1、估計理論與信號檢測估計理論與信號檢測第六章第六章 信號波形的估計信號波形的估計內容提要內容提要6.1 引言引言6.2 連續過程的維納濾波連續過程的維納濾波6.3 離散過程的維納濾波離散過程的維納濾波6.4 正交投影原理正交投影原理6.5 離散卡爾曼濾波的信號模型離散卡爾曼濾波的信號模型6.6 離散卡爾曼濾波離散卡爾曼濾波6.7 狀態為標量時的離散卡爾曼濾波狀態為標量時的離散卡爾曼濾波6.1 引言引言l研究內容：研究內容：l信號的波形估計信號的波形估計( (狀態估計狀態估計) ) 若被估計的量是隨機過程或未知的非隨機過程，則稱這種若被估計的量是隨機過程或未知的非隨機過程，則稱這種估計為信號的波形

2、估計或狀態估計。估計為信號的波形估計或狀態估計。l理論基礎：理論基礎：l隨機過程及其統計描述隨機過程及其統計描述( (2.3, P.30) )l線性系統對隨機過程的響應線性系統對隨機過程的響應( (2.5, P.44) )l隨機噪聲理論隨機噪聲理論( (2.6, P.46) )l正交投影原理正交投影原理( (6.4, P.400) )2、離散信號情況（只考慮加性噪聲）、離散信號情況（只考慮加性噪聲）信號信號狀態估計理論狀態估計理論又稱為信號又稱為信號狀態濾波理論狀態濾波理論(抑噪聲，提信號抑噪聲，提信號)。 狀態濾波，狀態濾波， 狀態預測，狀態預測， 狀態平滑，狀態平滑，1、連續信號情況（只考

3、慮加性噪聲）、連續信號情況（只考慮加性噪聲）信號信號波形估計理論波形估計理論又稱為信號又稱為信號波形濾波理論波形濾波理論(抑噪聲，提信號抑噪聲，提信號)。 波形濾波，波形濾波， 波形預測，波形預測， 波形平滑，波形平滑，6.1.1 信號波形估計的基本概念信號波形估計的基本概念( )( )( )x ts tn t( )(),0 x ts t( )x t( )H( )( )x ts t( )s t( )(),0 x ts t1()|,0k mkkk l klxxxs1,k mkkkxxxs1()|,0k mkkk l klxxxs,1,2,kkkkkxH sn6.1.1 信號波形估計的基本概念信號

4、波形估計的基本概念From Steven page 3236.1.2 信號波形估計的準則和方法信號波形估計的準則和方法信號波形（狀態）估計準則：線性最小均方誤差準則。信號波形（狀態）估計準則：線性最小均方誤差準則。維納濾波和卡爾曼濾波是實現從噪聲中提取信號，完維納濾波和卡爾曼濾波是實現從噪聲中提取信號，完成信號波形（狀態）估計的兩種成信號波形（狀態）估計的兩種線性線性最佳估計方法。最佳估計方法。l維納濾波維納濾波l要求知道隨機信號的統計特性，即相關函數或功率普密度，要求知道隨機信號的統計特性，即相關函數或功率普密度，得到的結果是封閉解（解析式）；得到的結果是封閉解（解析式）；l由于采用頻域設計

5、方法，僅適用于由于采用頻域設計方法，僅適用于一維平穩隨機信號一維平穩隨機信號。l卡爾曼濾波（卡爾曼濾波（龐特里亞金極大值原理、貝爾曼動態規劃龐特里亞金極大值原理、貝爾曼動態規劃）l采用狀態方程和觀測方程描述系統的信號模型采用狀態方程和觀測方程描述系統的信號模型；l可解決可解決多輸入多輸出非平穩隨機信號多輸入多輸出非平穩隨機信號的估計問題；的估計問題；l采用遞推算法非常適合于計算機處理，計算效率高。采用遞推算法非常適合于計算機處理，計算效率高。6.1.2 信號波形估計的準則和方法信號波形估計的準則和方法例例6.1.1 平穩隨機信號的線性最小均方誤差估計（預測）平穩隨機信號的線性最小均方誤差估計（

6、預測）線性最小均方誤差估計的線性最小均方誤差估計的正交性原理正交性原理2()( )minimize E( ()() as tas ts ts t( )E( ()( ) ( )0(0)ssrs tas t s tar( )()( )(0)ssrs ts tr22E( ()() E( ()( )E) ()E () ()( ) ()( )(0)( )(0)( ()(0)( )( )0ssssss tas t as ts ts ts tas t s ts ts tas t s trrarrr6.1.2 信號波形估計的準則和方法信號波形估計的準則和方法例例6.1.2 平穩隨機信號的線性最小均方誤差估計（

