1、數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)講座之一數(shù)學(xué)建模培訓(xùn)講座之一- Institute of Information Engineering, Information Engineering University 基本內(nèi)容： 1、綜合評(píng)價(jià)方法的基本概念綜合評(píng)價(jià)方法的基本概念； 2、評(píng)價(jià)指標(biāo)的規(guī)范化處理評(píng)價(jià)指標(biāo)的規(guī)范化處理; 3、綜合評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建綜合評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建; 4、動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)方法動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)方法; 5、長(zhǎng)江水質(zhì)的綜合評(píng)價(jià)模型長(zhǎng)江水質(zhì)的綜合評(píng)價(jià)模型.2021-12-73一、一、綜合評(píng)價(jià)方法的基本概念綜合評(píng)價(jià)方法的基本概念 綜合評(píng)價(jià)的問題綜合評(píng)價(jià)的問題: :對(duì)被評(píng)價(jià)對(duì)象所進(jìn)行的客觀、對(duì)被評(píng)價(jià)對(duì)象所

2、進(jìn)行的客觀、公正、合理的全面評(píng)價(jià)。通常的綜合評(píng)價(jià)問題都是公正、合理的全面評(píng)價(jià)。通常的綜合評(píng)價(jià)問題都是有若干個(gè)同類的被評(píng)價(jià)對(duì)象有若干個(gè)同類的被評(píng)價(jià)對(duì)象( (或系統(tǒng)或系統(tǒng)) )，每個(gè)被評(píng)價(jià)，每個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象往往都涉及到多個(gè)屬性（或指標(biāo)）。對(duì)象往往都涉及到多個(gè)屬性（或指標(biāo)）。 綜合評(píng)價(jià)的目的綜合評(píng)價(jià)的目的: :根據(jù)系統(tǒng)的屬性判斷確定這些根據(jù)系統(tǒng)的屬性判斷確定這些系統(tǒng)的運(yùn)行（或發(fā)展）狀況哪個(gè)優(yōu)，哪個(gè)劣，即按系統(tǒng)的運(yùn)行（或發(fā)展）狀況哪個(gè)優(yōu)，哪個(gè)劣，即按優(yōu)劣對(duì)各被評(píng)價(jià)對(duì)象進(jìn)排序或分類。這類問題又稱優(yōu)劣對(duì)各被評(píng)價(jià)對(duì)象進(jìn)排序或分類。這類問題又稱為為多屬性（或多指標(biāo)）的綜合評(píng)價(jià)問題多屬性（或多指標(biāo)）的綜合評(píng)價(jià)問題

3、。 綜合評(píng)價(jià)的應(yīng)用綜合評(píng)價(jià)的應(yīng)用: :研究多目標(biāo)決策問題的前提，研究多目標(biāo)決策問題的前提，因此研究解決這類問題在實(shí)際中是很有意義的，特因此研究解決這類問題在實(shí)際中是很有意義的，特別是在政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)及軍事管理、工程技術(shù)及別是在政治、經(jīng)濟(jì)、社會(huì)及軍事管理、工程技術(shù)及科學(xué)決策等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用價(jià)值。科學(xué)決策等領(lǐng)域都有重要的應(yīng)用價(jià)值。 2021-12-74 構(gòu)成綜合評(píng)價(jià)問題的構(gòu)成綜合評(píng)價(jià)問題的五個(gè)要素五個(gè)要素分別為分別為: :被評(píng)價(jià)對(duì)被評(píng)價(jià)對(duì)象、評(píng)價(jià)指標(biāo)、權(quán)重系數(shù)、綜合評(píng)價(jià)模型和評(píng)價(jià)者。象、評(píng)價(jià)指標(biāo)、權(quán)重系數(shù)、綜合評(píng)價(jià)模型和評(píng)價(jià)者。一、一、綜合評(píng)價(jià)方法的基本概念綜合評(píng)價(jià)方法的基本概念 1 1 構(gòu)

4、成綜合評(píng)價(jià)問題的五個(gè)要素構(gòu)成綜合評(píng)價(jià)問題的五個(gè)要素 （1）被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象 被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象就就是是綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)問問題題中中所所研研究究的的對(duì)對(duì)象象，或或稱稱為為系系統(tǒng)統(tǒng)。通通常常情情況況下下，在在一一個(gè)個(gè)問問題題中中被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象是是屬屬于于同同一一類類的的，且且個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)要要大大于于 1 1，不不妨妨假假設(shè)設(shè)一一個(gè)個(gè)綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)問問題題中中有有n個(gè)個(gè)被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象（或或系系統(tǒng)統(tǒng)） ，分分別別記記為為12,(1)nS SS n。 2021-12-75評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)體體系系應(yīng)應(yīng)遵遵守守的的原原則則：系系統(tǒng)統(tǒng)性性、科科學(xué)學(xué)性性、可可比比性性、可可測(cè)測(cè)性性（即即可可觀觀

5、測(cè)測(cè)性性）和和獨(dú)獨(dú)立立性性。這這里里不不妨妨設(shè)設(shè)系系統(tǒng)統(tǒng)有有m個(gè)個(gè)評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo) （或或?qū)賹傩孕裕?， 分分別別記記為為12,(1)mx xxm， 即即評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)向向量量為為12( ,)Tmx xxx。 1 1 構(gòu)成綜合評(píng)價(jià)問題的五個(gè)要素構(gòu)成綜合評(píng)價(jià)問題的五個(gè)要素 （2 2）評(píng)價(jià)指標(biāo)）評(píng)價(jià)指標(biāo) 評(píng)價(jià)指標(biāo)評(píng)價(jià)指標(biāo)是反映被評(píng)價(jià)對(duì)象是反映被評(píng)價(jià)對(duì)象( (或系統(tǒng)或系統(tǒng)) )的運(yùn)行的運(yùn)行( (或發(fā)展或發(fā)展) )狀況狀況的基本要素。通常的問題都是有多項(xiàng)指標(biāo)構(gòu)成，每一項(xiàng)指標(biāo)都的基本要素。通常的問題都是有多項(xiàng)指標(biāo)構(gòu)成，每一項(xiàng)指標(biāo)都是從不同的側(cè)面刻畫系統(tǒng)所具有某種特征大小的一個(gè)度量。是從不同的側(cè)面刻畫系

