1、小學數學“運算能力”相關研究述評摘 要 運算能力是小學生最基本的數學能力，同時具有實用性。數學運算能力滲透在數學學習的各個方面，是運算技能和邏輯思維的有機整合。當前國內外對數學運算能力的研究對象主要在中學和高中階段，對小學生的運算能力研究甚少;研究內容集中在運算能力的影響因素，且與國內外研究的角度不同；對提高運算能力的策略缺乏理論支持，研究的深度和高度不夠，從而導致數學運算能力培養(yǎng)缺乏針對性。關鍵詞 小學生 數學能力 運算能力 因素義務教育數學課程標準（2011年版）中提出了數學十大核心素養(yǎng)，其一為“運算能力”，無疑是對運算能力在小學數學教學中的地位和作用的肯定。數的運算在整個小學階段的學習內

2、容中占有相當大的比，運算能力直接關系著學生對數學基礎知識與基本技能的掌握，關系著學生觀察、記憶、思維等能力的發(fā)展，關系著學生學習習慣、情感、意志等非智力因素的培養(yǎng)。1但是隨著新課改的推進，數學課程標準的基本理念要求數學的基礎性、普遍性，刪除了繁難偏舊的內容，對運算的要求也隨之降低。同時隨著計算技術的迅猛發(fā)展，人們對它的依賴也使計算教學中中最常用和最基礎的知識發(fā)生了變化。國內外對數學運算能力的研究基本呈上升趨勢。本論述通過對CNKI中收集的十余篇期刊和碩博論文整理，對運算能力的概念、特征，小學生運算能力的歷史演變，國內外對運算能力的研究內容，以及之后對運算能力的發(fā)展方向做如下綜述：一、關于概念的

3、研究1邵光華.作為教育任務的數學思想與方法M.上海:上海教育出版社,2009.2克魯捷茨基.中小學數學能力心理學M .上海:上海教育出版社,1983.3林崇德.中學數學教學心理學M.北京教育出版社,2000,125.（一）數學能力前蘇聯心理學家克魯捷茨基系統地研究了數學能力的性質和結構，提出數學能力有九種成分組成，包括：概括數學材料的能力，能使數學材料形化，并用形式的結構即關系和聯系的結構來進行運算能力，能用數學和其它符號來進行運算能力，連續(xù)而有節(jié)奏的邏輯推理能力，縮短推理過程的能力，逆轉心理的過程的能力，思維靈活性能力，數學記憶能力，形成空間概念能力。2 我國學者林崇德說：“數學能力結構是以

4、概括為基礎的開放性生態(tài)系統，是三種基本數學能力（運算能力、空間想象能力、邏輯思維能力）與五種思維品質（思維的深刻性、靈活性、獨創(chuàng)性、批判性、敏捷性）相互交叉的統一整體。”3田萬海認為：“數學能力就是一種特殊能力，它是指在數學學習和數學發(fā)明創(chuàng)造中表現出來的能力。”4 章士藻教授認為“在數學中，能力一般是指運算能力、邏輯思維能力、空間想象能力以及由此產生的分析問題、解決問題的能力等。”5由此可見數學能力包含多種思維發(fā)展能力，其中包括了運算能力，而這幾種思維能力優(yōu)勢相輔相成的，相互促進的，所以研究運算能力之前也需解釋一下數學能力。（二）數學運算能力曹才翰先生在中國中學教學百科全書·數學卷（

5、1991 年版）中指出，運算能力并非一種單一的數學能力,它是運算技能與邏輯思維能力的一種獨特結合。他指出學生運算能力的發(fā)展主要通過數學解題活動來實現。學生的運算能力主要表現為能正確、迅速的感知題目形式，確定題目類型，根據題目類型選擇解題模式、解題方法，然后多方向的尋求解題方法，擺脫思維定勢，力求解法簡潔合理，并對題目類型、解題模式方法進行反思總結概括等。6章士藻先生認為運算是根據運算法則與公式對具體對象進行變形的演繹過程，而運算能力是指根據法則、公式等正確進行運算，而且理解運算的算理，能夠根據運算的條件尋求合理、簡潔的運算途徑。7羅增儒則認為運算能力包括計算技能和邏輯思維。計算技能體現在：能記

