1、6.5數列的綜合應用典例精析題型一函數與數列的綜合問題【例1】已知f(x)logax(a0且a1)，設f(a1)，f(a2)，f(an)(nN*)是首項為4，公差為2的等差數列.(1)設a是常數，求證：an成等比數列；來源:(2)若bnanf(an)，bn的前n項和是Sn，當a時，求Sn.【解析】(1)f(an)4(n1)×22n2，即logaan2n2，所以ana2n2，所以a2(n2)為定值，所以an為等比數列. (2)bnanf(an)a2n2logaa2n2(2n2)a2n2，當a時，bn(2n2) ·()2n2(n1) ·2n2，Sn2·233

2、·244·25(n1) ·2n2，2Sn2·243·25n·2n2(n1)·2n3，兩式相減得Sn2·2324252n2(n1)·2n316(n1)·2n3，來源:所以Snn·2n3.【點撥】本例是數列與函數綜合的基本題型之一，特征是以函數為載體構建數列的遞推關系，通過由函數的解析式獲知數列的通項公式，從而問題得到求解.【變式訓練1】設函數f(x)xmax的導函數f(x)2x1，則數列(nN*)的前n項和是()A. B. C. D.【解析】由f(x)mxm1a2x1得m2，a1.所以f

3、(x)x2x，則.所以Sn11.故選C.題型二數列模型實際應用問題【例2】某縣位于沙漠地帶，人與自然長期進行著頑強的斗爭，到2009年底全縣的綠化率已達30%，從2010年開始，每年將出現這樣的局面：原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化.(1)設全縣面積為1,2009年底綠化面積為a1，經過n年綠化面積為an1，求證：an1an；(2)至少需要多少年(取整數)的努力，才能使全縣的綠化率達到60%？來源:【解析】(1)證明：由已知可得an確定后，an1可表示為an1an(14%)(1an)16%，即an180%an16%an.來源:數理化網(2)由an

4、1an有，an1(an)，又a10，所以an1·()n，即an1·()n，若an1，則有·()n，即()n1，(n1)lg lg 2，(n1)(2lg 2lg 5)lg 2，即(n1)(3lg 21)lg 2，所以n14，nN*，所以n取最小整數為5，故至少需要經過5年的努力，才能使全縣的綠化率達到60%.【點撥】解決此類問題的關鍵是如何把實際問題轉化為數學問題，通過反復讀題，列出有關信息，轉化為數列的有關問題.【變式訓練2】規定一機器狗每秒鐘只能前進或后退一步，現程序設計師讓機器狗以“前進3步，然后再后退2步”的規律進行移動.如果將此機器狗放在數軸的原點，面向正

5、方向，以1步的距離為1單位長移動，令P(n)表示第n秒時機器狗所在的位置坐標，且P(0)0，則下列結論中錯誤的是()A.P(2 006)402B.P(2 007)403C.P(2 008)404D.P(2 009)405【解析】考查數列的應用.構造數列Pn，由題知P(0)0，P(5)1，P(10)2，P(15)3.所以P(2 005)401，P(2 006)4011402，P(2 007)40111403，P(2 008)4013404，P(2 009)4041403.故D錯.題型三數列中的探索性問題【例3】an，bn為兩個數列，點M(1,2)，An(2，an)，Bn(，)為直角坐標平面上的點

6、.(1)對nN*，若點M，An，Bn在同一直線上，求數列an的通項公式；(2)若數列bn滿足log2Cn，其中Cn是第三項為8，公比為4的等比數列，求證：點列(1，b1)，(2，b2)，(n，bn)在同一直線上，并求此直線方程.【解析】(1)由，得an2n.(2)由已知有Cn22n3，由log2Cn的表達式可知：2(b12b2nbn)n(n1)(2n3)，所以2b12b2(n1)bn1(n1)n(2n5).得bn3n4，所以bn為等差數列.故點列(1，b1)，(2，b2)，(n，bn)共線，直線方程為y3x4.【變式訓練3】已知等差數列an的首項a1及公差d都是整數，前n項和為Sn(nN*).若a11，a43，S39，則通項公式an.【解析】本題考查二元一次不等式的整數解以及等差數列的通項公式.由a11，a43，S39得令xa1，yd得在平面直角坐標系中畫出可行域如圖所示.符合要求的整數點只有(2,1)，即a12，d1.所以an2n1n1.故答案填n1.總結提高1.數列模型應用問題的求解策略(1)認真審題，準確理解題意；(2)依據問題情境，構造等差、等比數列，然后應用通項公式、前n項和公式以及性質求解，或通過探索、歸納構造遞推數列求解；(3)驗證、反思結果與實際是否相符.