1、幾何輔助線（圖）作法探討一些幾何題的證明或求解，由原圖形分析探究，有時顯得十分復雜，若通過適當的變換，即添加適當的輔助線（圖），將原圖形轉換成一個完整的、特殊的、簡單的新圖形，則能使原問題的本質得到充分的顯示，通過對新圖形的分析，原問題順利獲解。有許多初中幾何常見輔助線作法歌訣，下面這一套是很好的：人說幾何很困難，難點就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。還要刻苦加鉆研，找出規律憑經驗。三角形圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關系現。角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。線段垂直平分線，常向兩端把線連。要證線段倍與半，延長縮短可試驗。三角形

2、中兩中點，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。四邊形平行四邊形出現，對稱中心等分點。梯形里面作高線，平移一腰試試看。平行移動對角線，補成三角形常見。證相似，比線段，添線平行成習慣。等積式子比例換，尋找線段很關鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。斜邊上面作高線，比例中項一大片。圓半徑與弦長計算，弦心距來中間站。圓上若有一切線，切點圓心半徑連。切線長度的計算，勾股定理最方便。要想證明是切線，半徑垂線仔細辨。是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。弧有中點圓心連，垂徑定理要記全。圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點連。弦切角邊切線弦，同弧對角等找完。要想作個外接圓，各邊作出中垂線。還要作個內切圓，內角平

3、分線夢圓。如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。內外相切的兩圓，經過切點公切線。若是添上連心線，切點肯定在上面。要作等角添個圓，證明題目少困難。輔助線，是虛線，畫圖注意勿改變。假如圖形較分散，對稱旋轉去實驗。基本作圖很關鍵，平時掌握要熟練。解題還要多心眼，經常總結方法顯。切勿盲目亂添線，方法靈活應多變。分析綜合方法選，困難再多也會減。虛心勤學加苦練，成績上升成直線。在幾何題的證明或求解時，需要構成一些基本圖形來求證（解）時往往要通過添加輔助線（圖）來形成，添加輔助線（圖），構成的基本圖形是結果，構造的手段是方法。精選文庫筆者從作輔助線的結果和方法兩方面將幾何輔助線（圖）作法歸納為結果（1）構造基本圖

4、形；（2）構造等腰（邊）三角形：（3）構造直角三角形；（4）構造全等三角形；（5）構造相似三角形；（6）構造特殊四邊形；（ 7）構造圓的特殊圖形；方法（8）基本輔助線；（9）截取和延長變換；（10）對稱變換；（11）平移變換；（ 12）旋轉變換。下面通過近年全國各地中考的實例探討其應用。一、構造基本圖形：每個幾何定理都有與它相對應的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，添輔助線往往是具有基本圖形的性質而基本圖形不完整時補完整基本圖形。如平行線，垂直線，直角三角形斜邊上中線，三角形、四邊形的中位線等。等腰（邊）三角形、直角三角形、全等三角形、相似三角形、特殊四邊形和圓的特殊圖形也都是基本圖形，但我們后

5、面把它們單獨表述。典型例題：例 1.（ 2012 四川內江3 分）如圖， a / b ,165 0 ,2140 0 , 則3【】A. 1000B.1050C.1100D.1150例 2. （ 2012 江蘇宿遷3 分） 已知點 E，F，G， H分別是四邊形ABCD的邊 AB， BC， CD，DA的中點，若 ACBD，且 ACBD，則四邊形 EFGH的形狀是. （填“梯形”“矩形”“菱形”）【答案】 矩形。【考點】 三角形中位線定理，矩形的判定。【分析】 如圖，連接AC， BD。E， F， G， H 分別是 AB， BC， CD， DA的中點，根據三角形中位線定理，HEABGF，HGACEF。0