6、住數學公式及計算法則，能運用概念、性質進行有關計算和推導；能正確、迅速的得出運算結果，過程合理、推導嚴密。邏輯思維則體現在：合理運用公式法則進行推理，能簡化運算，能對運算結果進行檢查和判斷，自我改正運算中的各類錯誤等。8義務教育數學課程標準（2011 年版）中指出：“運算能力主要是指能夠根據法則和運算律正確地進行運算的能力。培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題。”9盡管運算能力的表述形式多樣，內容上都大同小異。綜上所述，筆者認為運算能力是運算技能與數學思維的結合，主要指能夠根據概念、公式、法則、定理等對題目進行正確的運算，及在理解運算算理的基礎上，能夠借助數學思

7、想方法，尋求合理的運算途徑，并可以靈活地解決問題。二、國內外關于“運算能力“內容的研究4田萬海.數學教育學M.浙江教育出版社,2002,197.5章士藻.中學數學教育學M.江蘇教育出版社,1991,124.6曹才翰 主編.中國中學教學百科全書·數學卷.沈陽:沈陽出版社,1991.7章士藻.中學數學教育學. 第一版. 北京:高等教育出版社, 2007.8羅增儒,李文銘.數學教學論M.陜西師范大學出版社,2003.9教育部.義務教育數學課程標準(2011 年版)M.北京師范大學出版社,2011.（一）國內相關研究1.1我國小學數學“運算能力“的歷史演變我國的小學數學教學中，歷來重視計算教

8、學。1952年至2000年大綱對小學生計算能力10教育部.義務教育數學課程標準(2011 年版)M.北京師范大學出版社,2011.11王永春.小學數學運算能力的培養(yǎng)應與時俱進J.教學研究,2012(10).12 夏小剛.布依族、漢族地區(qū)初中學生數學運算能力的跨文化研究D.貴州師范大學,2000.的要求主要在整數、小數與分數的口算和四則運算，考核的關鍵也就在大量且快速計算的準確度。2001年數學課程標準（實驗稿）雖然沒有單獨提出“運算能力”這個概念，但是提出了不同學段在運算技能和了解數量關系的要求。在最新版的標準中，把“運算能力”作為一個核心概念提出，并且提出“培養(yǎng)運算能力有助于學生理解運算的算

9、理，尋求合理簡潔的運算途徑解決問題”，10把運算能力的培養(yǎng)放在一個更加重要的位置，并且更加注重運算能力的是實用性。強調了對口算和估算的教學，提倡算法多樣化，并將計算器引入到了小學計算教學之中。數學課程標準（2011 年版）解讀明確指出：“運算能力并非一種單一的、孤立的數學能力，而是運算技能與邏輯思維等的有機整合。在實施運算分析和解決問題的過程中，要力求做到善于分析運算條件，探究運算方向，選擇運算方法，設計運算程序，使運算符合算理，合理簡潔。換言之，運算能力不僅是一種數學的操作能力，更是一種數學的思維能力。”11以上可以看出，運算能力關注的不是教給學生簡單的計算來應對實際生活，而是注重培養(yǎng)學生在

10、正確的運算，理解運算算理的基礎上，可以借助數學思想方法，優(yōu)化發(fā)展學生的數學思維。1.2 相關內容的研究1.22義務教育課程標準（2011年版）之前，學者們的主要研究內容：多數學者研究小學數學運算能力的地區(qū)、性別和年級差異：李麗(2006)主要研究的數學能力的地區(qū)差異，結果顯示：城市較高于農村，東部沿海地區(qū)高于西南地區(qū)的學生數學能力。張懷英等對海南省小學生數學能力基礎水平進行了調查分析，研究表明，小學中男生數學運算能力的得分都高于女生，但隨著年級的不斷升高，在數學運算領域局域處于優(yōu)秀和中上等的學生比例呈上升趨勢(四年級除外)。周軍對武漢市小學生數學能力現狀調查的研究結果發(fā)現，三、四年級小學生數學

