1、精品文檔精品文檔8-4與圓有關的角知識考點：1、掌握與圓有關的角，如圓心角、圓周角、弦切角等概念；2、掌握圓心角的度數等于它所對弧的度數；3、 掌握圓周角定理及其推論；4、掌握弦切角定理及其推論；5、掌握各角之間的轉化及其綜合運用。精典例題：【例1】如圖，在等腰厶 ABC中，AC= BC, / C= 1000，點P在厶ABC的外部，并且 PC= BC,求/ APB 的度數。分析：注意條件 AC= BC= PC,聯想到圓的定義，畫出以點 C為圓心，AC為半徑的圓，問題則得以解決。 解： AC= BC, PC= BC A B P三點在以C為圓心，AC為半徑的圓上1若P、C在AB的同側，則/ APB

2、= / ACB2/ ACB= 1000，/ APB= 500 若 P、C在 AB 的異側，則/ APB= 1800- 50= 130°【例2】如圖，在 ABC中，/ B= 900, O是AB上一點，以 O為圓心，OB為 半徑的圓與 AB交于E,與AC切于點D,直線ED交BC的延長線于分析：由 AD： AE= 2 : 1 和厶 AD0A ABD有 DE ： DB= 1 :=BD，故結論得證。DE解：連結BD/ AC為O O 的切線，/ 1 = 7 2/ A=7 A,." ADEA ABDADBDAD2DB2o ，即2AEDEAE1DE1/ BE為O O 的直徑，/ BDE=

3、90°7 2+7 BEF= 900,vZ F+Z BEF= 900,.7 2 =7 FBD cot 7 F= cot 7 2 = 2DE【例3】如圖，由矩形 ABCD的頂點D引一條直線分別交 長交 BGF的外接圓于 H,連結 GH BH(1)求證： DFAA HBG2,F,若 AD： AE= 2 :而/ F=Z EBD 則1,求cot / F的值。cot / F= cot / EBDBCBC及AB的延長線于F、G,連結AF并延(2)過A點引圓的切線 AE, E為切點，AE= 33 , CF：求AB的長；(3)在(2)的條件下，又知 AD= 6,求tan / HBG的值。 分析：(1)

4、(2)由切割線定理得(3)11DG AQ AD AB 得 aq22證/ DAF=Z AFB=Z BGH / DFA=Z HFG=Z HBG即可; 由 DC/ AG 得 CF : FB= CD： BG= 1 : 2，貝U AB： AG= 1 : AB= 3;由（2）知 AB= 3, AG= 9，過 A 作 AQL DG 于 Q。 1 18 13。所以 DF= - DG=13。1333,FB= 1 : 2,由AD2 DQ DG 得 DQ 1123，所以 qf13AQ13。故 tan / HBG= tan / HFG= tan / QFAf= 18。13FQ探索與創新:【問題一】 如圖，已知，半圓的

5、直徑 AB= 6cm, CD是半圓上長為2cm的弦，問：當弦 CD在半圓上 滑動時，AC和BD延長線的夾角是定值嗎？若是，試求出這個定角的正弦值；若不是，請說明理由。分析：本題有一定難度，連結 BC （或AD）可構成直角三角形，這是遇直徑常用的輔助線。解；連結BC CD為定長，雖CD滑動，但CD的度數不變，/ PBC為定值/ P=Z ACP-Z PBC= 90°-Z PBC為定值/ PCD=Z PBAPCDA PBACDO問題一圖PCPBCDBA2 1pc在 Rt PBC 中，cos / P=6 3PB評注：本題是在變中尋不變，有一定的難度，但考慮到常用的輔助線一一直徑，問題便迎刃而

6、解 了。cDE問題一變式圖變式：如圖，BC與AD交于E,其它條件與上題一致，問/ P與/ DEB的大小關系？0pC cd分析： AB為直徑，則/ PCB=Z ADB= 90 ,而cos / P= 又tPB AB CEDA AEB CD DE = cos / DEB cos / P= cos / DEB 故/ P 與/ DEB AB EB的大小相等。【問題二】 如圖，AB是O O的直徑，弦（非直徑）CDLAB, P是O O上不同于C、D的任一點。（1）當點P在劣弧CD上運動時，/ APC與/ APD的關系如何？請證明你的結論；2）當點P在優弧CD上運動時，/ APC與/ APD的關系如何？并證明