6、又 ACBD， EHG=HGF=GFE=FEH=90。且 ACBD，四邊形EFGH鄰邊不相等。四邊形EFGH不可能是菱形。例 3. （ 2012 湖北天門、仙桃、潛江、江漢油田 3 分）如圖，線段 AC=n+1（其中 n 為正整數），點 B 在線段 AC上，在線段 AC同側作正方形 ABMN及正方形 BCEF，連接 AM、ME、 EA得到 AME當 AB=1時， AME的面積記為 S1；當AB=2 時， AME的面積記為 S2；當 AB=3時， AME的面積記為 S3；當 AB=n時， AME的面積記為 Sn當 n2 時， Sn Sn 1= 【答案】2n1 。2【考點】 正方形的性質，平行的判

7、定和性質，同底等高的三角形面積，整式的混-2精選文庫合運算。【分析】 連接 BE，在線段AC同側作正方形ABMN及正方形BCEF，BEAM。 AME 與 AMB同底等高。 AME 的面積 =AMB的面積。當 AB=n時， AME的面積為 Sn1 n2 ，當 AB=n 1 時， AME的面積為 Sn1 n12。22當 n2時，SnS1 n21n12=1n+n 1 nn+1 =2n 1。n 12222例 4. （ 2012 江蘇鎮江6 分） 如圖，在四邊形ABCD中， ADBC， E 是 AB的中點，連接DE并延長交 CB的延長線于點F，點 G在 BC邊上，且 GDF=ADF。（ 1）求證： AD

8、E BFE；（ 2）連接 EG，判斷 EG與 DF的位置關系，并說明理由。【答案】 解：（1）證明： ADBC， ADE=BFE（兩直線平行，內錯角相等）。 E 是 AB 的中點， AE=BE。又 AED=BEF， ADE BFE（AAS）。（ 2） EG與 DF的位置關系是 EGDF。理由如下： ADE=BFE， GDF=ADF， GDF=BFE（等量代換） 。 GD=GF（等角對等邊） 。又 ADE BFE， DE=EF（全等三角形對應邊相等） 。EGDF（等腰三角形三線合一）。例 5. （2012 廣西南寧10 分） 如圖，已知矩形紙片ABCD，AD=2， AB=4將紙片折疊，使頂點A

9、與邊 CD上的點 E 重合，折痕FG分別與 AB， CD交于點 G，F， AE 與 FG交于點 O（ 1）如圖 1，求證： A， G，E， F 四點圍成的四邊形是菱形；（ 2）如圖 2，當 AED 的外接圓與BC相切于點N時，求證：點N 是線段 BC的中點；（ 3）如圖 2，在（ 2）的條件下，求折痕FG的長【答案】解：（ 1）由折疊的性質可得， GA=GE，AGF=EGF，-3精選文庫DCAB， EFG=AGF。 EFG=EGF。 EF=EG=AG。四邊形AGEF是平行四邊形（ EFAG， EF=AG）。又 AG=GE，四邊形AGEF是菱形。（2）連接 ON， AED是直角三角形，AE 是斜

10、邊，點O是 AE 的中點，AED的外接圓與BC相切于點N，ONBC。點 O是 AE的中點， ON 是梯形 ABCE的中位線。點 N是線段 BC的中點。（ 3） OE、 ON均是 AED 的外接圓的半徑， OE=OA=ON=2。 AE=AB=4。在 RtADE中， AD=2， AE=4， AED=30°。在 RtOEF中， OE=2， AED=30°，2343OF。 FG=2OF。33二、構造等腰（邊）三角形： 當問題中出現一點發出的二條相等線段時往往要補完整等腰（邊）三角形；出現角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰（邊）三角形。通過構造等腰（邊）三角形，應

11、用等腰（邊）三角形的性質得到一些邊角相等關系，達到求證（解）的目的。典型例題：例 1.（ 2012 浙江麗水、金華4 分）如圖，在等腰 ABC 中， AB AC， BAC50° BAC 的平分線與 AB的中垂線交于點O，點 C 沿 EF折疊后與點O重合，則 CEF 的度數是【答案】 50°。連接 BO， AB AC， AO是 BAC的平分線， AO 是 BC的中垂線。BO CO。 BAC50°， BAC 的平分線與AB 的中垂線交于點O， OAB OAC25°。 等腰 ABC 中，AB AC，BAC50°， ABC ACB65°。 O