7、預測）平穩隨機信號的線性最小均方誤差估計（預測）線性最小均方誤差估計的正交性原理線性最小均方誤差估計的正交性原理2,()( )( )minimize E( ()() a bs tas tbs ts ts t0E( ()( )( ) ( )0E( ()( )( ) ( )0( )( ),( )( ),( )0ssssssss tas tbs t s ts tas tbs t s trrrrr ( )( ),(0)(0)ssssrrabrr22200E( ()() E( ()( )( ) ()( )( )(0)( )( )(0)(0)(0)sssssssss ts ts tas tbs t s t

8、rrrarbrrrr ( )( )()( )( )(0)(0)ssssrrs ts ts trr見習題見習題 信號波形估計的準則和方法信號波形估計的準則和方法例例6.1.2 （續）例題相關結論的證明（續）例題相關結論的證明000()( )()( )()( )( )lim,( )lim,( )limttts tts ts tts ts tts ts ts ts tttt 00()( )()( )( )E ( ) ()E lim()lim( )ssssstts tts trtrrs t s ts trtt 22d ( )d( )( ),( )ddssssrrrr( )()ssrr1

9、22112120012212100012122022()( )()()( )E ( ) ()E limlim()()()( )= limlimlim()( )limssttsssstttssts tts ts tts trs t s tttrttrtrtrttttrtrtt 2202()( )lim( )ssstrtrrt 為偶函數，其導數為偶函數，其導數 為奇函數，故有為奇函數，故有( )sr0( )(0)0ssrr00()()()( )( )E ( ) ()E lim ( )lim( )ssssstts tts trtrrs t s ts trtt 6.1.2 信號波形估計的準則和方法信號

10、波形估計的準則和方法例例6.1.3 平穩隨機信號的線性最小均方誤差估計（平滑）平穩隨機信號的線性最小均方誤差估計（平滑）線性最小均方誤差估計的正交性原理線性最小均方誤差估計的正交性原理2,( )(0)( )minimize E( ( )( ) a bs tasbs Ts ts t2E( ( )( ) E( ( )(0)( ) ( )0(0)( )()ssss ts ts tasbs Ts trar tbr TtE( ( )(0)( ) (0)0( )(0)( )0E( ( )(0)( ) ( )0()( )(0)0sssssss tasbs Tsr tarbr Ts tasbs Ts Tr T

11、tar Tbr2222(0) ( )( ) ()(0) ()( ) ( ),(0)( )(0)( )ssssssssssssrr tr T r Ttrr Ttr t r Tabrr Trr T從噪聲中提取信號從噪聲中提取信號現這種功能的有效方法之一是設計一種具現這種功能的有效方法之一是設計一種具有最佳過濾特性的濾波器，當疊加有噪聲的信號通過這種濾波器有最佳過濾特性的濾波器，當疊加有噪聲的信號通過這種濾波器時，它可以將信號盡可能完整地重現或對信號作出盡可能精確的時，它可以將信號盡可能完整地重現或對信號作出盡可能精確的估計，從而對所伴隨的噪聲進行最大限度地抑制。估計，從而對所伴隨的噪聲進行最大限度

12、地抑制。維納濾波器就是具有這種特性的一種典型濾波器。維納濾波器就是具有這種特性的一種典型濾波器。信號波形的維納濾波分為：信號波形的維納濾波分為：l連續過程的維納濾波連續過程的維納濾波l離散過程的維納濾波離散過程的維納濾波6.2 連續過程的維納濾波連續過程的維納濾波維納維納(1894-1964)是控制論的創始人、信息論是控制論的創始人、信息論的創始人之一，于的創始人之一，于1948年發表年發表控制論控制論(Cybernetics)。線性時變濾波器線性時變濾波器6.2.1 最佳線性濾波最佳線性濾波線性加權和線性加權和正交性原理正交性原理0g(t)表示表示待估計波形待估計波形( ) ( ), (),