11、運算能力得分高于一、二、五、六年級。且闡述了其此狀況在學生思維和知識邏輯上造成差異的原因。還有學者從影響數學運算能力的因素進行研究：夏小剛(2000)從不同民族的角度進行了調查，得出“文化背景差異對學生運算能力的發(fā)展具有明顯的影響作用，特別是教師的教學觀念和學生父母的文化程度成為影響學生運算能力發(fā)展的重要因素”。12李麗在對小學生數學能力發(fā)展水平現狀研究發(fā)現：文化、經濟背景、家庭教育和學前教育、學校教學活動的水平等因素造成了小學生數學運算能力的差異。13這些研究都是關注小學生的數學能力方面，且主要集中在數學運算能力的影響因素上。司繼偉博士（2002）則從小學生估算能力的現狀，影響小學兒童估算能

12、力的外部和內部因素，提高小學生估算能力的策略等幾個方面對小學估算能力做了全面的研究。梅芳（2007）從小學生計算能力的現狀，小學生計算興趣，提高小學生計算能力的具體對策等幾方面做了細致研究。雖然這兩者對小學生的計算能力的現狀和策略進行了分析，但是這也是在新課程標準之前。1.22新版課程標準之后，學者們的研究內容：然而國內大多數關于數學運算能力的研究都集中在初中和高中階段，有關小學生數學運算能力方面的研究遠不如在初、高中階段的研究多，其研究內容的深度和廣度也不及初高中。那些關注初高中生數學運算能力的文章內容相近，大多集中在激發(fā)學生的數學運算的興趣，加強基礎知識的教學，熟練掌握算理及科學合理的訓練

13、等。這些文章關注的內容較窄，僅關注數學運算能力的培養(yǎng)，對初高中生數學運算能力的影響因素缺乏深層次的思考，從而導致數學運算能力的培養(yǎng)缺乏針對性。 也有幾篇關于小學生數學運算能力的文章，比如蘇井生小學數學運算能力培養(yǎng)研究和齊迎春新課程下關于小學數學運算教學的思考，兩篇文章只是泛泛的談了培養(yǎng)的策略。而王永春小學數學運算能力的培養(yǎng)應與時俱進，它闡述的運算能力比較全面，包括運算能力的不同階段的認識，影響小學生運算能力的主客觀因素和具體的培養(yǎng)策略，本人認為這13 李麗.中國小學生基本數學能力發(fā)展水平現狀抽樣研究J.公共衛(wèi)生與預防醫(yī)學,2006,04:42-49.14 Delphine Martinot.M

14、ichel Desert, Awareness of a gender stereotype, personal beliefs and self-perceptions regarding math ability: when boys do not surpass girls J, Soc Psychol Educ, 2007,10:455-471.篇文章既具體又有一定深度，結合實踐分析透徹，極具代表性。（二）國外相關研究1.1國外研究的主要方面：在數學能力的影響因素方面，國外學者從性別、年級、焦慮與態(tài)度、文化神經學、大腦變性形態(tài)學角度進行論述：Michel Desert（2007）探究了

15、四年級和七年級兩個年級的男女生在數學能力上的性別差異。他認為孩子們對贊同男孩在數學能力性別刻板印象并沒有清晰的意識，然而研究結果表明不論哪個年級的女孩子都認為她們比男孩子們做的更好。而當她們的性別認同感有顯著差異時，男孩子們認為女孩們過高的估計了她們的數學成績。另一方面，不考慮女孩們在年齡和刻板意識或者個人信仰，當她們的性別認同感有顯著差異時，她們的數學成績都高于性別認同感沒有顯著差異時期。14也有研究數據顯示數學能力低的學生頻繁出現高級別的焦慮，并且會影響到學習和涉及到學生能力的獲得、精力集中和對數據問題的解碼。基本數學能力被發(fā)現與態(tài)度和焦慮有關，同時也是影響大學生學習的重要因素。Aisha

16、 Mahmood, Mohd Fauzi Othman, Yudariah Mohammad Yusof（2012）用文化神經科學的觀點提出了一個關于數學思維、數學技能、數學能力、數學過程以及數學成績的概念框架。15數學思維和文化神經學的雙向交互影響常常被用來探索數學思考反應在受到文化的影響時，學習方式、思維模式和神經性行為方面的差異。還有學者研究了兒童數學能力和大腦結構之間的關系研究者運用大腦變形形態(tài)學展示腦部形態(tài)和數學精通方面的相關性。根據近些年的文獻顯示，與國內的研究主要集中在區(qū)分測試各項數學能力階段不同，國外的研究從更細致更加精確的角度分析數學能力與其他因素的相關性，尤其是心理學以及生