6、統(tǒng)所具有某種特征大小的一個(gè)度量。 一個(gè)綜合評(píng)價(jià)問題的評(píng)價(jià)指標(biāo)一般可用一個(gè)一個(gè)綜合評(píng)價(jià)問題的評(píng)價(jià)指標(biāo)一般可用一個(gè)向量向量表示，其表示，其中每一個(gè)分量就是從一個(gè)側(cè)面反映系統(tǒng)的狀態(tài)，即稱為中每一個(gè)分量就是從一個(gè)側(cè)面反映系統(tǒng)的狀態(tài)，即稱為綜合評(píng)綜合評(píng)價(jià)的指標(biāo)體系價(jià)的指標(biāo)體系。 2021-12-76 注意到注意到: :當(dāng)各被評(píng)價(jià)對(duì)象和評(píng)價(jià)指標(biāo)值都確定以后，當(dāng)各被評(píng)價(jià)對(duì)象和評(píng)價(jià)指標(biāo)值都確定以后，問題的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果就完全依賴于權(quán)重系數(shù)的取值了，問題的綜合評(píng)價(jià)結(jié)果就完全依賴于權(quán)重系數(shù)的取值了，即權(quán)重系數(shù)確定的合理與否，直接關(guān)系到綜合評(píng)價(jià)結(jié)果即權(quán)重系數(shù)確定的合理與否，直接關(guān)系到綜合評(píng)價(jià)結(jié)果的可信度，甚至影響到最

7、后決策的正確性。的可信度，甚至影響到最后決策的正確性。1 1 構(gòu)成綜合評(píng)價(jià)問題的五個(gè)要素構(gòu)成綜合評(píng)價(jià)問題的五個(gè)要素 （3）權(quán)重系數(shù)）權(quán)重系數(shù) 每一綜合評(píng)價(jià)的問題都有相應(yīng)的評(píng)價(jià)目的，針對(duì)某每一綜合評(píng)價(jià)的問題都有相應(yīng)的評(píng)價(jià)目的，針對(duì)某種評(píng)價(jià)目的，各評(píng)價(jià)指標(biāo)之間的相對(duì)重要性是不同的，種評(píng)價(jià)目的，各評(píng)價(jià)指標(biāo)之間的相對(duì)重要性是不同的，評(píng)價(jià)指標(biāo)之間的這種相對(duì)重要性的大小可以用權(quán)重系數(shù)評(píng)價(jià)指標(biāo)之間的這種相對(duì)重要性的大小可以用權(quán)重系數(shù)來刻畫。如果用來刻畫。如果用jw來表示評(píng)價(jià)指標(biāo)來表示評(píng)價(jià)指標(biāo)(1,2,)jxjm的的權(quán)重系數(shù)，則應(yīng)有權(quán)重系數(shù)，則應(yīng)有0(1,2,)jwjm，且，且11mjjw。 2021-12-

8、77 （4 4）綜合評(píng)價(jià)模型）綜合評(píng)價(jià)模型 對(duì)于多指標(biāo)（或多因素）的綜合評(píng)價(jià)問題對(duì)于多指標(biāo)（或多因素）的綜合評(píng)價(jià)問題, ,就是要就是要通過建立合適的綜合評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型將多個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)綜合通過建立合適的綜合評(píng)價(jià)數(shù)學(xué)模型將多個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)綜合成為一個(gè)整體的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，作為綜合評(píng)價(jià)的依據(jù)，成為一個(gè)整體的綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)，作為綜合評(píng)價(jià)的依據(jù)，從而得到相應(yīng)的評(píng)價(jià)結(jié)果。從而得到相應(yīng)的評(píng)價(jià)結(jié)果。不不妨妨假假設(shè)設(shè)n個(gè)個(gè)被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象的的m個(gè)個(gè)評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)向向量量為為12( ,)Tmx xxx，指指標(biāo)標(biāo)權(quán)權(quán)重重向向量量為為12(,)Tmw www，由由此此構(gòu)構(gòu)造造綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)函函數(shù)數(shù)為為( , )yfw x

9、。 如如果果已已知知各各評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)的的n個(gè)個(gè)觀觀測(cè)測(cè)值值為為 (1,2, , ;ijxin 1,2, , )jm，則則可可以以計(jì)計(jì)算算出出各各系系統(tǒng)統(tǒng)的的綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)值值( )( ,)iiyfw x，( )12( , ,)iTiiimx xxx(1,2, , )in。根根據(jù)據(jù)(1,2, )iy in值值的的大大小小將將這這n個(gè)個(gè)系系統(tǒng)統(tǒng)進(jìn)進(jìn)行行排排序序或或分分類類，即即得得到到綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)結(jié)結(jié)果果。 2021-12-78 （5 5）評(píng)價(jià)者）評(píng)價(jià)者 評(píng)價(jià)者是直接參與評(píng)價(jià)的人，可以是某一個(gè)人，評(píng)價(jià)者是直接參與評(píng)價(jià)的人，可以是某一個(gè)人，也可以是一個(gè)團(tuán)體。對(duì)于評(píng)價(jià)目的選擇、評(píng)價(jià)指標(biāo)體也可

10、以是一個(gè)團(tuán)體。對(duì)于評(píng)價(jià)目的選擇、評(píng)價(jià)指標(biāo)體系確定、評(píng)價(jià)模型的建立和權(quán)重系數(shù)的確定都與評(píng)價(jià)系確定、評(píng)價(jià)模型的建立和權(quán)重系數(shù)的確定都與評(píng)價(jià)者有關(guān)。者有關(guān)。 綜合評(píng)價(jià)的一般步驟：綜合評(píng)價(jià)的一般步驟： 明確評(píng)價(jià)目的；確定被評(píng)價(jià)對(duì)象；建立評(píng)價(jià)指標(biāo)明確評(píng)價(jià)目的；確定被評(píng)價(jià)對(duì)象；建立評(píng)價(jià)指標(biāo)體系（包括評(píng)價(jià)指標(biāo)的原始值、評(píng)價(jià)指標(biāo)的若干預(yù)處體系（包括評(píng)價(jià)指標(biāo)的原始值、評(píng)價(jià)指標(biāo)的若干預(yù)處理等）；確定與各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)相對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)；選理等）；確定與各項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)相對(duì)應(yīng)的權(quán)重系數(shù)；選擇或構(gòu)造綜合評(píng)價(jià)模型；計(jì)算各系統(tǒng)的綜合評(píng)價(jià)值擇或構(gòu)造綜合評(píng)價(jià)模型；計(jì)算各系統(tǒng)的綜合評(píng)價(jià)值, ,并給出綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。并給出綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。 1

11、 1 構(gòu)成綜合評(píng)價(jià)問題的五個(gè)要素構(gòu)成綜合評(píng)價(jià)問題的五個(gè)要素 返回返回2021-12-79 1. 評(píng)價(jià)指標(biāo)類型的一致化評(píng)價(jià)指標(biāo)類型的一致化 極大型指標(biāo)極大型指標(biāo): :總是期望指標(biāo)的取值越大越好；總是期望指標(biāo)的取值越大越好； 極小型指標(biāo)極小型指標(biāo): :總是期望指標(biāo)的取值越小越好；總是期望指標(biāo)的取值越小越好； 中間型指標(biāo)中間型指標(biāo): :總是期望指標(biāo)的取值既不要太大，也不要總是期望指標(biāo)的取值既不要太大，也不要太小為好，即取適當(dāng)?shù)闹虚g值為最好太小為好，即取適當(dāng)?shù)闹虚g值為最好; ; 區(qū)間型指標(biāo)區(qū)間型指標(biāo): :總是期望指標(biāo)的取值最好是落在某一個(gè)確總是期望指標(biāo)的取值最好是落在某一個(gè)確定的區(qū)間內(nèi)為最好。定的區(qū)間

