1、高考達標檢測(四十三)圓錐曲線的綜合問題 定點、定值、探索性問題1. (2017 汕頭期末聯考)已知拋物線C y2= 2px(p0)的焦點F(1,0)A B是拋物線C上異于O的兩點.(1) 求拋物線C的方程；1(2) 若直線OA OB的斜率之積為，求證：直線AB過x軸上一定點.解：因為拋物線y2= 2px(p 0)的焦點坐標為(1,0),所以 2= 1,所以p= 2.所以拋物線C的方程為y2= 4x.1因為直線OA OB的斜率之積為一 2,tt12所以t2 T 廠=2，化簡得t= 32. 44所以A(8 ,t) ,B(8 , t)，此時直線AB的方程為x= 8.當直線AB的斜率存在時，設其方程

2、為y=kx+b,A(XA,yA) ,B(XB,yB),、ty2=4x/2聯立方程組消去x,得ky 4y+ 4b= 0.y=kx+b4b根據根與系數的關系得yAyB=k,1因為直線OA OB的斜率之積為一,yAyB所以-=XAXB即XAXB+2yAyB= 0.2 2即yT+ 2yAy-= 0,44,O為坐標原(2)證明：當直線AB的斜率不存在時,2解得yAy-= 0（舍去）或yAy-= 32.4b所以yAy-=u=32,即b= 8k,k3所以y=kx 8k,即卩y=k(x 8).綜上所述，直線AB過定點(8,0).2 2x y2.(2017 甘肅張掖一診)已知橢圓云+含=1(ab 0)的左、右焦

3、點分別為F1,F2,|F1F2|=2 5，點P為橢圓短軸的端點，且PFF2的面積為 2 5.(1)求橢圓的方程；點Q是橢圓上任意一點，A(4 . 5, 6)，求|QA |QF|的最小值；點B1, 響 是橢圓上的一定點，B,B2是橢圓上的兩動點，且直線I3丿所以kBB=X1X2BB,BB關于直線x= 1 對稱，試證明直線BR的斜率為定值.解：由題意可知c=&,SAPFF2=扌廳冋Xb= 2 寸 5,2 2所以b= 2,求得a= 3，故橢圓的方程為 +占=1.由得|QF| + |QF| = 6,F1( 5, 0) , F 5, 0). 那么 |QA |QF| = |QA (6 |QF|)=

4、|QA+ |QF| 6,而 |QA+ |QF|AF| =.寸5 -J5+ h U所以|QA|QF|的最小值為 3.2= 9,設直線BB的斜率為k,因為直線BB與直線BB關于直線x= 1 對稱, 所以直線BR的斜率為-J,所以直線BB的方程為y-寧k(x 1),、rt T Ji設B(X1,y,Bgy2),4 丈 J |y由2可得(4 + 9k2)x2+ 6k(4 2 3k)x+ 9k2 24 ,2k 4= 0,9k2 24Ek 4 因為該方程有一個根為x= 1，所以X1=2,24+ 9k同理得x2=峪HP4,24+ 9k4kxi+X2 2kXiX29k2 24 ,2k 4 9k2+ 24 ,2k

5、 4479?2k9k2 24，2k 4 9k2+ 24 ,2k 44 + 9k24+ 9k4+ 9k4+ 9k故直線BB2的斜率為定值.63. (2016 合肥質檢)設A,B為拋物線y2=x上相異兩點, 分別以A,B為切點作拋物線的切線丨1,丨2,設丨1,丨2相交于點(1) 求點P的坐標；- - (2)M為A B間拋物線段上任意一點，設PM=PA+卩為定值？如果為定值，求出該定值，如果不是定值，請說明理由.解：(1)由題知A(1,1)，耳 4， 2)，其縱坐標分別為1， 2，P.PB，試判斷飛；入+1是否設點P的坐標為(XP，yp)，y 1 =k x，切線I1：y 1 =k(x 1)，聯立 2

6、ly=x，1由拋物線與直線11相切，解得k= 2,即I1：y= 2x+1，同理，丨2：y= 4x1.Xp=2，聯立丨1,丨2的方程，可解得1lyp=2，即點 P 的坐標為 i 2，1.2設My。，y。)，且2yobc 0,設短軸的一個端點為D,原點O到直線DF的距離為f,過原點和X軸不重合的直線與橢圓(2)是否存在過點R2,1)的直線4PAPB成立？若存在，試求出直線I與橢圓E相交于不同的兩點A, B且使得-P2=I的方程；若不存在，請說明理由.tJJ解：(1)由橢圓的對稱性知 |GF|+ |CF| = 2a= 4,7又a2=b2+c2= 4,abc 0,-b= 3,c= 1.2故橢圓E的方程為X+y(2)當直線I與X軸垂直時不滿足條件. 故可設直線I的方程為y=k(X2) + 1,代入橢圓方程得(3 + 4k2)X2 8k(2k1)X+ 16k2 16k 8= 0,+y=1.X1,y1),旦X2,y2), = 32(6k+ 3) 0,1k-2.8k 2kX1+X2=374716k2 16k8,X1X2=2,- A2A A OP2=4PAPB,即 4(xi- 2)(X2 2) + (yi 1)(y2- 1) = 5,82 4(xi 2)(X2 2)(1 +k) = 5,即 4xiX2 2(xi+X2) + 4(1 +k2)