1、2021中考數(shù)學(xué) 壓軸題型專練：數(shù)學(xué)新定義題型含答案irrir rirrir r1我們規(guī)定：假設(shè) m=(a,b),n=(c,d),那么m?n =ac +bd.女口m=(i,2),n=(3,5),貝y m?n=1 X3+ 2X 5=13.irrir r(i) m=(2,4), n =(2, 3),求 m?n ；irrir r ir r m=(x a,1), n =(x a,x+ 1),求y= m ?n ,問y= m?n的函數(shù) 圖象與一次函數(shù)y=x 1的圖象是否有交點(diǎn),請說明理由.irr解：m =(2,4), n =(2, 3),ir r m?n =2 X2+ 4 X( 3)= 8;無交點(diǎn).irr

2、理 由：rm =(x a,1), n =(x a,x + 1),IT ry= m?n =(x a)2+ (x + 1)=x2 (2 a 1)x+ a2 + 1/y=x2 (2 a 1)x + a2+ 1聯(lián)立方程：x2 (2a 1)x + a2+ 仁x 1,化簡得:x2 2ax + a2+ 2=0,/v=b2 4ac= 8 v 0,方程無實(shí)數(shù)根倆函數(shù)圖象無交點(diǎn).ax by2.對x,y定義一種新運(yùn)算T,規(guī)定:T(x,y)=(其中a、b均為非零常數(shù)),這里2x ya 0 b 1等式右邊是正常的四那么運(yùn)算,例如:T(0,1)= b .T(1, 1)=2 0 12,T(4,2)=1 .(1)求a,b的值

3、；假設(shè)T(m,m+ 3)= 1,求m的值.T(4,2)= 4b1,即 2a+ b=5,解得 a=1,b=3 ;128 2(2)根據(jù)題意得m 3(m3)1，解得m2m (m 3)12經(jīng)檢驗(yàn),m是方程的解.73個三位正整數(shù)M,其各位數(shù)字均不為零且互不相等.假設(shè)將M的十位數(shù)字與百位數(shù)字交換位置,得到一個新的三位數(shù),我們稱這個三位數(shù)為M的友誼數(shù)如:168 的友誼數(shù)為“ 618;假設(shè)從M的百位數(shù)字、十位數(shù)字、個位數(shù)字中任選兩個組成個新的兩位數(shù),并將得到的所有兩位數(shù)求和,我們稱這個和為M的 團(tuán)結(jié)數(shù) 如:123 的 團(tuán)結(jié)數(shù)為 12 + 13 + 21 + 23 + 31 + 32=132 .(1)求證：M與

4、其友誼數(shù)的差能被15整除；假設(shè)一個三位正整數(shù)N,其百位數(shù)字為2,十位數(shù)字為a、個位數(shù)字為b,且各位數(shù) 字互不相等(a豐8豐0)假設(shè) N的 團(tuán)結(jié)數(shù)與N之差為24,求N的值.解:(1)由題意可得，設(shè)M為100 a + 10b + c,那么它的友誼數(shù)為:100 b + 10a + c,(100 a+ 10b + c) (100 b + 10a + c)=100 a + 10b+ c 100 b 10a c=100( a b) + 10( b a)=90( a b),90 a b=6(a- b),15M與其友誼數(shù)的差能被15整除；由題意可得,N=2 X 100+ 10a + b=200 + 10a +

5、 b,N 的團(tuán)結(jié)數(shù)是:10 X2+ a + 10 a+ 2 + 10 X2+ b + 10 xb + 2 + 10 a+ b +10 b+ a=22 a + 22 b + 44, 22a + 22 b + 44 (200 + 10a + b)=24,a、b為整數(shù)，且a半(b* 0a加,a= 8a=1解得或,即N是284或218 .b= 4b=84定義：如果一元二次方程ax2 + bx + c=0(a豐0滿足a + b + c=0 .那么我們稱這個 方程為鳳凰方程.(1) ax2 + bx + c=0( a*0)是 鳳凰"方程.且有兩個相等的實(shí)數(shù)根.試求a與c 的關(guān)系；關(guān)于x的方程m(