12、內(nèi)為最好。 二、評(píng)價(jià)指標(biāo)的規(guī)范化處理二、評(píng)價(jià)指標(biāo)的規(guī)范化處理 一一般般說說來來，在在評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)12,(1)mx xxm 中中可可能能包包含含有有“極極大大型型”指指標(biāo)標(biāo)、 “極極小小型型”指指標(biāo)標(biāo)、 “中中間間型型”指指標(biāo)標(biāo)和和“區(qū)區(qū)間間型型”指指標(biāo)標(biāo)。 2021-12-710（1） 極極小小型型指指標(biāo)標(biāo): 對(duì)對(duì)于于某某個(gè)個(gè)極極小小型型指指標(biāo)標(biāo)x， 則則通通過過變變換換1(0)xxx , ,或或變變換換xMx , ,其其中中M為為指指標(biāo)標(biāo)x的的可可能能取取值值的的最最大大值值，即即可可將將指指標(biāo)標(biāo)x極極大大化化。 1. 評(píng)價(jià)指標(biāo)類型的一致化評(píng)價(jià)指標(biāo)類型的一致化 （2）中中間間型型指指標(biāo)標(biāo)

13、: 對(duì)對(duì)于于某某個(gè)個(gè)中中間間型型指指標(biāo)標(biāo)x，則則通通過過變變換換 2()1,()22()1,()2xmmxMmMmxMxMmxMMm 其其中中M和和m分分別別為為指指標(biāo)標(biāo)x的的可可能能取取值值的的最最大大值值和和最最小小值值，即即可可將將中中間間型型指指標(biāo)標(biāo)x極極大大化化。 2021-12-711 1. 評(píng)價(jià)指標(biāo)類型的一致化評(píng)價(jià)指標(biāo)類型的一致化 （3）區(qū)區(qū)間間型型指指標(biāo)標(biāo) 對(duì)對(duì)于于某某個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間型型指指標(biāo)標(biāo)x，則則通通過過變變換換 1,1,1,axxacxaxbx bxbc 其其中中 , a b為為指指標(biāo)標(biāo)x的的最最佳佳穩(wěn)穩(wěn)定定的的區(qū)區(qū)間間，max,ca m Mb，M和和m分分別別為為指指標(biāo)

14、標(biāo)x的的可可能能取取值值的的最最大大值值和和最最小小值值。即即可可將將區(qū)區(qū)間間型型指指標(biāo)標(biāo)x極極大大化化。 2021-12-712 2. 評(píng)價(jià)指標(biāo)的無量綱化評(píng)價(jià)指標(biāo)的無量綱化 二、評(píng)價(jià)指標(biāo)的規(guī)范化處理二、評(píng)價(jià)指標(biāo)的規(guī)范化處理 在在實(shí)實(shí)際際中中的的評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)12,(1)mx xxm之之間間，往往往往都都存存在在著著各各自自不不同同的的單單位位和和數(shù)數(shù)量量級(jí)級(jí)，使使得得這這些些指指標(biāo)標(biāo)之之間間存存在在著著不不可可公公度度性性，這這就就為為綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)帶帶來來了了困困難難，尤尤其其是是為為綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)建建立立和和依依據(jù)據(jù)這這個(gè)個(gè)指指標(biāo)標(biāo)的的大大小小排排序序產(chǎn)產(chǎn)生生不不合合理理性

15、性。 如果不對(duì)這些指標(biāo)作相應(yīng)的無量綱處理，則在綜合評(píng)如果不對(duì)這些指標(biāo)作相應(yīng)的無量綱處理，則在綜合評(píng)價(jià)過程中就會(huì)出價(jià)過程中就會(huì)出“大數(shù)吃小數(shù)大數(shù)吃小數(shù)”的錯(cuò)誤結(jié)果，從而導(dǎo)致最的錯(cuò)誤結(jié)果，從而導(dǎo)致最后得到錯(cuò)誤的評(píng)價(jià)結(jié)論。后得到錯(cuò)誤的評(píng)價(jià)結(jié)論。 無量綱化處理又稱為指標(biāo)數(shù)據(jù)的無量綱化處理又稱為指標(biāo)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化標(biāo)準(zhǔn)化,或或規(guī)范化規(guī)范化處理。處理。 常用方法常用方法:標(biāo)準(zhǔn)差方法、極值差方法和功效系數(shù)方法等。標(biāo)準(zhǔn)差方法、極值差方法和功效系數(shù)方法等。 2021-12-713 2. 評(píng)價(jià)指標(biāo)的無量綱化評(píng)價(jià)指標(biāo)的無量綱化 假假設(shè)設(shè)m個(gè)個(gè)評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)12,mx xx，在在此此不不妨妨假假設(shè)設(shè)已已進(jìn)進(jìn)行行了了類類

16、 型型 的的 一一 致致 化化 處處 理理 ， 并并 都都 有有n組組 樣樣 本本 觀觀 測(cè)測(cè) 值值(1,2, ;1,2, )ijx in jm，則則將將其其作作無無量量綱綱化化處處理理。 （1）標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)差差方方法法: 令令ijjijjxxxs (1,2, ;1,2, )in jm， 其其中中1221111,() (1,2, )nnjijjijjiixx sxxjmnn。 顯顯然然指指標(biāo)標(biāo)(1,2, ;1,2, )ijx in jm的的均均值值和和均均方方差差分分別別為為0 0和和1 1，即即0,1ijx 是是無無量量綱綱的的指指標(biāo)標(biāo)，稱稱之之為為ijx的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)觀觀測(cè)測(cè)值值。 2021-1

17、2-714 2. 評(píng)價(jià)指標(biāo)的無量綱化評(píng)價(jià)指標(biāo)的無量綱化 （2）極極值值差差方方法法: 令令ijjijjjxmxMm (1,2, ;1,2, )in jm， 其其中中11max ,min (1,2, )jijjiji ni nMxmxjm 。則則0,1ijx 是是無無量量綱綱的的指指標(biāo)標(biāo)觀觀測(cè)測(cè)值值。 （3）功功效效系系數(shù)數(shù)法法: 令令ijjijjjxmxcdMm (1,2, , ;1,2, , )in jm， 其其中中, c d均均為為確確定定的的常常數(shù)數(shù)。c表表示示 “平平移移量量” ，d表表示示 “旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)量量” ，即即表表示示“放放大大”或或“縮縮小小”倍倍數(shù)數(shù)，則則 ,ijxc c d