12、BC65° 25° 40°。 OBC OCB40°。點 C 沿 EF折疊后與點O重合， EO EC， CEF FEO。00例 2. （ 2012 甘肅白銀10 分）如圖，已知 ABC 是等邊三角形，點D、F 分別在線段BC、AB上， EFB=60°， DC=EF（ 1）求證：四邊形 EFCD是平行四邊形；（ 2）若 BF=EF，求證： AE=AD-4精選文庫【答案】 證明：（ 1） ABC 是等邊三角形， ABC=60°。 EFB=60°， ABC=EFB。 EFDC（內錯角相等，兩直線平行）。 DC=EF，四邊形 EFCD

13、是平行四邊形。（ 2）連接 BE。 BF=EF， EFB=60°， EFB 是等邊三角形。 EB=EF， EBF=60°。 DC=EF， EB=DC。 ABC 是等邊三角形， ACB=60°， AB=AC。 EBF=ACB。 AEB ADC（SAS）。 AE=AD。例 3. （ 2011 上海 12 分）如圖，在梯形ABCD中， AD/BC ， ABDC，過點 D 作 DEBC，垂足為E，并延長DE至 F，使 EF DE聯結 BF、 CD、 AC（ 1）求證：四邊形 ABFC是平行四邊形；2（ 2）如果 DEBE·CE，求證四邊形ABFC是矩形【答案】

14、解：（ 1）證明：連接BD。梯形 ABCD中， ADBC， AB=DC， AC=BD， ACB=DBCDEBC， EF=DE， BD=BF， DBC=FBC。 AC=BF， ACB=CBF。 ACBF。四邊形ABFC是平行四邊形；2DECE（ 2） DEBE·CE，。BEDE DEB=DEC=90°， BDE DEC。 CDE=DBE， BFC=BDC=BDE CDE=BDE DBE=90°。四邊形ABFC是矩形。三、構造直角三角形： 通過構造直角三角形，應用直角三角形的性質得到一些邊角關系（勾股定理，兩銳角互余，銳角三角函數） ，達到求證（解）的目的。典型例題：

15、例 1. （ 2012 廣西柳州3 分） 已知：在 ABC 中， AC=a， AB與 BC所在直線成45°角， AC與 BC所在直線形成的夾角的余弦值為25 （即 cosC=2），則 AC邊上的中線長是 555【答案】85 a 或5 a。10 10-5精選文庫【分析】 分兩種情況： ABC 為銳角三角形時，如圖1， BE 為 AC邊的中線。作 ABC的高 AD，過點 E 作 EFBC 于點 F。在 RtACD中， AC=a， cosC= 25 ，525 a， AD= 5 a。CD=55535a。在 RtABD中， ABD=45°， BD=AD=a。 BC=BD+CD=55點

16、 E 是 AC的中點， EFAD， EF是 ACD的中位線。 FC= 1 DC=5 a， EF=1 AD=5 a。25210BF= 25 a。522在 RtBEF 中，由勾股定理，得BEBF2EF22 5a5 a= 17 a2 =85 a 。5102010 ABC為鈍角三角形時，如圖2， BE為 AC邊的中線。作 ABC的高 AD。在 RtACD中， AC=a， cosC= 25 ，5CD=25 a， AD= 5 a。55在 RtABD中， ABD=45°， BD=AD=5 a。 BC= BD= 5 a。55點 E 是 AC的中點， BE 是 ACD的中位線。 BE= 1 AD=5

17、a。210綜上所述， AC邊上的中線長是85 a 或 5 a。10 10例 2.（ 2012 廣西河池3 分）如圖，在矩形ABCD中， ADAB，將矩形ABCD折疊，使點C 與點 A 重合，折痕為MN，連結 CN若 CDN的面積與 CMN的面積比為14，則MN 的值為【】BMA2B4C25D26【答案】 D。-6精選文庫過點 N 作 NGBC 于 G，四邊形ABCD是矩形，四邊形CDNG是矩形， ADBC。CD=NG， CG=DN， ANM=CMN。由折疊的性質可得：AM=CM， AMN=CMN， ANM=AMN。AM=AN。 AM=CM，四邊形AMCN是平行四邊形。AM=CM，四邊形AMCN