6、x2 + 1) 3x2+ nx=0是 鳳凰方程，且兩個實(shí)數(shù)根都是整 數(shù).求整數(shù)m的值.解:(1)由題意得:a + b + c=0, b = a c, /ax2+ bx + c=0( a *0)有兩個相等的實(shí)數(shù)根,/v=b2 4ac=0,把 b= a c 代入到 b2 4ac=0 中得:(a c)2 4ac=0, (a c)2=0, '/a=c;(2) m(x2+ 1) 3x2 + nx=0,( m 3)x2 + nx + m=0, 當(dāng) x=1 時,2 m 3 + n=0, n=3 2m,/ = n2 4m(m 3)= n2 4m2 + 12m=(3 2m)2 4 m2+ 12 m=9,

7、n V9n 3 2m 3 3-x=,2 m 3 2m 62m 6m解得 X1=,X2=1,m 3因?yàn)榉匠虄蓚€實(shí)數(shù)根都是整數(shù)，/整數(shù)m為0或2或4或6.5.設(shè)三個內(nèi)角的度數(shù)分別為a、B、y如果其中一個角的度數(shù)是另一個角度數(shù)的 3倍，那么 和諧并把滿足條件的a、B Y陸Y稱為 和諧的一組值.例如 a=30° ,3=60°，尸90。是 和諧的一組值.(1)當(dāng)a=48 °寫出以a=48。為其中一個內(nèi)角的 和諧的一組值；當(dāng)a> 135。時,符合條件的和諧的值是否只有一組,寫出你的判斷并用含a的 代數(shù)式表示3、Y；a為何值時，符合條件的和諧的值分別有一組、二組、三組值？

8、請你分別寫 出對應(yīng)a的值或范圍(直接填在下表中).符合條件的和諧的值一組二組三組a的值或范圍解： a=48 ° ,33 ° ,99。或 a=48 ° ,=16 ° ,116 °1 3只有一組，3= (180 °- a, r - (180。 a.44 a 135 ° ,45MaV 135 ° ,0 NaV 45 ° .【解法提示】 a 135。時,只有一組；45 °< aV 135。時,有二組；0 °V aV 45。時,有 三組.6.觀察下表：我們把某格中字母相加所得到的多項(xiàng)式稱為

9、特征多項(xiàng)式,例如第1格的 特征多項(xiàng) 式為4x + y,答復(fù)以下問題：序號123圖形xxyxxxxxy yxxxy y x x xxxxxyyyxxxxyyyxxxxyyyxxxx第3格的特征多項(xiàng)式為，第4格的特征多項(xiàng)式為 ，第n格的特征多項(xiàng)式為 ；假設(shè)第1格的 特征多項(xiàng)式的值為一10,第2格的 特征多項(xiàng)式的值為一16 .求x,y的值;在的條件下,第 n格的特征多項(xiàng)式是否有最小值？假設(shè)有,求出最小值和相應(yīng)的n值；假設(shè)沒有，請說明理由.解:(1):16 x + 9y; 25x + 16y; (n + 1) 2x + n2y;【解法提示】第 3格的 特征多項(xiàng)式為:16x + 9y;第4格的 特征多項(xiàng)

10、式為:25 x +16y;第n格的 特征多項(xiàng)式"為:n + 12x+ n2y;第1格的特征多項(xiàng)式的值為一10,第2格的 特征多項(xiàng)式的值為一16,根據(jù)題意可得:4x9xy= 104y= 1624x=解得7;26242624262將 x= ,y =代入(n + 1)2x+ n2y=( )(n + 1)2+ n2= (n _ 12)231257312即當(dāng)n=12時,最小值為一77在平面直角坐標(biāo)系xOy中,定義一種變換：使平面內(nèi)的點(diǎn)P(x,y)對應(yīng)的像為P ' a(+ by,bx ay),其中a、b為常數(shù).點(diǎn)(2,1)經(jīng)變換后的像為(1, - 8).(1)求a,b的值；線段OP=2,