13、 (), ( )g ts t s ts ts t線性時不變濾波器線性時不變濾波器 假設假設 和和 都是零均值的都是零均值的平穩隨機過程平穩隨機過程，而且二者是聯，而且二者是聯合平穩的。合平穩的。6.2.2 維納維納-霍夫方程霍夫方程維納維納-霍夫方程霍夫方程維納濾波器維納濾波器( ) ( ), (), (), ( )g ts t s ts ts t( )x t( )g t,ttu維納濾波器非因果解維納濾波器非因果解6.2.3 維納濾波器的非因果解維納濾波器的非因果解線性卷積式線性卷積式( )( )E ( ) ( )0g ts ts t n t( )0( )( )( )( )( )snxssxs

14、nPPPPPP兩邊進行傅里葉變換兩邊進行傅里葉變換s(t)與加性噪聲與加性噪聲n(t)相互統計獨立相互統計獨立維納濾波器非因果解維納濾波器非因果解6.2.3 維納濾波器的非因果解維納濾波器的非因果解（1）功率普密度）功率普密度 和和 互不重疊互不重疊（2）功率普密度）功率普密度 和和 有部分重疊有部分重疊( )sP( )nP|( )0,( )1|( )0,( )0ssPHPH|( )0 and( )0,( )1|( )0 and( )0,( )10|( )0,( )0snsnsPPHPPHPH ( )sP( )nP若若 是是 函數，即濾波器輸入是一個白色過程，積分方程函數，即濾波器輸入是一個白

15、色過程，積分方程就可以直接求解。就可以直接求解。6.2.4 維納濾波器的因果解維納濾波器的因果解()xr有理功率普密度有理功率普密度()()wr *( )( )( )( )( )xxxxxP sPs PsPs Ps白化濾波器白化濾波器求取求取6.2.4 維納濾波器的因果解維納濾波器的因果解( )wgPs當當 時，維納濾波器波形估計的均方誤差（自學）時，維納濾波器波形估計的均方誤差（自學）6.2.4 維納濾波器的因果解維納濾波器的因果解( )()g ts t20( )( ), Var (t)= (0)( )dsg ts tsrtt例例6.2.2 求解隨機信號求解隨機信號 的波形估計問題，即設計的

16、波形估計問題，即設計維納濾波器使信號波形估計的均方誤差最小。維納濾波器使信號波形估計的均方誤差最小。6.2 連續過程的維納濾波連續過程的維納濾波 例題例題( )( )( )x ts tn t1( )e,( )( )2snrr 011122202( )( )edeede ede ed11112 111ssssssP srsss( )( )ed1snP s 211( )( )( )( )( )1(1)(1)xgxssnssPsPsP sPsP ssss2221222( )( )( )11111xsnsssP sP sP sssss 例例6.2.2（續）維納濾波器的非因果解（續）維納濾波器的非因果解

17、6.2 連續過程的維納濾波連續過程的維納濾波 例題例題2222( )( )1 (1)( )( )( )( )(2) (1)11122 2(2)2 2(2)xgsxsnPsP ssH sP sP sP ssssss2121,02 2( )L ( )1,02 2tteth tH set0220Var ( )Var ( )(0)( ) ( )d11111dd2222 22 2111110.35424 2124 212ssg ts trhreeee例例6.2.2（續）維納濾波器的因果解（續）維納濾波器的因果解6.2 連續過程的維納濾波連續過程的維納濾波 例題例題2( )111 (1)( )( )( )

18、(2) (2) (1)11 (12)1 (12)1 (12)1(2)22xgxxPsssH sPsPsssssssss121( )L ( ),012th tH set0202Var ( )Var ( )(0)( ) ( )d111ee d2212110.41422(12)ssg ts trhr例例 連續過程的維納濾波連續過程的維納濾波 例題例題例例6.2.3（續）（續）6.2 連續過程的維納濾波連續過程的維納濾波 例題例題類似于連續過程的維納濾波，設計離散過程的維納濾類似于連續過程的維納濾波，設計離散過程的維納濾波器，就是尋求在波器，就是尋求在線性最小均方誤差準則線性最小均方誤

19、差準則下線性濾波下線性濾波器的系統函數器的系統函數 （Z域解）或單位脈沖響應域解）或單位脈沖響應 （時（時域解）。（數字濾波）域解）。（數字濾波）拉氏變換（傅立葉變換）拉氏變換（傅立葉變換） Z變換變換左半平面左半平面 單位圓內單位圓內右半平面右半平面 單位圓外單位圓外6.3 離散過程的維納濾波離散過程的維納濾波( )H z( )h k根據觀測信號序列根據觀測信號序列 對信號對信號 作出線作出線性最小均方誤差估計，即求性最小均方誤差估計，即求 。6.3.1 離散的維納離散的維納-霍夫方程霍夫方程( ),0kxx kkNkgkg離散形式的維納離散形式的維納-霍夫方程霍夫方程,kim kjl 6.