18、 。 譬譬如如若若取取60,40cd，則則60,100ijx 。 返回返回2021-12-715三、綜合評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型三、綜合評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型 為為了了全全面面地地綜綜合合分分析析評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)n個(gè)個(gè)系系統(tǒng)統(tǒng)（被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象）的的運(yùn)運(yùn)行行（或或發(fā)發(fā)展展）狀狀況況，如如果果已已知知n個(gè)個(gè)狀狀態(tài)態(tài)向向量量（即即n組組觀觀測(cè)測(cè)值值）( )12( ,)iTiiimx xxx(1,2, )in，則則根根據(jù)據(jù)m個(gè)個(gè)評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)的的實(shí)實(shí)際際影影響響作作用用，確確定定相相應(yīng)應(yīng)的的權(quán)權(quán)重重向向量量12( ,)Tmw www，且且選選擇擇合合適適的的數(shù)數(shù)學(xué)學(xué)方方法法構(gòu)構(gòu)造造綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)函函數(shù)數(shù)（即即綜綜合合

19、評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)模模型型） ( , )yfw x， 由由此此計(jì)計(jì)算算綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)值值( )( ,)(1,2, )iiyfinw x，并并按按(1,2, )iy in取取值值的的大大小小對(duì)對(duì)n個(gè)個(gè)系系統(tǒng)統(tǒng)進(jìn)進(jìn)行行排排序序或或分分類類。 問題問題:如何來構(gòu)造合適的綜合評(píng)價(jià)模型？如何來構(gòu)造合適的綜合評(píng)價(jià)模型？ 2021-12-716 線性加權(quán)綜合法的線性加權(quán)綜合法的適用條件適用條件: :各評(píng)價(jià)指標(biāo)之間各評(píng)價(jià)指標(biāo)之間相互獨(dú)立。相互獨(dú)立。 對(duì)于不完全獨(dú)立的情況采用該方法，其結(jié)果將對(duì)于不完全獨(dú)立的情況采用該方法，其結(jié)果將導(dǎo)致各指標(biāo)間信息的重復(fù)，使得評(píng)價(jià)結(jié)果不能客觀導(dǎo)致各指標(biāo)間信息的重復(fù)，使得評(píng)

20、價(jià)結(jié)果不能客觀地反映實(shí)際。地反映實(shí)際。三、綜合評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型三、綜合評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型 1. 線性加權(quán)綜合法線性加權(quán)綜合法 2021-12-717線性加權(quán)綜合法的線性加權(quán)綜合法的特點(diǎn)：特點(diǎn)： （1 1）該方法能使得各評(píng)價(jià)指標(biāo)間作用得到線性）該方法能使得各評(píng)價(jià)指標(biāo)間作用得到線性補(bǔ)償，保證綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)的公平性；補(bǔ)償，保證綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)的公平性； （2 2）該方法中權(quán)重系數(shù)的對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響明）該方法中權(quán)重系數(shù)的對(duì)評(píng)價(jià)結(jié)果的影響明顯，即權(quán)重較大指標(biāo)值對(duì)綜合指標(biāo)作用較大；顯，即權(quán)重較大指標(biāo)值對(duì)綜合指標(biāo)作用較大； （3 3）當(dāng)權(quán)重系數(shù)預(yù)先給定時(shí)，該方法使評(píng)價(jià)結(jié)）當(dāng)權(quán)重系數(shù)預(yù)先給定時(shí)，該方法使評(píng)價(jià)結(jié)果對(duì)于各備選

21、方案之間的差異表現(xiàn)不敏感；果對(duì)于各備選方案之間的差異表現(xiàn)不敏感； （4 4）該方法計(jì)算簡(jiǎn)便，可操作性強(qiáng)，便于推廣）該方法計(jì)算簡(jiǎn)便，可操作性強(qiáng)，便于推廣使用。使用。 1. 線性加權(quán)綜合法線性加權(quán)綜合法 2021-12-718 2. 非非線性加權(quán)綜合法線性加權(quán)綜合法 非非線線性性加加權(quán)權(quán)綜綜合合法法: : 用用非非線線性性函函數(shù)數(shù)mjwjjxy1作作為為綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)模模型型， 對(duì)對(duì)n個(gè)個(gè)系系統(tǒng)統(tǒng)進(jìn)進(jìn)行行綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)。 其其中中jw為為權(quán)權(quán)系系數(shù)數(shù)，且且要要求求1jx。 非非線線性性加加權(quán)權(quán)綜綜合合法法適適用用于于各各指指標(biāo)標(biāo)間間有有較較強(qiáng)強(qiáng)關(guān)關(guān)聯(lián)聯(lián)的的情情況況。 非線性加權(quán)綜合法的特點(diǎn)：非

22、線性加權(quán)綜合法的特點(diǎn)：（1 1）該方法突出了各備選方案指標(biāo)值的一致性，即可以平）該方法突出了各備選方案指標(biāo)值的一致性，即可以平衡評(píng)價(jià)指標(biāo)值較小的指標(biāo)影響的作用；衡評(píng)價(jià)指標(biāo)值較小的指標(biāo)影響的作用；（2 2）在綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)中權(quán)重系數(shù)大小的影響作用不是特別）在綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)中權(quán)重系數(shù)大小的影響作用不是特別明顯，而對(duì)指標(biāo)值的大小差異相對(duì)較敏感；明顯，而對(duì)指標(biāo)值的大小差異相對(duì)較敏感；（3 3）要求所有的評(píng)價(jià)指標(biāo)值（無量綱）都大于或等于）要求所有的評(píng)價(jià)指標(biāo)值（無量綱）都大于或等于1 1；（4 4）非線性加權(quán)綜合法相對(duì)線性加法計(jì)算復(fù)雜。）非線性加權(quán)綜合法相對(duì)線性加法計(jì)算復(fù)雜。2021-12-719三、綜合評(píng)價(jià)

23、的數(shù)學(xué)模型三、綜合評(píng)價(jià)的數(shù)學(xué)模型 3. 逼近理想點(diǎn)（逼近理想點(diǎn)（TOPSISTOPSIS）方法）方法 實(shí)實(shí)際際中中，經(jīng)經(jīng)常常會(huì)會(huì)遇遇到到這這樣樣的的一一類類綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)問問題題，即即首首先先設(shè)設(shè)定定系系統(tǒng)統(tǒng)的的一一個(gè)個(gè)理理想想（樣樣本本）點(diǎn)點(diǎn)),(*2*1mxxx，然然后后對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象與與理理想想點(diǎn)點(diǎn)進(jìn)進(jìn)行行比比較較。如如果果某某一一個(gè)個(gè)被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象),(21imiixxx在在某某種種意意義義下下與與理理想想點(diǎn)點(diǎn)),(*2*1mxxx最最接接近近，則則可可以以認(rèn)認(rèn)為為被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象),(21imiixxx就就是是最最好好的的。 基基于于這這種種思思

