1、控制工程與仿真課程設計報告報告題目直線一級倒立擺建模、分析及控制器的設計組員1專業、班級14自動化1班姓名朱永遠學號1405031009組員1專業、班級14自動化1班姓名王憲孺學號1405031011組員1專業、班級14自動化1班姓名孫金紅學號1405031013報告評分標準評分項目權重評價內容評價結果項目得分內容70設計方案較合 理、正確，內容 較完整70-50 分設計方案基本合 理、正確，內容 基本完整50-30 分設計方案基本不 合理、正確，內 容不完整0-30 分語言組織15語言較流順，標 點符號較正確10-15 分語言基本通順， 標點符號基本正 確5-10 分語言不通順，有 錯別字，

2、標點符 號混亂5分以下格式15報告格式較正 確，排版較規范 美觀10-15 分報告格式基本正 確，排版不規范5-10 分報告格式不正 確，排版混亂5分以下總分直線一級倒立擺的數學模型inFQ直線一級倒立擺建模、分析及控制器的設計狀態空間模型的建立所示。圖1.1直線一級倒立擺系統本文中倒立擺系統描述中涉及的符號、物理意義及相關數值如表FMX10PaFgeFhN圖1.2是系統中小車的受力分析圖。其中，N和P為小車與擺桿相互作用力的水平和垂 直方向的分量。圖1.2系統中小車的受力分析圖圖1.3是系統中擺桿的受力分析圖。Fs是擺桿受到的水平方向的干擾力，F h是擺桿受 到的垂直方向的干擾力，合力是垂直

3、方向夾角為a的干擾力Fg。符號意義實際數值M小車質量L096kem擺桿質呈0.109kgf小車摩擦力0.1 N/in/sec1擺桿轉動軸心到桿質心的氏度0.25mI擺桿憤量0.00223kg*m*m表丄直線一級倒立擺系統參數圖1.3擺桿受力分析圖分析小車水平方向所受的合力，可以得到以下方程:1 一1設擺桿受到與垂直方向夾角為a的干擾力Fg,可分解為水平方向、垂直方向的 干擾力，所產生的力矩可以等效為在擺桿頂端的水平干擾力 FS、垂直干擾力Fh產生 的力矩。1-2對擺桿水平方向的受力進行分析可以得到下面等式：1-3d 2即:N - FS 二 m2 x l sin vdt22N = mx ml)c

4、os ： - mh sin v Ff sin 二 口 -4)對圖1.3擺桿垂直方向上的合力進行分析，可以得到下面方程：d 2P mg Fh 二 m 2 l -l costdt21-5 -P mg FgCOS：二 ml)sin ： ml)cost1-6力矩平衡方程如下：Fgl sin ： cos ： Fgl cos sin) Pl sin ： Nl cos：- 0MX= F - "枝° N代入P和N,得到方程：1-82Fgls in: cob 2Fglcos s n I ml2cos2mgls in v-ml2，s in2 mXcos =0Fs 二 Fg sinFh 二 Fg

5、 cos設，二二，（ ©是擺桿桿與垂直向上方向之間的夾角，單位是弧度），代入 上式。假設© <<1，則可進行近似處理：cos W書心0s2Fsin2 =由于：I = 1 ml23方程化為：42Fg si n、f ； cosmlg mg = mxg31一9令：Ff =Fg -si- 'cos，貝U 1-9 可化為：4 2Ff ml _ mg = mx31-10即是化簡后的直線一級倒立擺系統微分方程。帶入實際數據后，微分方程為：-.Ffv - 29.4二 3x-2m1-11當忽略了 Ff時，系統的微分方程如式（1-12）所示丁 - 29.4丁 3x1-12忽

6、略干擾力后，直線一級倒立擺系統是單輸入二輸出的四階系統，考慮干擾力后，直線一級倒立擺系統是二輸入二輸出的四階系統。其內部的4個狀態量分別是小車的位移X、小車的速度x、擺桿的角度9、擺桿的角速度系統輸出的觀測量為小車的位移x、擺桿的角度9。其控制量為小車的加速度二將微分方程（1-12 ）化為關于加速度輸入量和角度輸出量的傳遞函數：二 s _3Rss2 - 29.41-131.2直線一級倒立擺系統的狀態方程實驗所使用的直線一級倒立擺系系統是加速度x作為系統的控制輸入，所以根據式(1-12)建立系統的狀態方程為：x = x-x41,3g4l整理后得到系統狀態方程：x$10000003g4101103

7、g.41 一1x1y，00 x0,_01x11000y 二k? 0 0 01x+【01J0 0 1 0一*1x1-01001f0100001A =0001B =00029.40一1 13 一c000D，|l_0010|IO將實際參數代入得到一級倒立擺系統的狀態空間方程為:xl 000衛運動分析、能控性及能觀性分析2.1運動分析線性定常系統非齊次狀態方程為:x(/) = Ax(O + Bu(Z)則其解為:系統的輸出方程為:y(r) = Cx(r) + Du(f)y(0 = Ce“叫)x(g) + CeA(/_r)Bu(r)d t+ Du(/)運動分析可以借助計算機的 MATLAB進行。用MATL

8、AB仿真求線性非齊次狀態方程的 解實例如例1所示。 01 1_0_X =x +-2-3：1已知系統狀態方程為用以下MATLAB程序求系統方程的解。ilaplace()函數的作用是求取拉普拉斯逆變換，phi=subs(phiO,'x(0) =,u(t) = 1(/)其中,collect()函數的作用是合并同類項，而函數det()的作用是求方陣的行列式,語句t' ,(t-tao)表示將符號變量 phiO中的自變量t用(t-tao)代換就構成了符號變量 phi,而語 句x2=int(F,tao,0,t)表示符號變量 F對tao在0到t的積分區間上求積分，運算結果返回到x2。syms