18、是菱形。 CDN的面積與 CMN的面積比為1：4， DN： CM=1： 4。設 DN=x，則 AN=AM=CM=CN=4x，AD=BC=5x， CG=x。 BM=x， GM=3x。在 RtCGN中， NGCN 2CG24x在 RtMNG中， MNGM 2NG 23x MN = 2 6x =2 6 。故選 D。BMx2215x ，x2215x=26x ，例 3. （ 2012 北京市 5 分） 如圖，在四邊形ABCD中，對角線 AC， BD交于點 E，0002 ， BE=2 2 求 CD的長和四邊形 ABCD的面積BAC=90， CED=45， DCE=90， DE=【答案】 解：過點 D作 D

19、HAC， CED=45°， DHEC， DE= 2， EH=DH=1。又 DCE=30°， DC=2， HC=3 。 AEB=45°， BAC=90°， BE=22 ，AB=AE=2。 AC=2+1+ 3=3+3。 S四邊形ABCD1（）1（） 93 3。22 3321 332【考點】 勾股定理，含 30 度角的直角三角形的性質，等腰直角三角形的性質，四、構造全等三角形：通過構造全等三角形，應用全等三角形對應邊、角相等的性質，達到求證（解）的目的。典型例題：例 1.（ 2012 浙江紹興5 分）如圖，在矩形ABCD中，點 E， F 分別在 BC， CD上

20、，將 ABE 沿 AE折疊，使點B 落在AC上的點 B處，又將 CEF 沿 EF 折疊，使點C 落在 EB與 AD的交點 C處則BC： AB的值為。-7精選文庫例 2.（ 2012 山東泰安3 分）如圖， ABCD， E，F 分別為 AC， BD的中點，若AB=5， CD=3，則 EF的長是【】A4B3C2D1【答案】 D。【考點】 三角形中位線定理，全等三角形的判定和性質。【分析】 連接 DE并延長交AB于 H，CDAB， C=A， CDE=AHE。E是 AC中點， DE=EH。 DCE HAE（AAS）。DE=HE， DC=AH。F是 BD中點， EF 是 DHB的中位線。 EF= 1 B

21、H。2BH=AB AH=AB DC=2。 EF=1。故選D。例 3. （ 2012 山東德州 12 分）如圖所示，現有一張邊長為4 的正方形紙片ABCD，點 P 為正方形AD邊上的一點（不與點 A、點 D 重合）將正方形紙片折疊，使點B 落在 P 處，點 C落在 G處， PG交 DC于 H，折痕為EF，連接 BP、 BH（ 1）求證： APB=BPH；（ 2）當點 P 在邊 AD上移動時， PDH 的周長是否發生變化？并證明你的結論；（ 3）設 AP為 x，四邊形 EFGP的面積為 S，求出 S 與 x 的函數關系式，試問 S 是否存在最小值？若存在，求出這個最小值；若不存在，請說明理由-8精

22、選文庫【答案】 解：（ 1）如圖 1， PE=BE， EBP=EPB又 EPH=EBC=90°， EPH EPB=EBC EBP，即 PBC=BPH。又 ADBC， APB=PBC。 APB=BPH。（ 2） PHD的周長不變為定值 8。證明如下：如圖 2，過 B 作 BQPH，垂足為 Q。由（ 1）知 APB=BPH，又 A=BQP=90°， BP=BP， ABP QBP（ AAS）。 AP=QP， AB=BQ。又 AB=BC， BC=BQ。又 C=BQH=90°， BH=BH， BCH BQH（ HL）。 CH=QH。 PHD的周長為： PD+DH+PH=AP

23、+PD+DH+HC=AD+CD=8。（ 3）如圖 3，過 F 作 FMAB，垂足為 M，則 FM=BC=AB。又 EF 為折痕， EFBP。 EFM+MEF=ABP+BEF=90°。 EFM=ABP。又 A=EMF=90°， AB=ME， EFM BPA（ ASA）。 EM=AP=x222，即 BE 2+x 2在 RtAPE 中，（ 4 BE） +x =BE。x 28 CFBEEMx 。2+8又四邊形 PEFG與四邊形 BEFC全等， S1BECFBC= 14+ x 2x 4= 1 x 22x+8= 1 x 2 2 +6 。224221 0 < < 4 ，當 x