20、3.2 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解非因果解非因果解當當 ，且信號序列，且信號序列 與噪聲序列與噪聲序列 互不相關時互不相關時 knkkgsks( )( )( )( )ssnP zH zP zP z6.3.2 離散維納濾波器的離散維納濾波器的Z域解域解因果解因果解（1）觀測信號）觀測信號 是白色序列是白色序列（2）觀測信號）觀測信號 是非白序列，且其功率普密度是是非白序列，且其功率普密度是有理函數有理函數kxkx1,0,mlmlml無限長因果序列的離散維納濾波器不具有實時性而使其應用受到無限長因果序列的離散維納濾波器不具有實時性而使其應用受到限制。通常用有限長序列限制。通常用有限

21、長序列 來逼近離散維納濾波來逼近離散維納濾波器的解器的解 。6.3.3 離散維納濾波器的時域解離散維納濾波器的時域解( ) (01)h kkN( ) (0)h kk N 階階FIR濾波器濾波器6.3.3 離散維納濾波器的時域解離散維納濾波器的時域解(0)(0)(0)(1)(1)(1)(1)(1)(0)(2),(1)(1)(1)(2)(0)xgxxxxgxxxxxgxgxxxrhrrr Nrhrrr NrNh Nr Nr NrhRrN階階FIR濾波器濾波器(Finite Impulse Response，有限長度脈沖響應，有限長度脈沖響應) ；IIR 濾波器濾波器(Infinite Impuls

22、e Response，無限長度脈沖響應，無限長度脈沖響應)，即，即維納濾波器。維納濾波器。例例6.3.1 離散信號序列離散信號序列 的維納濾波器的維納濾波器Z域解域解（1）非因果解）非因果解（2）因果解）因果解6.3 離散過程的維納濾波離散過程的維納濾波 例題例題kkkxsn10.36( ),( )1,( )0(1 0.8)(1 0.8 )snnsP zP zPzzz1110.36( )( )0.225(1 0.8)(1 0.8 )( )0.36( )( )( )(1 0.5)(1 0.5 )1(1 0.8)(1 0.8 )xssxsnPzP zzzH zP zP zP zzzzz11( )1

23、( )3/8( )( )( )( )( )1 0.5xssxxxxPzP zH zPzPzPzPzz1110.36(1 0.5)(1 0.5 )( )( )( )1 1.6(1 0.8)(1 0.8 )(1 0.8)(1 0.8 )xsnzzP zP zP zzzzz 111 0.51 0.5( )1.6,( )1 0.81 0.8xxzzPzPzzz1111( )0.361 0.83/53/5( )(1 0.8)(1 0.8 )1 0.513/51 0.821 0.8sxzP zzPzzzzzz例例6.3.2 設計二階設計二階FIR濾波器逼近維納濾波器（三階、四階濾波器逼近維納濾波器（三階、

24、四階）6.3 離散過程的維納濾波離散過程的維納濾波 例題例題1 2,01,0Input:,Output:1 2,10,1,2,kkkkxskk111001111(0),(1)2428xkkxkkkkrx xrx x 11100111(0),(1)0242xskkxskkkkrx srx s1114(0)(1)(0)4843112(0)(1)0(1)843hhhhhh10( )( )( ) ()2/3,01/3,11/3,2Nkish kx kh i x kikkk 22222220112111E() ()100333339kkkkkskssss動態信號模型動態信號模型Steven M. Kay

25、 page 338347DC電平測量：電平測量： 實際上真實的電壓值隨時間緩慢變化（溫度的影響、器件的老化）：實際上真實的電壓值隨時間緩慢變化（溫度的影響、器件的老化）： 假定假定 是一個未知的確定性參數序列，則是一個未知的確定性參數序列，則 的的MVU估計量為：估計量為： 真實電壓和真實電壓和MVU估計量估計量圖中真實電壓圖中真實電壓 的連續樣本的差別的連續樣本的差別不是很大，表現了高度的不是很大，表現了高度的“相關性相關性”?？梢哉J為可以認為 是隨機過程的一個現實，是隨機過程的一個現實，均值為均值為10，樣本之間存在一定的相關性樣本之間存在一定的相關性。 相關約束的強制要求避免相關約束的強

