+1=1，2，3，4，6，12， 解得m=2這時x1=6，x2=4例19：己知 a+ ， abc求證：a2b2c2=1。證明：由己知得：a-b= ， 所以 bc = ， 同理得 ca = ， ab = ， 所以 ab·bc·ca