24、=2 時， S 有最小值 6。2-9精選文庫例 4. （ 2011 廣西南寧 3 分） 如圖，在 ABC 中， ACB 90o， A 15o， AB 8，則 AC· BC的值為【】A14B163C415D16【答案】 D。【考點】 全等三角形的判定和性質，銳角三角函數。【分析】 延長 BC到點 D，使 CD CB，連接 AD，過點 D 作 DEAB，垂足為點E。則知 ACD ACB， 從而由已知得 CAD A15o， AD AB。因此， 在 RtADE中，AD 8，BAD30o， DEAD·sin30o 4。從而 SADE 1 ·AB·DE 16，又 S

25、ADE2 1 ·BD·AC 1 ·2BC·ACAC·BC，即 AC·BC 16。22例 5. （ 2011 山東濟南 3 分）如圖，在 ABC 中， ACB 90o，AC BC，分別以 AB、 BC、 CA為一邊向 ABC 外作正方形ABDE、 BCMN、 CAFG，連接 EF、 GM、 ND，設 AEF、 BND、 CGM 的面積分別為 S1、S2 、S3，則下列結論正確的是【】A S1S2S3BS1 S2 S3C S1S3S2DS2 S3 S1【答案】 A。【分析】 過點 D 作 DQMN交 CB的延長線于點P，交 MN的延長線于

26、點Q；過點 E 作 ERGF交 CA的延長線于點S，交 GF的延長線于點R。易證 CGM CAB（ SAS），即 S2 SABC；易證 PBD CAB（ AAS）， BP=AC，即S3 的底為 BN=BC，高為 BP=AC，S2 SABC；易證 SEA CAB（ AAS）， AS=BC，即S1 的底為 FA=CA，高為 AS=BC，S2 S ABC。S1 S2 S3 SABC。故選A。例 6. （ 2011 山東德州 8 分）如圖 AB=AC，CDAB 于 D，BEAC 于 E， BE與 CD相交于點 O（ 1）求證 AD=AE；（ 2）連接 OA， BC，試判斷直線 OA， BC的關系并說明

27、理由【答案】 解：（ 1）證明：在 ACD 與 ABE中，-10精選文庫 A=A， ADC=AEB=90°，AB=AC， ACD ABE（ AAS）。 AD=AE。（ 2）在 RtADO與 RtAEO中， OA=OA， AD=AE， ADO AE O（ HL）。 DAO=EAO。即 OA是 BAC的平分線。又 AB=AC， OABC。五、構造相似三角形： 通過構造相似三角形， 應用相似三角形對應角相等、 對應邊成比例的性質， 達到求證（解）的目的。典型例題：例 1. （2012 湖北十堰 3 分） 如圖，矩形 ABCD中， AB=2，AD=4， AC的垂直平分線 EF 交 AD于點

28、E、交 BC于點 F，則 EF=【答案】5 。【分析】 連接 EC， AC、 EF 相交于點O。AC的垂直平分線EF， AE=EC。四邊形ABCD是矩形， D=B=90°， AB=CD=2， AD=BC=4，ADBC。 AOE COF。 AOOE 。OCOFOA=OC， OE=OF，即 EF=2OE。2222225。在 RtCED中，由勾股定理得： CE=CD+ED，即 CE=（ 4 CE）+2 ，解得： CE=2在 RtABC中， AB=2， BC=4，由勾股定理得： AC=25 ，CO= 5 。在 RtCEO中， CO= 5 ， CE=5 ，由勾股定理得： EO= 5 。 EF=