26、制要求避免 的估計的估計隨時間起伏太大。隨時間起伏太大。 線性最小均方誤差準則線性最小均方誤差準則第五章第五章5.7.3小節曾提到過正交性原理（小節曾提到過正交性原理（P311）本章前本章前3節也曾多次提到過正交性原理節也曾多次提到過正交性原理本章本章6.6節討論的卡爾曼濾波也采用線性最小均方誤差節討論的卡爾曼濾波也采用線性最小均方誤差準則，其遞推公式的推導也是基于正交投影的概念和準則，其遞推公式的推導也是基于正交投影的概念和原理進行的。原理進行的。正交投影的三個引理：正交投影的三個引理：（1）引理）引理I，唯一性，唯一性（2）引理）引理II，線性可轉換性和可疊加性線性可轉換性和可疊加性（3）

27、引理）引理III，可遞推性可遞推性6.4 正交投影原理正交投影原理設設s和和x分別是具有前二階矩的分別是具有前二階矩的M維和維和N維隨機矢量。如果存在一維隨機矢量。如果存在一個與個與s同維的隨機矢量同維的隨機矢量 ，并且具有如下三個性質：，并且具有如下三個性質：（1）可以用）可以用x線性表示線性表示，即存在非隨機的，即存在非隨機的M維矢量維矢量a和和MN矩陣矩陣B，滿足，滿足（2）滿足）滿足無偏性無偏性要求，即要求，即（3）誤差）誤差 與與x正交正交，即，即則稱則稱 是是s在在x上的上的正交投影正交投影，簡稱投影，并記為，簡稱投影，并記為6.4.1 正交投影的概念正交投影的概念*saBx*E(

28、)E( )sss s*TE() 0ssx*ss*OP |ss x*s6.4.2 正交投影的引理正交投影的引理引理引理 正交投影的正交投影的唯一性唯一性若若s和和x分別是具有前二階矩的分別是具有前二階矩的M維和維和N維隨機矢量，則維隨機矢量，則s在在x上的正上的正交投影唯一地等于基于交投影唯一地等于基于x的的s之之線性最小均方誤差估計矢量線性最小均方誤差估計矢量，即，即證明：證明： 線性性質線性性質 無偏性無偏性 故有故有 正交性正交性 這樣有這樣有*saBx*E()E( )E( )()ssxsxsaBxsaBsB x *1OP |()ssxxxss xC Cx *TTT1E()E()E()()

29、 0sxsxxsxxsxxssxsB xxsB xxCBCBC C *1()ssxxxsC Cx 6.4.2 正交投影的引理正交投影的引理引理引理 正交投影的正交投影的線性可轉換性和可疊加性線性可轉換性和可疊加性設設s1和和s2分別是兩個具有前二階矩的分別是兩個具有前二階矩的M維隨機矢量，維隨機矢量，x是具有前二是具有前二階矩的階矩的N維隨機矢量，維隨機矢量，A1和和A2均為非隨機矩陣，其列數等于均為非隨機矩陣，其列數等于M，行數相同，則行數相同，則證明：令證明：令 則則 式中式中 這樣有這樣有1 122AsA s 11 12 2OP()|OP|()xxxAsA sxxC Cx 1 12211

30、22OP()|OP|OP|AsA sxAsxAsx121 12212=E( )E()ssA sA sAA 121211221 122112121111221122OP()|()()()()OP|OP|sss xs xxxss xxxss xxxAsA sxAAACA CCxAACCxAA CCxAsxAsx 1212TT112212E()() E()()() xxssxs xs xCxA sA sxACA C6.4.2 正交投影的引理正交投影的引理引理引理 正交投影的正交投影的可遞推性可遞推性設設s，x(k-1)和和xk是三個具有前二階矩的隨機矢量，它們的維數不必是三個具有前二階矩的隨機矢量，

31、它們的維數不必相同，又令相同，又令則則式中式中引理引理的的證明見附錄證明見附錄6A。(1)( )kkkxxxOP |(1),OP|(1)kkkkksss xxxxxTT1OP |(1)OP |(1)OP |( )OP |E()E()kkkkkkkk s xs xss xx xxsxx6.4.2 正交投影的引理正交投影的引理引理引理 正交投影的可遞推性（續）正交投影的可遞推性（續）雖然維納濾波和卡爾曼濾波都是解決以雖然維納濾波和卡爾曼濾波都是解決以線性最小均方誤差線性最小均方誤差為準則的為準則的最佳線性濾波問題，二者之間的差別：最佳線性濾波問題，二者之間的差別： 維納濾波只適用于平穩隨機過程（信