7、你的結論（不討論P與A重合的情形）。分析：（1） P在劣弧CD上運動時，/ APC=Z APD利用垂徑定理及圓周角 定理易證；（2） P在優弧 CD上運動時，/ APOZ APD= 1800,/ APC所對的弧是ADC ,Z APD所對的弧是 AD，而AD AC , ADC AD的度數和等于ADC AC的度數和，等于 3600，由圓周角定理易證明得到結論。跟蹤訓練:一、選擇題：1、 下列命題中，正確的命題個數是（）頂點在圓周上的角是圓周角；圓周角度數等于圓心角度數的一半；900的圓周角所對的弦是直徑；圓周角相等，則它們所對的弧也相等。A、1個B、2個C、3個D 、4個2、已知AB AC與O O

8、相切于B、C, / A= 50：點P是O O上異于B、C的一動點，則/ BPC的度數是（COEL AC,0、1150A 、65B3、O為銳角 ABC的外心，ODL BC,A 、a: b: cC、cosA : cosB : cosC4、如圖，AB是OO的直徑，DB第4題圖5、如圖,O O經過O O的圓心6、7、8、填空題:如圖，如圖，如圖，DDC分別切O55°0亠0 0亠 0、65 或 115 D 、130 或 50OFLAB垂足分別為 D E、F,則OD： OE：、1/a :1/b :1/c、si nA : si nB : si nCC,若/600B、，則O,1800 2-(9020

9、F%(與之間的關系是（ABCD內 接于O O,貝U x =。C是O O上的三個點，當 BC平分/ ABO時，能得出結論 AB是O O的直徑，四邊形A B、如圖，PA切O0于點A,則/ ADF=10、如圖,11、如圖,C、D E都是O 0上的點，則/ 1 + Z 2 =丄(1802（任寫一個）。OP0交O 0于C,延長P0交O 0于點B, PA= AB PD平分/AB已知直徑 AB丄CD于 E,Z C0=，貝ysin2 BE 2O 0與O Q為兩個等圓，0在O 0上，0在O 0上,DAPB交AB于點B兩點，過B的直線交O 0于C,交O Q于D,過C作OO的切線CE與過D作O O2的切線DE交于E

10、, 則/ E=。三、計算題或證明題:12、如圖，已知 P為O 0外一點，PA PB分別切O 0于A、B, QP與 AB相交于點 M, C為AB上一點。求證：/ OPC=Z OCIM13、如圖，O Q與O Q交于A、B兩點，點 0在O Q上，O Q的弦0C交ABO 0于D、E。求證:2(1) A0 =0D 0CABE020UD第13題圖(2) EABC的內心。14、如圖，已知 人。是厶ABC外角/ EAC的平分線，交 BC的延長線于點 D,延長。人交厶ABC的外接 圓于點F,連結FB FC。(1)求證：FB= FC;(2) FB2 FA FD ;(3) 若AB是厶ABC的外接圓的直徑，/ EAC

11、= 120°, BC= 6cm,求AD的長。15、如圖,BPACD 當一AP請說明理由。O O的直徑AB= 6, P為AB上一點，過7 4 3時，是否存在正實數 m，使弦P作O O的弦CD 連結AC BC,設/ BCD= m /CD取短？右存在，請求出 m的值；右不存在，16、如圖，在 ABC中，AD為/ BAC的平分線，以 C為圓心,E,交 AD于 F,交 AE于點 M 且/ B=Z CAE EF： FD= 4 : 3。(1) 求證：AF= DF;(2) 求/ AED的余弦值；(3) 如果 BD= 10,求厶ABC的面積。CD為半徑的半圓交BC的延長線于點參考答案一、選擇題：ACC

12、A二、填空題：6、1400;7、OC/ AB等；8、90°9、45°10、1; 11、120°OC OP三、計算題或證明題：12、提示：連結 OA OA2 OM OP OC2，二 ，又/ O是公共OM OC角， OCSA OPC13、略證：(1)連結，OB,由 OA= OB可得/ QAD=Z OCA / AOD是公共角， OAMA OCA111 1(2)連結AE、BE,由/ ABB/ AOC= / ABC,/ BAB / BOE= / BAC222 214、(1) ( 2)略；(3) 4.3 cm。15、解：連結 OD設存在正實數m，則在O O中過P點的所有弦中，只有垂直于直徑的弦最短。 CP丄 AB于 P。BPAP (74 .31)k6，解得 k6 3、. 32OP= OA- AP= 33 32在 Rt POD中,cos / POD=OPOD / POD= 300,Z ACD= 15074 3，設 AP= k，貝y BP= (74.3)k，又 AB= 6/ AB為O O 的直徑，/ ACB= 900 / BCD=