24、想想的的綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)方方法法稱稱為為逼逼近近理理想想點(diǎn)點(diǎn)的的排排序序方方法法（T Th he e t te ec ch hn ni iq qu ue e f fo or r o or rd de er r p pr re ef fe er re en nc ce e b by y s si im mi il la ar ri it ty y t to o i id de ea al l s so ol lu ut ti io on n，簡(jiǎn)簡(jiǎn)稱稱為為T TO OP PS SI IS S） 。 2021-12-720 3. 逼近理想點(diǎn)（逼近理想點(diǎn)（TOPSISTOPSIS）方法）方法 假假設(shè)設(shè)

25、理理想想點(diǎn)點(diǎn)（系系統(tǒng)統(tǒng)）為為),(*2*1mxxx，對(duì)對(duì)于于一一個(gè)個(gè)被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象),(21imiixxx，定定義義二二者者之之間間的的加加權(quán)權(quán)距距離離為為 nixxfwymjjijji, 2 , 1, )(1*， 其其中中jw為為權(quán)權(quán)系系數(shù)數(shù)，),(*jijxxf為為ijx與與*jx之之間間的的某某種種意意義義下下距距離離。 通通常常情情況況下下可可取取簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單的的歐歐氏氏距距離離，即即取取2*)(),(jijjijxxxxf，則則綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)函函數(shù)數(shù)為為nixxwymjjijji, 2 , 1,)(12*。 經(jīng)經(jīng)過過計(jì)計(jì)算算，按按照照), 2 , 1(niyi值值的的大大小小對(duì)對(duì)

26、各各被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)方方案案進(jìn)進(jìn)行行排排序序選選優(yōu)優(yōu)，顯顯然然是是其其值值越越小小方方案案就就越越好好。特特別別地地，當(dāng)當(dāng)某某個(gè)個(gè)0iy時(shí)時(shí)，即即達(dá)達(dá)到到了了理理想想點(diǎn)點(diǎn)，則則對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的方方案案就就是是最最優(yōu)優(yōu)的的。 返回返回2021-12-721 2005 2005年中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的年中國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽的A A題：題：“長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)長(zhǎng)江水質(zhì)的評(píng)價(jià)和預(yù)測(cè)價(jià)和預(yù)測(cè)”問題的第一部份給出了問題的第一部份給出了1717個(gè)觀測(cè)站（城市）的最個(gè)觀測(cè)站（城市）的最近近2828個(gè)月的實(shí)際檢測(cè)指標(biāo)數(shù)據(jù)，包括反映水質(zhì)污染程度的最個(gè)月的實(shí)際檢測(cè)指標(biāo)數(shù)據(jù)，包括反映水質(zhì)污染程度的最主要的四項(xiàng)指標(biāo)：溶解氧（主要

27、的四項(xiàng)指標(biāo)：溶解氧（DODO）、高錳酸鹽指數(shù)（）、高錳酸鹽指數(shù)（CODMnCODMn）、）、氨氮氨氮(NH3-N) (NH3-N) 和和PHPH值，要求綜合這四種污染指標(biāo)的值，要求綜合這四種污染指標(biāo)的2828個(gè)月的個(gè)月的檢測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)檢測(cè)數(shù)據(jù)對(duì)1717個(gè)城市的水質(zhì)情況做出綜合評(píng)價(jià)。個(gè)城市的水質(zhì)情況做出綜合評(píng)價(jià)。 1. 動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)問題的提法動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)問題的提法 在以上在以上綜合加權(quán)評(píng)價(jià)方法中，關(guān)于權(quán)值綜合加權(quán)評(píng)價(jià)方法中，關(guān)于權(quán)值(1,2,)jwjm都是屬于都是屬于定常權(quán)定常權(quán)，即權(quán)值均為常數(shù)。，即權(quán)值均為常數(shù)。雖然這種方法簡(jiǎn)單易行，雖然這種方法簡(jiǎn)單易行，對(duì)某些較簡(jiǎn)單的實(shí)際問題也是可行的，

28、但是主觀性強(qiáng)、科學(xué)性對(duì)某些較簡(jiǎn)單的實(shí)際問題也是可行的，但是主觀性強(qiáng)、科學(xué)性差，有些時(shí)候不能很好地為決策提供有效的依據(jù)。差，有些時(shí)候不能很好地為決策提供有效的依據(jù)。 2021-12-722 根據(jù)國(guó)標(biāo)（根據(jù)國(guó)標(biāo)（GB 3838GB 383820022002）的規(guī)定，關(guān)于地表水的水）的規(guī)定，關(guān)于地表水的水質(zhì)可分為質(zhì)可分為類、類、類、類、類、類、類、類、類、劣類、劣類共六個(gè)類類共六個(gè)類別，每一個(gè)類別對(duì)每一項(xiàng)指標(biāo)都有相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值（區(qū)間），別，每一個(gè)類別對(duì)每一項(xiàng)指標(biāo)都有相應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)值（區(qū)間），只要有一項(xiàng)指標(biāo)達(dá)到高類別的標(biāo)準(zhǔn)就算是高類別的水質(zhì)，所只要有一項(xiàng)指標(biāo)達(dá)到高類別的標(biāo)準(zhǔn)就算是高類別的水質(zhì)，所以實(shí)際中以實(shí)

29、際中不同類別的水質(zhì)有很大的差別不同類別的水質(zhì)有很大的差別，而且，而且同一類別的水同一類別的水在污染物的含量上也有一定的差別在污染物的含量上也有一定的差別。 在對(duì)在對(duì)1717個(gè)城市的水質(zhì)做綜合評(píng)價(jià)時(shí)，要充分考慮這些指?jìng)€(gè)城市的水質(zhì)做綜合評(píng)價(jià)時(shí)，要充分考慮這些指標(biāo)值不同類別水的標(biāo)值不同類別水的“質(zhì)的差異質(zhì)的差異”和同類別水的和同類別水的“量的差異量的差異”, ,在此簡(jiǎn)稱為在此簡(jiǎn)稱為“質(zhì)差質(zhì)差”和和“量差量差”。因此，這是一個(gè)較復(fù)。因此，這是一個(gè)較復(fù)雜的多因素多屬性的綜合評(píng)價(jià)問題。雜的多因素多屬性的綜合評(píng)價(jià)問題。 1. 動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)問題的提法動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)問題的提法 2021-12-723 動(dòng)態(tài)