32、號）；維納濾波只適用于平穩隨機過程（信號）； 卡爾曼濾波則可用于非平穩隨機過程（信號）?？柭鼮V波則可用于非平穩隨機過程（信號）。 維納濾波根據維納濾波根據全部過去的和當前的觀測信號全部過去的和當前的觀測信號 來估計信號的波形；來估計信號的波形； 卡爾曼濾波根據卡爾曼濾波根據前一次的估計值和前一次的估計值和 當前的觀測值當前的觀測值來估計信號波形（遞推算法）。來估計信號波形（遞推算法）。 維納濾波的解以線性濾波器的系統函數或脈沖響應的形式給出；維納濾波的解以線性濾波器的系統函數或脈沖響應的形式給出； 卡爾曼濾波的解則以估計值的形式給出?？柭鼮V波的解則以估計值的形式給出。 維納濾波維納濾波的信

33、號模型是信號和噪聲的的信號模型是信號和噪聲的相關函數或功率普密度函數相關函數或功率普密度函數； 卡爾曼濾波卡爾曼濾波的信號模型是信號的的信號模型是信號的狀態方程和觀測方程狀態方程和觀測方程。6.5 離散卡爾曼濾波的信號模型離散卡爾曼濾波的信號模型線性系統離散狀態方程線性系統離散狀態方程6.5.1 離散狀態方程和觀測方程離散狀態方程和觀測方程狀態轉移矩陣狀態轉移矩陣零輸入響應零輸入響應零狀態響應零狀態響應分步轉移性分步轉移性互逆性互逆性同時刻不變性同時刻不變性6.5.1 離散狀態方程和觀測方程離散狀態方程和觀測方程1,1kkI線性系統離散狀態方程和觀測方程線性系統離散狀態方程和觀測方程狀態方程狀

34、態方程觀測方程觀測方程系統控制矩陣系統控制矩陣擾動噪聲矢量擾動噪聲矢量觀測噪聲矢量觀測噪聲矢量一步狀態一步狀態轉移矩陣轉移矩陣例例6.5.1 建立系統的離散狀態方程和觀測方程建立系統的離散狀態方程和觀測方程（1）狀態方程）狀態方程（2）觀測方程）觀測方程6.5.1 離散狀態方程和觀測方程離散狀態方程和觀測方程221111211111111200100011TkkkkkkkkkkkkkkkkkrrTvarTTrvvTavTvwaawaa 2,11120,01,00011kkkk kkkrTTvTa s,1111kk kkkkssw 100kkkkxrnHkkkkxnH s6.5.2 離散信號模型

35、的統計特性離散信號模型的統計特性基本離散卡爾曼濾波問題的信號模型的統計特性基本離散卡爾曼濾波問題的信號模型的統計特性1）2）3）4）基本的離散卡爾曼濾波問題基本的離散卡爾曼濾波問題擴展的離散卡爾曼濾波問題擴展的離散卡爾曼濾波問題擾動噪聲矢量擾動噪聲矢量為白噪聲序列為白噪聲序列觀測噪聲矢量觀測噪聲矢量為白噪聲序列為白噪聲序列兩者互不相關兩者互不相關初始狀態和兩種初始狀態和兩種噪聲互不相關噪聲互不相關離散卡爾曼濾波解決離散時間系統狀態矢量的離散卡爾曼濾波解決離散時間系統狀態矢量的遞推估計遞推估計問題。離問題。離散的散的狀態方程狀態方程和和觀測方程觀測方程分別為分別為離散時間系統的狀態估計，就是根據

36、觀測矢量離散時間系統的狀態估計，就是根據觀測矢量 求得狀態矢求得狀態矢量量 的一個估計的一個估計 的問題。按照的問題。按照j和和k的關系可分為三種情況：的關系可分為三種情況：（1） 時，稱為狀態濾波；時，稱為狀態濾波；（2） 時，稱為狀態預測（外推）；狀態一步預測時，稱為狀態預測（外推）；狀態一步預測（3） 時，稱為狀態平滑（內插）。時，稱為狀態平滑（內插）。6.6 離散卡爾曼濾波離散卡爾曼濾波( )kxjs長列矢量長列矢量jkjkjk|j ks(1)|kks因為離散卡爾曼濾波采用因為離散卡爾曼濾波采用線性最小均方誤差準則線性最小均方誤差準則，所以可以使用，所以可以使用正交投影的概念和原理來推