9、s t xO x tao phi phiO:% 聲明符號孌jftA-0 1 ;-2 -3 : I*l 0;0 10; B= 0; 1;E-s*I_A :， C=det CE ) ; D=collec t (i nv EE);phiO=il aplace GJ) ; x0= 1 ; 0 ; xl=pKi0*x0 :phiunb宮(phiO t Ct- tao): F=pKi*B*l ; x2=iixt (F# tao 0 t); x=collect(3e1+x2)程序執行結果為x -l/2*exp C-2*t J + exp (-1J+1/2-exp (t J + exp (2*1)這表示x(t

10、) =(X5 +-05e»-e_/ + e_2/2.2系統能控性分析系統的可控性可根據秩判據進行可控性判斷。線性定常連續系統完全可控的充 分必要條件是：rank(B ABAnB)二n ,其中n為系統矩陣A的階次,M =(B ABAnB)為系統的可控性矩陣。matlab程序及運行結果如下：>> A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;>> B=0;1;0;3;>> T=ctrb(A,B);>> ran k(T)ans =由于rank (Ic ) =4,可見該系統是完全可控的2.3系統能觀測性分析系統的可控

11、性可根據秩判據進行可控性判斷。線性定常連續系統完全可控的充 分必要條件是：-CCArank N =rank |=門或舊門k(CT ArCT (Ar)2C- (AT)n_1CT) = nCA：其中n為系數矩陣A的階次。matlab程序及運行結果如下：>> A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;>> C=1 0 0 0;0 0 1 0;>> TO=obsv(A,C);ran k(T0)ans =由于rank ( T0)=4，故該系統是可觀測的4三狀態反饋與狀態觀測器設計3.1狀態反饋原理設n維線性定常系統：x = Ax Bu,

12、 y = Cx其中x,u,y分別是n維、p維、q維向量；A B C分別是n*n維，n*p維，n*q維實數矩陣。狀態反饋系統的控制量u取為狀態x的線性函數：u = v _ Kx其中，v為p參考輸入向量，K為p*n維實反饋增益矩陣。加入狀態反饋后系統的結構圖如圖3.1所示：圖3.1系統的全狀態反饋結構圖 則系統狀態反饋的動態方程為：x= A - BK x Bv, y = Cx3.2狀態反饋觀測器和simulink仿真狀態反饋的的實現是利用狀態反饋使系統的閉環極點位于所希望的極點位置。 而狀態反饋任意配置閉環極點的充分必要條件是被控系統可控。直線一級倒立擺系 統是可控的。設系統期望極點為；'

13、1'2'3'4-2-3 -4 3i -4-3i丨，則系統期望特征多項式為:a S = S 九1S 九2S 3 s -，4列寫狀態反饋系統的特征多項式:det SI - A BK令兩個特征多項式各項系數對應相等，則可解出K陣。由matlab求出狀態反饋矩陣K,編程如下：A=0 1 0 0;0 0 0 0;0 0 0 1;0 0 29.4 0;>> B=0;1;0;3;>> K=acker(A,B,-2 -3 -4+3i -4-3i)K =-5.1020 -5.8844 35.1673 6.2948系統加入0.1m/s2的階躍輸入，在構成的狀態反饋調

14、節器控制下，MATLA中進行 系統的階躍響應仿真，編程如下：A=0 1000 0 0 00 0 0 10 0 29.4 0;B仁0103;C=1 0 0 00 1 0 00 0 1 00 0 0 1;D1=0 0 0 0'dt=0.005;ieof=801;for i=1:ieof;U(:,i)=0.1;T(i)=i*dt;end;%離散化op=-2% 期望極點-3-4+3i-4-3i;K=place(A,B1,op)AkO=(A-B1*K);Bk0=B1;CkO=C;DkO=D1;lqrop=eig(AkO);x=0 0 0 0'dt=0.005;% 離散時dA,dB=c2d

15、(Ak0,Bk0,dt);%經離散化得到離散狀態方程Ak1=(A-B1*K);Bk1=B1;Ck1=C;Dk1=D1;sys=ss(Ak1,Bk1,Ck1,Dk1);Y,X=lsim(sys,U,T);plot(T,-Y),grid;lege nd('Cart','VCart','s in gle','Vs');圖3.2極點配置為-2 -3 -4+3i -4-3i時的全狀態反饋仿真圖橫軸時間單位秒，從圖中可以看出，系統穩定。四總結通過對一級倒立擺的分析可知，在開環情況下，倒立擺的平衡系統是不穩定的 的；通過秩判據可知，其系統是可控

16、可觀測的；以上都是利用MATLAB寸其進行分析 和設計，對其系統進行了穩定性、可控性、可觀測性分析，以及極點配置和最優控 制設計，從中我們可以看出，MATLAB為一種交互式計算分析軟件，其強大的運算 分析功能，集科學計算、程序設計和可視化于一體的高度集成化軟件環境，為控制 系統的分析設計，特別是高階系統綜合設計，提供了一種方便可靠的途徑。參考文獻1李國勇，控制系統數字仿真與 CADM，北京：電子工業出版社，2003, 92王丹力，MATLAB控制系統設計仿真應用M，北京：中國電力出版社，2007,93薛定宇，控制系統仿真與計算機輔助設計M，北京：機械工業出版社，2005,14金以慧，過程控制M，北京：清華大學出版社，2003, 6 劉金琨.先進PID控制及其MATLAB仿真M.北京：電子工