30、加權(quán)綜合評(píng)價(jià)問題的一般提法：動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)問題的一般提法： 現(xiàn)現(xiàn)設(shè)設(shè)有有n個(gè)個(gè)被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象 （或或系系統(tǒng)統(tǒng)） ， 分分別別記記為為12,(1)nS SS n， 每每個(gè)個(gè)系系統(tǒng)統(tǒng)都都有有m屬屬性性（或或評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)） ，分分別別記記為為12,(1)mx xx m，對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)屬屬性性ix都都可可以以分分為為K個(gè)個(gè)等等級(jí)級(jí)，記記為為12,Kp pp (1)K。而而對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)等等級(jí)級(jí)kp都都包包含含一一個(gè)個(gè)區(qū)區(qū)間間范范圍圍，記記為為( )( ),)iikkab，且且( )( )iikkab(1,2, ;1,2, )im kK，即即當(dāng)當(dāng)屬屬性性( )( ),)iiikk

31、xab時(shí)時(shí)，則則屬屬性性ix屬屬于于第第k類類kp(1)kK 。也也就就是是對(duì)對(duì)于于每每一一個(gè)個(gè)屬屬性性而而言言， 既既有有不不同同類類別別的的差差異異，同同類類別別的的又又有有不不同同量量值值的的差差異異。對(duì)對(duì)于于這這種種既既有有“質(zhì)質(zhì)差差” ，又又有有 “量量差差” 的的問問題題， 如如果果用用通通常常的的定定常常權(quán)權(quán)綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)法法做做綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)顯顯然然是是不不合合理理的的，然然而而合合理理有有效效的的方方法法是是動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)加加權(quán)權(quán)綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)方方法法。 2021-12-724 根據(jù)這個(gè)問題的實(shí)際背景和綜合評(píng)價(jià)的一般原則，根據(jù)這個(gè)問題的實(shí)際背景和綜合評(píng)價(jià)的一般原則，解決問題的

32、解決問題的主要過程分三步完成主要過程分三步完成：將各評(píng)價(jià)指標(biāo)作標(biāo)準(zhǔn)化處理；將各評(píng)價(jià)指標(biāo)作標(biāo)準(zhǔn)化處理；根據(jù)各屬性的特性構(gòu)造動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)；根據(jù)各屬性的特性構(gòu)造動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)；構(gòu)建問題的綜合評(píng)價(jià)模型，并做出評(píng)價(jià)。構(gòu)建問題的綜合評(píng)價(jià)模型，并做出評(píng)價(jià)。 實(shí)際中問題的評(píng)價(jià)指標(biāo)可能有極大型的、極小型實(shí)際中問題的評(píng)價(jià)指標(biāo)可能有極大型的、極小型的、中間型，或區(qū)間型的四種情況，也有時(shí)各有不同的、中間型，或區(qū)間型的四種情況，也有時(shí)各有不同的量綱，這就需要根據(jù)不同情況分別作標(biāo)準(zhǔn)化處理，的量綱，這就需要根據(jù)不同情況分別作標(biāo)準(zhǔn)化處理，即對(duì)三種不同類型指標(biāo)變換成統(tǒng)一的、無量綱的標(biāo)準(zhǔn)即對(duì)三種不同類型指標(biāo)變換成統(tǒng)一的、無量綱的標(biāo)

33、準(zhǔn)化指標(biāo)。化指標(biāo)。 2. 動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)的一般方法動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)的一般方法 2021-12-7252.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理評(píng)價(jià)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理 2. 動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)的一般方法動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)的一般方法 (1) 極極大大型型指指標(biāo)標(biāo)的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化 如如果果指指標(biāo)標(biāo)ix為為極極大大型型指指標(biāo)標(biāo)，首首先先要要將將數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)指指標(biāo)標(biāo)作作極極小小化化處處理理，即即通通過過倒倒數(shù)數(shù)變變換換1iixx ，或或(max )iiiiixMx Mx 實(shí)實(shí)現(xiàn)現(xiàn)，然然后后再再作作極極差差變變換換將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化，即即令令 (1)iiiiixmximMm ， 其其中中min ,max iiiimx

34、Mx。則則ix被被化化為為無無量量綱綱的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化指指標(biāo)標(biāo)，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的分分類類區(qū)區(qū)間間也也隨隨之之相相應(yīng)應(yīng)地地變變化化，在在這這里里為為了了方方便便仍仍記記為為 ( )( ),) (1,2,;1)iikkabkKim 。 2021-12-726（2 2） 中間型指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化中間型指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化 對(duì)于中間型指標(biāo)，即越靠近某個(gè)中間值評(píng)價(jià)效果越好。如果指對(duì)于中間型指標(biāo)，即越靠近某個(gè)中間值評(píng)價(jià)效果越好。如果指標(biāo)標(biāo)ix是關(guān)于均值對(duì)稱的，則用變換是關(guān)于均值對(duì)稱的，則用變換 (1)iiiixxximx ， 其中其中1(),min ,max 2iiiiiiixMmmxMx。 否則， 取某一。 否則， 取某

35、一個(gè)理想值個(gè)理想值(0)(,)iiixm M，則令，則令 (0)(1)iiiixxximx . . 可將其指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化，相應(yīng)的分類區(qū)間也隨之變化，同樣仍記為可將其指標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)化，相應(yīng)的分類區(qū)間也隨之變化，同樣仍記為 ( )( ),) (1,2,;1)iikkabkKim 。 2.1 評(píng)價(jià)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理評(píng)價(jià)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)化處理 2021-12-727 考慮到評(píng)價(jià)指標(biāo)的考慮到評(píng)價(jià)指標(biāo)的“質(zhì)差質(zhì)差”與與“量差量差”的關(guān)系，的關(guān)系，在確定綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí)，既要能體現(xiàn)不同類型指標(biāo)在確定綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)時(shí)，既要能體現(xiàn)不同類型指標(biāo)之間的差異，也要能體現(xiàn)同類型指標(biāo)的數(shù)量差異。之間的差異，也要能體現(xiàn)同類型指標(biāo)的數(shù)量差異。 根

36、據(jù)實(shí)際問題具體取什么樣的根據(jù)實(shí)際問題具體取什么樣的動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)，主要是從實(shí)際問題出發(fā)分析確定。主要是從實(shí)際問題出發(fā)分析確定。 對(duì)于不同的指標(biāo)可以取相同的權(quán)函數(shù)，也可以對(duì)于不同的指標(biāo)可以取相同的權(quán)函數(shù)，也可以取不同的權(quán)函數(shù)。取不同的權(quán)函數(shù)。 2.2 動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定 2. 動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)的一般方法動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)的一般方法 hzg:2.2 動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定 （1） 分分段段變變冪冪函函數(shù)數(shù) 如如果果某某項(xiàng)項(xiàng)評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)ix對(duì)對(duì)于于綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)效效果果的的影影響響大大約約是是隨隨著著類類別別(1,2,)kp kK的的增增加加而而按按正正