37、導離散卡爾曼濾波的遞推公式。正交投影的概念和原理來推導離散卡爾曼濾波的遞推公式。引理引理I引理引理III6.6.1 離散卡爾曼濾波的遞推公式離散卡爾曼濾波的遞推公式1、 項的計算項的計算引理引理II6.6.1 離散卡爾曼濾波的遞推公式離散卡爾曼濾波的遞推公式OP|(1)kk sx狀態一步預測值狀態一步預測值觀測長列矢量觀測長列矢量 僅由僅由表示，所以表示，所以 與與 不相關。不相關。(1)k x1kw121012011,;,;,kkkn nnwwws ss(1)k x10kw2、 和和 的計算的計算6.6.1 離散卡爾曼濾波的遞推公式離散卡爾曼濾波的遞推公式|(1)k k s|(1)k k x

38、3、 項的計算項的計算6.6.1 離散卡爾曼濾波的遞推公式離散卡爾曼濾波的遞推公式T|(1)|(1)E()k kk ksx4、狀態一步預測均方誤差陣、狀態一步預測均方誤差陣 的計算的計算|(1)k kM|(1)k kM狀態濾波的狀態濾波的均方誤差陣均方誤差陣狀態一步預測狀態一步預測的均方誤差陣的均方誤差陣5、 項的計算項的計算6.6.1 離散卡爾曼濾波的遞推公式離散卡爾曼濾波的遞推公式T|(1)|(1)E()k kk kxx6、狀態濾波值、狀態濾波值 的計算的計算ks7、狀態濾波均方誤差陣、狀態濾波均方誤差陣 的計算的計算6.6.1 離散卡爾曼濾波的遞推公式離散卡爾曼濾波的遞推公式kM 離散卡

39、爾曼濾波是系統狀態矢量的一種遞推估計。為了能啟離散卡爾曼濾波是系統狀態矢量的一種遞推估計。為了能啟動遞推計算，需要確定初始狀態濾波值動遞推計算，需要確定初始狀態濾波值 和初始狀態濾波的均方和初始狀態濾波的均方誤差陣誤差陣 。6.6.2 離散卡爾曼濾波的遞推算法離散卡爾曼濾波的遞推算法0 s0M最小化最小化002E()0 ss離散卡爾曼濾波遞推公式表離散卡爾曼濾波遞推公式表6.6.2 離散卡爾曼濾波的遞推算法離散卡爾曼濾波的遞推算法00,1111TTE(),E()E(),E(),0,1,2,kkkkjkkkkk kkkkkkkkkjkjkkjkjkj k00000wwnnw ns ws nssw

40、xH snww wCnn nCCCC 1T|(1),11,111TT1|(1)|(1)|(1),11,11(1)|1,(I)()(II)()(III)()(IV)(V)kkk kk kkk kkkkk kkkk kkkkkk kkk kkkkkk kkkkkkkwnMMCKMHH MHCMIK HMssKxHsss 0000,sssMC 狀態方程狀態方程觀測方程觀測方程統計特性統計特性一步預測均方誤差陣一步預測均方誤差陣濾波增益矩陣濾波增益矩陣濾波均方誤差陣濾波均方誤差陣狀態濾波狀態濾波狀態一步預測狀態一步預測濾波初始狀態濾波初始狀態離散卡爾曼濾波遞推公式可以分成兩部分：第一部分是前三個公離散

41、卡爾曼濾波遞推公式可以分成兩部分：第一部分是前三個公式，它們是狀態濾波增益矩陣的遞推公式；第二部分是后兩個公式，它們是狀態濾波增益矩陣的遞推公式；第二部分是后兩個公式，它們是離散狀態濾波和狀態一步預測的遞推公式。式，它們是離散狀態濾波和狀態一步預測的遞推公式。6.6.2 離散卡爾曼濾波的遞推算法離散卡爾曼濾波的遞推算法6.6.3 離散卡爾曼濾波的特點與性質離散卡爾曼濾波的特點與性質1、離散卡爾曼濾波的主要特點、離散卡爾曼濾波的主要特點（1）離散卡爾曼濾波的參數矩陣可以是）離散卡爾曼濾波的參數矩陣可以是時變的時變的，因此離散卡爾，因此離散卡爾曼濾波適用于矢量的曼濾波適用于矢量的非平穩隨機過程非平