29、2EO= 5 。22例 2. （ 2012 天津市 10 分） 已知一個矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標系中，點A（11， 0），點 B（ 0，6），點 P 為 BC邊上的動點（點 P 不與點 B、 C 重合），經過點 O、 P折疊該紙片，得點 B和折痕 OP設 BP=t（）如圖，當 BOP=30 0 時，求點 P 的坐標；（）如圖，經過點P 再次折疊紙片，使點C 落在直線PB上，得點C和折痕 PQ，若 AQ=m，試用含有t 的式子表示 m；（）在（）的條件下，當點C恰好落在邊OA上時，求點P 的坐標（直接寫出結果即可）-11精選文庫【答案】 解：（）根據題意， OBP=90

30、76;，OB=6。在 RtOBP中，由 BOP=30°， BP=t，得 OP=2t。222，即（222= 23 ，t 2= 23 （舍去）OP=OB+BP2t ） =6 +t，解得： t 1點 P 的坐標為（ 23 ，6）。（） OBP、 QCP 分別是由 OBP、 QCP 折疊得到的， OBP OBP， QCP QCP。 OPB=OPB， QPC=QPC。 OPB+OPB+QPC+QPC=180°， OPB+QPC=90°。 BOP+OPB=90°， BOP=CPQ。又 OBP=C=90°， OBP PCQ。OBBPPC。CQ由題意設 BP=

31、t ， AQ=m， BC=11， AC=6，則 PC=11 t ， CQ=6 m6t。 m1 t 211 t 6 （ 0 t 11）。11 t6m66（）點 P 的坐標為（1113 ，6）或（ 11+ 13 ， 6）。33【分析】（）首先過點P 作 PEOA 于 E，易證得 PCE CQA，由勾股定理可求得CQ的長，然后利用相似三角形的對應邊成比例與m1 t211 t6 ，即可求得 t 的值：66過點 P作 PEOA于 E， PEA=QAC=90°。 PCE+EPC=90°。 PCE+QCA=90°， EPC=QCA。 PCE CQA。PEPC 。ACC QPC=

32、PC=11 t ， PE=OB=6， AQ=m，CQ=CQ=6 m，-12精選文庫 ACC Q2AQ 23612m。36611 t。12m6m6tt，即 611t ，6= 6 ，即 36 12m=t 2 。116mt6m3612mt將 m1 t211 t6代入，并化簡，得3t 222 t36=0。解得：66t111 13 ，t211+ 13 。33點 P的坐標為（1113 ， 6）或（ 11+13 ， 6）。33例 3. （ 2012 湖南岳陽3 分） 如圖， ABC 中， AB=AC， D是 AB上的一點，且AD=2 AB，DFBC， E 為 BD的中點若3EFAC， BC=6，則四邊形 D

33、BCF的面積為【答案】 15。【分析】 如圖，過D點作 DGAC，垂足為G，過 A點作 AHBC，垂足為H，AB=AC，點 E 為 BD的 中點，且AD=2 AB，3設 BE=DE=x，則 AD=AF=4x。 DGAC，EFAC，DGEF， AE= DE，即 5x= x，解得 GF=4x 。AFGF4xGF5DFBC， ADF ABC，DF=AD ，即 DF=4x，解得 DF=4。BCAB66x又 DFBC， DFG=C，DF=GF，即 44 x5 。RtDFGRtACH，= 5， 解得 x2 =ACHC6x32在 RtABH中，由勾股定理，得 AH=AB 2BH 236x232= 36 59

34、=9 。2S ABC11BC AH6927。22又 ADF ABC， S SADFABC22DF44， SADF4 27=12BC699 S四邊形DBCFS ABC S ADF 27 1215 。例 4.（ 2011 山東淄博4 分）如圖，正方體的棱長為3，點 M， N 分別在 CD，HE上， CM=1DM， HN=2NE，2HC與 NM的延長線交于點P，則 tan NPH的值為-13精選文庫【答案】1 。3【考點】 正方形的性質，相似三角形的判定和性質，銳角三角函數。【分析】 CM 1 DM， HN 2NE， CM 1 CD， HN 2HE 2CD，2333又 PCM PHN，PCCM1PH