37、冪冪次次增增加加，同同時(shí)時(shí)在在某某一一類類中中隨隨著著指指標(biāo)標(biāo)值值的的增增加加按按相相應(yīng)應(yīng)的的一一個(gè)個(gè)冪冪函函數(shù)數(shù)增增加加，則則對(duì)對(duì)指指標(biāo)標(biāo)ix可可以以設(shè)設(shè)定定分分段段 冪冪函函數(shù)數(shù)為為變變權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)。即即 1( )( )( ),(1,2,)iikikkw xxxabkK， 其其中中1im 。 2021-12-7292.2 動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定 （2 2）偏偏大大型型正正態(tài)態(tài)分分布布函函數(shù)數(shù) 如如果果某某項(xiàng)項(xiàng)指指標(biāo)標(biāo)ix對(duì)對(duì)于于綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)效效果果的的影影響響大大約約是是隨隨著著類類別別(1,2,)kp kK的的增增加加，先先是是緩緩慢慢增增加加，中中間間有有一一個(gè)個(gè)快快

38、速速增增長(zhǎng)長(zhǎng)的的過過程程，隨隨后后平平緩緩增增加加趨趨于于最最大大， 相相應(yīng)應(yīng)的的圖圖形形呈呈正正態(tài)態(tài)分分布布曲曲線線 （左左側(cè)側(cè)） 形形狀狀。 那那么么，此此時(shí)時(shí)對(duì)對(duì)指指標(biāo)標(biāo)ix的的變變權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)可可以以設(shè)設(shè)定定為為偏偏大大型型正正態(tài)態(tài)分分布布函函數(shù)數(shù)。即即 20 ,( )1,iiixiixw xex 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), 其其中中參參數(shù)數(shù)i可可取取( )( )11,)iiab中中的的某某 定定值值，在在此此不不妨妨取取( )( )11()/2iiiba， i由由( )()0.9(1)iiKw aim 確確定定。 2021-12-7302.2 動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)的設(shè)定 （3 3）S S

39、 型型分分布布函函數(shù)數(shù) 如如果果某某項(xiàng)項(xiàng)指指標(biāo)標(biāo)ix對(duì)對(duì)于于綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)效效果果的的影影響響大大約約是是隨隨著著類類別別(1,2,)kp kK的的增增加加而而增增加加的的過過程程，呈呈一一條條“S S”曲曲線線，那那么么，此此時(shí)時(shí)對(duì)對(duì)指指標(biāo)標(biāo)ix的的變變權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)可可以以設(shè)設(shè)定定為為 S S 型型分分布布函函數(shù)數(shù)。即即 2( )( )11( )( )12( )( )( )( )12,( )12,iiiiKiiiKKiiKxaaxcbaw xxbcxbba 其其中中參參數(shù)數(shù)( )( )11(),( )0.52(1)iiKicabw cim 且。 2021-12-7312.3 綜合評(píng)價(jià)模型的

40、構(gòu)建綜合評(píng)價(jià)模型的構(gòu)建 2. 動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)的一般方法動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)的一般方法 以以此此作作為為問問題題的的綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)函函數(shù)數(shù)，如如果果每每個(gè)個(gè)被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象的的 m個(gè)個(gè)屬屬性性都都有有N N 組組樣樣本本觀觀測(cè)測(cè)值值 (1,2, ;1,2,)ijxim jN，代代入入上上式式計(jì)計(jì)算算，則則每每一一個(gè)個(gè)被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象都都有有N N個(gè)個(gè)綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)值值( )(1,2, ;kXjkn 1,2,)jN。由由此此按按其其大大小小排排序序，可可以以給給出出 n個(gè)個(gè)被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象的的N N個(gè)個(gè)排排序序方方案案。 2021-12-7322.3 綜合評(píng)價(jià)模型的構(gòu)

41、建綜合評(píng)價(jià)模型的構(gòu)建 2. 動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)的一般方法動(dòng)態(tài)加權(quán)綜合評(píng)價(jià)的一般方法 返回返回2021-12-733針針對(duì)對(duì)長(zhǎng)長(zhǎng)江江水水質(zhì)質(zhì)的的綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)這這一一問問題題，采采用用動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)加加權(quán)權(quán)綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)方方法法來來解解決決。假假設(shè)設(shè)1 17 7個(gè)個(gè)城城市市為為被被評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)對(duì)對(duì)象象1217,S SS，共共有有四四項(xiàng)項(xiàng)評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)（或或?qū)賹傩孕裕〥 DO O、C CO OD DM Mn n、N NH H3 3- -N N 和和P PH H值值，分分別別記記為為321,xxx和和4x，前前三三項(xiàng)項(xiàng)指指標(biāo)標(biāo)都都有有 6 6 個(gè)個(gè)等等級(jí)級(jí)126,p pp，相相應(yīng)應(yīng)的的分分類類區(qū)區(qū)間間值值

42、如如表表（1 1）所所示示，而而P PH H值值沒沒有有等等級(jí)級(jí)之之分分。 表表（1）: 地地表表水水環(huán)環(huán)境境質(zhì)質(zhì)量量標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn) （G GB B3 38 83 38 82 20 00 02 2）中中 4 個(gè)個(gè)主主要要項(xiàng)項(xiàng)目目標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)限限值值 單單位位：mg/L 指指 標(biāo)標(biāo) 類類 類類 類類 類類 類類 劣劣類類 溶溶解解氧氧( (DO) 7.5,) 6,7.5) 5,6) 3,5) 2,3) 0,2 高高錳錳酸酸鹽鹽指指數(shù)數(shù)( (C CO OD DM Mn n) ) (0,2 (2,4 (4,6 (6,10 (10,15 (15, ) 氨氨氮氮（N NH H3 3- -N N） (0,0.15

43、(0.15,0.5 (0.5,1 (1,1.5 (1.5,2 (2, ) P PH H 值值（無無量量綱綱） 6 , 9 2021-12-734 1. 指標(biāo)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理指標(biāo)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（1）溶溶解解氧氧（DO）的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化 注注意意到到溶溶解解氧氧（D DO O）為為極極大大型型指指標(biāo)標(biāo)，首首先先將將數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)指指標(biāo)標(biāo)作作極極小小化化處處理理，即即令令倒倒數(shù)數(shù)變變換換111xx ，相相應(yīng)應(yīng)的的分分類類標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)區(qū)區(qū)間間變變?yōu)闉?1111 11 11 11(0,(, ,( , ,( , ,( , ,( , )7.57.5 66 55 33 22， 然然后后通通過過極極差差變變換換5 .