42、穩隨機過程的狀態估計。的狀態估計。（2）離散卡爾曼濾波的狀態估計采用）離散卡爾曼濾波的狀態估計采用遞推估計算法遞推估計算法，數據存儲，數據存儲量少，運算量少，特別是避免了高階矩陣求逆問題，提高了運算量少，運算量少，特別是避免了高階矩陣求逆問題，提高了運算效率。效率。（3）由于離散卡爾曼濾波的增益矩陣）由于離散卡爾曼濾波的增益矩陣 與觀測數據無關，所以與觀測數據無關，所以有可能有可能離線算出離線算出，從而減少實時在線計算量，提高實時處理能力。，從而減少實時在線計算量，提高實時處理能力。（4）離散卡爾曼濾波不僅能夠同時得到狀態濾波值和狀態一步）離散卡爾曼濾波不僅能夠同時得到狀態濾波值和狀態一步預測

43、值，而且同時得到狀態濾波的均方誤差陣和狀態一步預測的預測值，而且同時得到狀態濾波的均方誤差陣和狀態一步預測的均方誤差陣，它們是狀態濾波和狀態一步預測的精度指標。均方誤差陣，它們是狀態濾波和狀態一步預測的精度指標。kK6.6.3 離散卡爾曼濾波的特點與性質離散卡爾曼濾波的特點與性質2、離散卡爾曼濾波的主要性質、離散卡爾曼濾波的主要性質（1）狀態濾波值是系統狀態的線性最小均方誤差估計量，因為）狀態濾波值是系統狀態的線性最小均方誤差估計量，因為它是無偏估計量，所以狀態濾波的均方誤差陣就是所有線性估計它是無偏估計量，所以狀態濾波的均方誤差陣就是所有線性估計中的最小誤差方差陣。中的最小誤差方差陣。（2）

44、狀態估計的誤差矢量與狀態估計量正交，即）狀態估計的誤差矢量與狀態估計量正交，即（3）狀態濾波的增益矩陣與初始狀態均方誤差陣、擾動噪聲矢）狀態濾波的增益矩陣與初始狀態均方誤差陣、擾動噪聲矢量的協方差矩陣和觀測噪聲矢量的協方差矩陣有關。量的協方差矩陣和觀測噪聲矢量的協方差矩陣有關。（4）狀態濾波的均方誤差陣的上限值為狀態一步預測的均方誤）狀態濾波的均方誤差陣的上限值為狀態一步預測的均方誤差陣。差陣。參見參見( (5.7.32) )式和式和( (5.8.38) )式式矩陣求逆引理矩陣求逆引理P314例例6.6.1 離散卡爾曼濾波增益矩陣離散卡爾曼濾波增益矩陣 的的離線離線遞推計算遞推計算6.6 離散

45、卡爾曼濾波離散卡爾曼濾波 例題例題101100,1,2,1000101010102( 1) ,1,2,kkkkk wsnCCHC kK例例6.6.1 離散卡爾曼濾波增益矩陣離散卡爾曼濾波增益矩陣 的離線遞推計算（續）的離線遞推計算（續）6.6 離散卡爾曼濾波離散卡爾曼濾波 例題例題kK例例6.6.1 離散卡爾曼濾波增益矩陣離散卡爾曼濾波增益矩陣 的離線遞推計算（續）的離線遞推計算（續）6.6 離散卡爾曼濾波離散卡爾曼濾波 例題例題kK例例6.6.2 若飛機相對于雷達作徑向勻加速直線運動，現通過對飛若飛機相對于雷達作徑向勻加速直線運動，現通過對飛機的距離測量來估計飛機的距離、速度和加速度。設機的距離測量來估計飛機的距離、速度和加速度。設（1）從）從 開始測量，測量時間間隔為開始測量，測量時間間隔為2s；（2）飛機相對雷達的距離、速度和加速度為）飛機相對雷達的距離、速度和加速度為 ?，F。現已知已知（3）忽略擾動噪聲）忽略擾動噪聲 對飛機的擾動；對飛機的擾動；（4）觀測噪聲）觀測噪聲 是零均值的白噪聲隨機序列，已知是零均值的白噪聲隨機序列，已知（5）觀測噪聲）觀測噪聲 與與 均互不相關。均互不相關。6.6 離散卡爾曼濾波離散