17、理學方面，應該是更具研究的專業(yè)性。1.2國外近幾年數學運算能力的現狀：目前，加強和提高學生的運算能力已成為國際數學教育改革的重要內容之一。美國、日本、新加坡等都對課程標準提出了相應的技能和要求。美國開始重視基礎知識和基本技能在解決問題中重要作用，認為使用高效的、精確的運算方式進行運算是必要的，但學生應該學會使用不同的方式、合理的運算規(guī)則進行運算，包括心算、估算、筆算。對于計算教學方面的要求近年來也做出了修改和補充，它于近年來重新修訂了中小學數學課程與評價標準提出：要學生慎用計算器，注重分數教學的意義和教學過程，提高了分數教學的地位。在整數教學中，則要重視計算的流暢性。要求學生能夠熟練地使用整數

18、運算的法則等等。16日本2011年實行的小學數學課程改革中，就更加重視對基礎知識的反復訓練及通過實驗觀察和培養(yǎng)小學生的思維能力，新增了增加四位數加減法，三位數乘兩位數，帶分數的計算，兩位小數的計算，分小數混合運算等方面的內容。新加坡典型的教學法批判性教學法。其核心是要求學校加強對學生批判性思維能力的訓練。這種以認知過程為基礎的批判性訓練要求學生掌握一系列技能、過程、程序和練習。其中數學運算技能包括估計和近似、心算、交流、使用數學工具、代數運算、數據處理等內容。其中最具特色的是習題種類多、數量多。書中安排大量的例題和習題。可見，培養(yǎng)學生運算技能在教材中得到濃墨重彩的渲染。由此可見，每個國家雖有各

19、自不同要求，但是普遍都開始重視運算能力以及它的實用性，強調要以學生的角度來設計課程，先通過對學生運算能力的培養(yǎng)，繼而發(fā)展學生的數學能力及其他能力。15 Aisha Mahmood,Mohd Fauzi Othman,Yudariah MohammadYusof,A Conceptual Framework for Mathematical Ability Analysis through the Lens of Cultural Neuroscience J, Procedia - Social and Behavioral Sciences,2012,8(56):175-182.16王東岳.

20、新課標下小學生運算能力的培養(yǎng)研究D.華中師范大學,2013.三、總結綜上所述，無論從運算能力的定義解釋，還是看各國的義務教育數學能力方面的改革，都可以看出運算能力是運算技能與數學思維的結合，主要培養(yǎng)學生的數學思想。我國在新課標出版之前，學者對運算能力的研究主要集中在差異分析和影響因素上。且影響因素分析上空泛，不及國外更細致的從心理學和生理學切入的研究。再者，新課改后關于小學生的運算能力的研究甚少，大都集中在初中、高中。況且初高中的運算能力的研究過于空泛，缺乏理論依據。小學基礎階段的運算能力培養(yǎng)更為重要，影響著升學后的數學思維的整體發(fā)展水平。筆者認為今后運算能力的研究應會趨向于小學階段，且會結合

21、兒童心理學和教育學兩個方面更深入分析影響因素、問題及對策。由于本人對國外相關文獻研究的不足，只了解最近幾個國家在政策上對小學生運算能力的改革。而對相關方面的理論研究的查閱還很欠缺。相信隨著各國教育政策的改革也是學者研究方向改變的指南針。針對我國小學生數學運算能力的問題，國家方面應給與支持，研究者應從理論上多角度分析，最關鍵的在于教師，教師必須了解知識背后蘊含的數學思想方法，在教學中合理設計，啟發(fā)和引導學生的運算能力和數學思維的發(fā)展。通過教師創(chuàng)新教學手段和生活實際相結合的運算策略來進行高效教學，切實提高小學生的數學運算能力和發(fā)展學生的數學思維。參考文獻1邵光華.作為教育任務的數學思想與方法M.上海:上海教育出版社,2009.2克魯捷茨基.中小學數學能力心理學M .上海:上海教育出版社,1983.3林崇德.中學數學教學心理學M.北京教育出版社,2000,125.4田萬海.數學教育學M.浙江教育出版社,2002,197.5章士藻.中學數學教育學M.江蘇教育出版社,1991,124.6曹才翰 主編.中國中學教學百科全書·數學卷