35、HN，即 PH 2CH2CD。2tan NPHHN1 。PH3六、構造特殊四邊形：通過構造平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形等特殊四邊形，應用它們邊、角、對角線、中位線的性質，達到求證（解）的目的。典型例題：例 1.（ 2012 貴州遵義3 分） 如圖，矩形ABCD中， E 是 AD的中點，將 ABE 沿 BE折疊后得到 GBE，延長BG交 CD于 F 點，若 CF=1， FD=2，則 BC的長為【】A3 2B2 6C2 5D2 3【答案】 B。【分析】 過點 E 作 EMBC于 M，交 BF 于 N。四邊形 ABCD是矩形， A=ABC=90°， AD=BC， EMB=90

36、76;，四邊形 ABME是矩形。 AE=BM，由折疊的性質得： AE=GE， EGN=A=90°， EG=BM。 ENG=BNM， ENG BNM（AAS）。 NG=NM。E是 AD的中點， CM=DE， AE=ED=BM=CM。EMCD， BN： NF=BM： CM。 BN=NF。 NM= 1 CF=1 。 NG=1 。222BG=AB=CD=CF+DF=3， BN=BG NG=3 15。 BF=2BN=522 BCBF2CF252 1226 。故選 B。例 2.（ 2012 四川德陽3 分）如圖，點D是 ABC的邊 AB的延長線上一點，點F 是邊 BC上的一個動-14精選文庫點（

37、不與點B 重合） . 以 BD、 BF 為鄰邊作平行四邊形BDEF，又 APBE（點 P、 E 在直線 AB的同側），如果1B ，那么的面積與面積之比為【】BDAPBCABC4A. 1B.3C.1D.34554【答案】 D。【分析】 過點 P 作 PHBC交 AB于 H，連接 CH， PF， PE。APBE，四邊形APEB-15精選文庫是平行四邊形。 PEAB。，四邊形BDEF是平行四邊形， EFBD。EFAB。 P， E，F 共線。設 BD=a， BD1 AB ， PE=AB=4a。 PF=PE EF=3a。4PHBC，SHBC=SPBC。 PFAB，四邊形 BFPH是平行四邊形。 BH=P

38、F=3a。SHBC： SABC=BH：AB=3a： 4a=3： 4，SPBC： SABC=3： 4。故選D。例 3. （ 2012 安徽省 5 分）如圖， P 是矩形 ABCD內的任意一點，連接PA、PB、 PC、PD，得到 PAB、 PBC、 PCD、PDA，設它們的面積分別是S1、 S2、 S3、 S4，給出如下結論：S1+S2=S3+S4 S2+S4= S1+ S3若 S=2 S ，則 S=2 S2若 S = S ，則 P 點在矩形的對角線上31412其中正確的結論的序號是（把所有正確結論的序號都填在橫線上）.-16精選文庫【答案】 。【分析】 如圖，過點P 分別作四個三角形的高， AP

39、D以 AD為底邊， PBC 以 BC為底邊，此時兩三角形的高的和為AB，S1+S3= 1 S 矩形 ABCD；2同理可得出S2+S4= 1 S 矩形 ABCD。2 S2+S4= S 1+ S 3 正確，則 S1+S2=S3+S4 錯誤。若 S3=2 S 1，只能得出 APD 與 PBC高度之比， S4 不一定等于 2S2；故結論錯誤。如圖，若S1=S2，則 1 ×PF×AD= 1 ×PE×AB，22 APD與 PBA高度之比為： PF： PE =AB： AD 。 DAE=PEA=PFA=90°，四邊形AEPF是矩形，矩形 AEPF矩形ABCD。連接 AC。 PF： CD =PE ： BC=AP： AC，即 PF： CD =AF ： AD=AP： AC。 APF ACD。 PAF=CAD。點A、 P、 C共線。P 點在矩形的對角線上。故結論正確。綜上所述，結論和正確。例 4. （ 2012 廣西貴港 8 分） 如圖，在 ABCD中，延長CD到 E，使 DE CD，連接 BE交 AD于點 F，交AC于點 G。（ 1）求證： AF DF；（ 2）若 BC 2AB， DE 1， ABC60°，求 FG的長。【答案】 解：（ 1）證明：如圖 1，連接 BD、 AE，四邊形ABCD是平行四邊形， ABCD，ABC