44、011xx 將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的分分類類區(qū)區(qū)間間隨隨之之變變?yōu)闉?(0,0.2667,(0.2667,0.3333,(0.3333,0.4,(0.4,0.6667,(0.6667,1,(1, ) 2021-12-735 1. 指標(biāo)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理指標(biāo)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（）高高錳錳酸酸鹽鹽指指數(shù)數(shù)（CODMn）的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化 高高猛猛酸酸鹽鹽指指數(shù)數(shù)本本身身就就是是極極小小型型指指標(biāo)標(biāo)，即即由由極極差差變變換換將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化， 即即令令1522xx , , 對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的分分類類區(qū)區(qū)間間隨隨之之變變?yōu)闉?(0,0.1333,(0.1333,0.2667,(0.2

45、667,0.4,(0.4,0.6667,(0.6667,1,(1, ) （）氨氨氮氮（NH3-N）的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化 氨氨氮氮也也是是極極小小型型指指標(biāo)標(biāo)， 對(duì)對(duì)指指標(biāo)標(biāo)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)作作極極差差變變換換將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化，即即令令233xx ，對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)的的分分類類區(qū)區(qū)間間隨隨之之變變?yōu)闉?(0,0.075,(0.075,0.25,(0.25,0.5,(0.5,0.75,(0.75,1,(1,) 2021-12-736 1. 指標(biāo)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理指標(biāo)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)化處理（）PH值值的的處處理理 酸酸堿堿度度（P PH H 值值）的的大大小小反反映映出出水水質(zhì)質(zhì)呈呈酸酸堿堿性性的的程程度度，通通常

46、常的的水水生生物物都都適適應(yīng)應(yīng)于于中中性性水水質(zhì)質(zhì)， 即即酸酸堿堿度度的的平平衡衡值值 （P PH H值值略略大大于于） ， 在在這這里里不不妨妨取取正正常常值值的的中中值值7 7. .5 5。 當(dāng)當(dāng)P PH H 7 7. .5 5 時(shí)時(shí)偏偏酸酸性性，而而偏偏離離值值越越大大水水質(zhì)質(zhì)就就越越壞壞，P PH H 值值屬屬于于中中間間型型指指標(biāo)標(biāo)。為為此此，對(duì)對(duì)所所有有的的P PH H 值值指指標(biāo)標(biāo)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)作作均均值值差差處處理理，即即令令 5 . 7325 . 15 . 7444xxx， 則則將將其其數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)化化。 2021-12-737 2. 動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)的確定動(dòng)態(tài)加權(quán)函數(shù)的確定 根根

47、據(jù)據(jù)對(duì)對(duì)這這一一實(shí)實(shí)際際問問題題的的分分析析，不不妨妨取取動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)加加權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)為為偏偏大大型型正正態(tài)態(tài)分分布布函函數(shù)數(shù)，即即 20 ,( )1,iiixiixw xex 當(dāng)時(shí),當(dāng)時(shí), 其其中中i在在這這里里取取指指標(biāo)標(biāo)ix的的類類水水標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)區(qū)區(qū)間間的的中中值值，即即( )( )11()/2iiiba，i由由) 3 , 2 , 1( 9 . 0)()(4iawii確確定定。 由由實(shí)實(shí)際際數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)經(jīng)經(jīng)計(jì)計(jì)算算可可得得0375. 0,0667. 0,1333. 0321，,2197. 0,1757. 021 3048. 03， 則則代代入入上上式式可可以以得得到到D DO O、 C CO OD

48、 DM Mn n和和N NH H3 3- -N N三三項(xiàng)項(xiàng)指指標(biāo)標(biāo)的的動(dòng)動(dòng)態(tài)態(tài)加加權(quán)權(quán)函函數(shù)數(shù)。 2021-12-738 3.綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)的確定綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)函數(shù)的確定 考考慮慮到到對(duì)對(duì)實(shí)實(shí)際際評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)效效果果影影響響差差異異較較大大的的是是前前三三項(xiàng)項(xiàng)指指標(biāo)標(biāo)，以以及及指指標(biāo)標(biāo)P PH H值值的的特特殊殊性性，這這里里取取前前三三項(xiàng)項(xiàng)指指標(biāo)標(biāo)的的綜綜合合影影響響權(quán)權(quán)值值為為0 0. .8 8，而而P PH H 值值的的影影響響權(quán)權(quán)值值取取0 0. .2 2。因因此此，根根據(jù)據(jù)綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)模模型型， 某某城城市市某某一一時(shí)時(shí)間間的的水水質(zhì)質(zhì)綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)定定義義為為 4312

49、. 0)(8 . 0 xxxwXiiii。 根根據(jù)據(jù)1 17 7 個(gè)個(gè)城城市市的的2 28 8 組組實(shí)實(shí)際際檢檢測(cè)測(cè)數(shù)數(shù)據(jù)據(jù)，經(jīng)經(jīng)計(jì)計(jì)算算可可得得各各城城市市的的水水質(zhì)質(zhì)綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)指指標(biāo)標(biāo)值值，即即可可得得到到一一個(gè)個(gè)17 28階階的的綜綜合合評(píng)評(píng)價(jià)價(jià)矩矩陣陣17 28()ijX。 2021-12-739 4.各城市水質(zhì)的綜合評(píng)價(jià)各城市水質(zhì)的綜合評(píng)價(jià) 由由 1717 個(gè)城市個(gè)城市 2828 個(gè)月的水質(zhì)綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)個(gè)月的水質(zhì)綜合評(píng)價(jià)指標(biāo)(1,2,17;ijXi 1,2,28)j ，根據(jù)其大小（即污染的程度）進(jìn)行排序，數(shù)值越，根據(jù)其大小（即污染的程度）進(jìn)行排序，數(shù)值越大說明水質(zhì)越差。由此可得

50、反映大說明水質(zhì)越差。由此可得反映 1717 個(gè)城市水質(zhì)污染程度的個(gè)城市水質(zhì)污染程度的 2828 個(gè)排個(gè)排序結(jié)果， 根據(jù)序結(jié)果， 根據(jù)BordaBorda數(shù)的計(jì)算方法則得到第數(shù)的計(jì)算方法則得到第i個(gè)城市個(gè)城市( (被評(píng)價(jià)對(duì)象被評(píng)價(jià)對(duì)象) )iS的的 BordaBorda 數(shù)為數(shù)為 281()() (1,2,17)ijijB SB Si。 經(jīng)計(jì)算可得到各城市的經(jīng)計(jì)算可得到各城市的 BordaBorda 數(shù)及總排序結(jié)果如表數(shù)及總排序結(jié)果如表(2)(2)所示。所示。 表表( (2 2) )：按按各各城城市市的的水水質(zhì)質(zhì)污污染染總總排排序序結(jié)結(jié)果果 城市 排序 1S 2S 3S 4S 5S 6S 7S 8S 9S 10S 11S 12S 13S 14S 15S 16S 17S Borda 數(shù) 203 136 143 234 106 139 138 378 232 271 60 357 277 264 438 214 217 總排序 11 15 12 7 16 13 14 2 8 5 17 3 4