1、導數 壓軸題訓練1（ 2014湖南） . 22 （ 2014湖南） .已知常數 a0 ,函數 fxln 12xax.x2(1)討論 fx在區間 0,上的單調性 ;(2)若 f x存在兩個極值點x1 , x2 , 且 fx1fx20,求 a 的取值范圍 .【答案】 (1)詳見解析【解析】解 :(1) 對函數 f x求導可得a42ax24 1 af 'xa x 24 1 axx 221 ax x 222 ,因為1 ax1 ax x 21axx20,所以當1 a0 時, 即 a1 時 , f 'x0 恒成立 , 則函數 f x2在遞增 ,當 a1時 , f 'x0x2a 1a

2、,則函數 fx2 a 1aa在區間0,a2a 1a單調遞增的 .a(2) 解:(1) 對函數 f x 求導可得a4a x 22ax24 1 af 'x4 1 ax1 ax222 ,因為x 21 ax x 21 ax x 21axx20,所以當 1a 0 時, 即 a1 時 , f ' x0 恒成立 , 則函數 f x2在遞增 ,當 a1時 , f 'x 02a 1af x2 a 1axa,則函數在區間 0,a在2 a 1a單調遞增的 .a0,單調單調遞減 ,在0,單調單調遞減 ,12.（20 ）（ 2014 江蘇） （本小題滿分 14 分）已知函數 f (x)=x -

3、aex (a ? R)， x ? R . 已知函數y = f (x) 有兩個零點 x1 , x2 ，且 x1 < x2 .（）求 a 的取值范圍；（）證明x2 隨著 a 的減小而增大；x1（）證明x1 + x2 隨著 a的減小而增大 .（2014四川卷） 21 （2014四川卷） 已知函數f ( x) exax 2bx 1，其中 a, bR ，e 2.71828 為自然對數的底數。（1 ）設 g (x) 是函數 f (x) 的導函數，求函數g( x) 在區間 0,1 上的最小值；（2 ）若 f (1) 0，函數 f ( x) 在區間 (0,1)內有零點，求 a 的取值范圍2解：（ 1 ）

4、因為 f (x)exax2bx1 所以 g ( x)f( x)ex2ax b又 g ( x)ex2a因為 x0,1 ， 1 exe所以：若 a1，則 2a1 ， g ( x)ex2a0，2所以函數 g ( x) 在區間 0,1上單增， gmin ( x)g(0)1b若 1ae ，則 12ae ，22于是當 0x ln(2 a) 時 g ( x)ex2a0 ，當 ln(2 a)x1時 g ( x)ex2a0 ，所以函數 g ( x) 在區間 0,ln(2a) 上單減，在區間 ln(2 a),1 上單增，gmin ( x)gln(2 a)2a2a ln(2 a) b若 ae ，則 2ae， g (

5、 x)ex2a02所以函數 g ( x) 在區間 0,1上單減， gmin ( x)g(1)e2ab1b,a1 ,2綜上： g( x) 在區間 0,1上的最小值為 gmin ( x)2a2a ln(2a)1aeb,22e2a b,ae ,2（2 ）由 f (1)0 ea b 1 0be a 1，又 f (0) 0若函數 f ( x) 在區間 (0,1)內有零點，則函數f (x) 在區間 (0,1) 內至少有三個單調區間由（ 1）知當 a1e( x) 在區間 0,1 上單調，不可能滿足“函數 f (x)或 a時，函數 g( x) 即 f22在區間 (0,1) 內至少有三個單調區間”這一要求。若

6、1ae ，則 gmin ( x)2a2a ln(2 a)b 3a2a ln(2 a) e 122令 h( x)3 x x ln x e 1 （ 1x e ）2則 h ( x)11ln x 0xeln x。由 h ( x)22所以 h( x) 在區間 (1,e) 上單增，在區間 (e,e) 上單減hmax (x)h( e)3 ee lnee 1ee1 0 即 gmin (x)0 恒成立23于是，函數f ( x) 在區間 (0,1)內至少有三個單調區間g(0)2ea 0ae 2g(1)a10a1又 1ae所以 e2 a122綜上， a 的取值范圍為 (e2,1)3. （ 2014陜西卷） .（本小

7、題滿分 14 分）設函數f (x) ln(1x), g(x)xf '( x), x0 ，其中 f '( x)是 f (x) 的導函數 . g1( x)g (x), gn1 (x)g(gn (x), n N，求 gn (x) 的表達式；（2 ）若 f ( x)ag(x) 恒成立，求實數a 的取值范圍；（3 ）設 nN，比較 g(1) g(2)g(n) 與 nf (n) 的大小，并加以證明 .421.54. 【 20XX年重慶卷（理 20）】已知函數 f ( x)ae2xbe 2xcx(a,b,cR) 的導函數f '(x) 為偶函數，且曲線 yf (x) 在點 (0,f (

8、0) 處的切線的斜率為 4c .（ 1）確定 a,b 的值；（ 2）若 c 3，判斷 f ( x) 的單調性；（ 3）若 f (x) 有極值，求 c 的取值范圍 .6解：（ 1） f '( x)2ae2 x2be2 xc ，由 f '( x)f '(x)恒成立知：2ae2x2be 2xc2ae 2x2be2xc(2a2b)e4x(2b2a) 0 ，故 a b另外 f '(0)2a2bc4 cab 2聯立解出 ab1（2）此時 f '( x)2e2x2e 2x32(exe x )21 0，故 f ( x) 單調遞增。（3）等價于 f '(x)2e2

9、x2e2xc0 有非最值解，設 te2x0 ，則等價于方程2t2c在 t0時有非最值解，由雙鉤函數知：2t2t4, )t所以 c4 ，故 c 的取值范圍為(4, )5.（2014 山東） .( 本小題滿分 13 分）設函數 fxexk(2是自x 2ln x) （ k 為常數， e 2.71828然對數的底數）x（I ）當 k0時，求函數fx 的單調區間；（II ）若函數 fx在 0,2內存在兩個極值點，求k的取值范圍。解：（ 1） f'(x)exx22xex21x4k(2)xx(x2)(exkx)x3(x0)當 k0時， kx0,exkx0令 f ' ( x)0,則 x2當 x

10、 (0,2)時， f ( x)單調遞減；當 x (2, )時， f ( x)單調遞增。（2）令 g xexkx則 g ' ( x) ex kexk, xln kg' (0)1k0, g (0)10'(2)e2k0, g 222k0 ke2ge2g ln keln kk ln k 0 ln k 1 k e綜上 : e的取值范圍為（e, e2）。2bex 16. （ 20XX 年課標 I） ( 本小題滿分 12 分 )設函數 f ( x0aex ln x，曲線 yf ( x) 在點（ 1 ，xf (1) ）處的切線為 ye(x1)2. （I）求 a,b ； （）證明：f (

11、 x)1 .請考生從第（22 ）、（ 23 ）、（ 24 ）三題中任選一題作答。注意：只能做所選定的題目。如果多做，則按所做的第一個題目計分，作答時請用2B 鉛筆在答題卡上將所選題號后的方框涂黑。【解析】 ( ) 設 Fc,0，由條件知 22 3，得 c3又c3，c3a27所以a=2 ， b2a2c21 , 故 E 的方程 x2y21. 分 .64（）依題意當 lx 軸不合題意，故設直線l： ykx2，設 Px1, y1 , Q x2 , y2將 ykx2代入 x2y21，得 14k 2x216kx 120 ，4當16(4k 23)0，即 k23時， x1,28k24k 23414k 2從而 P