11、求經(jīng)變換后線段O'P '的長度(其中O'、P分別是O、P經(jīng)變換 后的像,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)).2ab=1解：(1)根據(jù)題意,得,2ba= 8a=2解得；b=3OP=2，點(diǎn)P的坐標(biāo)是(x,y),根據(jù)勾股定理知,x2 + y2=4 .TO '、P '分別是O、P經(jīng)變換后的像,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，O、(0,0)P、(2 3y, 3x 2y),O、p、= (2x 3y)2( 3x 2y)2 =13(x2y2)八 13 4 =2幣，即經(jīng)變換后線段OP 的長度是213 .8定義新運(yùn)算：(a,b) (d)=(ac,bd),(a,b) (d)=(a+ c,b+ d),(a,b)

12、*(c,d)=a2 + c2 bd (1)(1,2) -p()=(2, 4),分別求出p與q的值；在(1)的條件下，求(1,2)()的結(jié)果.解：(1) a;b) c,d)=(ac,bd),-(1,2)p；q)=(i 禺2 切，- (1,2) p,q)=(2； - 4)；p=2；2q= 4, q= 2;(2) p=2,q= 2,(a,b) (,d)=(a+ c,b+ d), (1,2) p；q)=(1,2)22) =(3,0).2 29拋物線 axbx G,y2a2xb?x c2,且滿足1 k(k 0,1),那么拋物線yi, 丫2互為 友好拋物線.a2dC?(1)假設(shè)y2有最大值8,那么y1也有

13、最大值，這樣的說法對嗎，為什么？(2)結(jié)合二次函數(shù)的特點(diǎn)和你對友好拋物線的理解，寫出至少2條結(jié)論.解：(1)不對如果y2的最值是8,那么y1的最值是4a1c1 b,24a1kglal 8k,4a2當(dāng)k>0時；y1有最大值為8 k;當(dāng)k<0時；y1有最小值為8 k.(2)當(dāng)a1與a2符號相反時其開口方向相反，當(dāng)| a1|吞|時，兩拋物線開口大小不同；y1與y2的對稱軸相同；如果與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，那么y2與x軸也有兩個不同的交點(diǎn)(寫出2條合理結(jié)論即可)10.在直角坐標(biāo)系中，如果二次函數(shù)y=ax2+ bx + 2(a豐0的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與 y軸交于點(diǎn)C(0,2),且AB

14、=OC,那么我們稱這個二次函數(shù)為和合二次函2 2 8(1)判斷二次函數(shù)y=x2+ x+ 2和y= X x + 2是否為和合二次函數(shù)并說明3 3 和合二次函數(shù)y=ax2 + bx + 2的圖象經(jīng)過點(diǎn)(一6,2).求a與b的值； 此函數(shù)圖象可由拋物線y=ax2經(jīng)過怎樣的平移得到？2 2 8解:(1) y=x2 + x+ 2與x軸沒有交點(diǎn)，所以不是和合二次函數(shù)；y= X x+ 23 3與 x 軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為 A( 4,0), B( 2,0), AB =2, AB = OC,2 2 8y=3x3x +2是和合二次函數(shù)；.y=ax2 + bx + 2與x軸交點(diǎn)的橫 坐標(biāo)為X1,x2,b2貝y x1 +

15、X2= ,X1?X2= ,aa由題意得,b28a2 a=2,解得36a 6b 2=2y= 1 x243x+ 2= 1 (x 3)2 12 44拋物線y=lx2向右平移3個單位,再向下平移丄個單位得到y(tǒng)=-(x 3)2 -4 44411我們定義：等腰三角形中底邊與腰的比叫做頂角的正對(sad)如圖，在VABC中,AB=AC,頂角A的正對記作sadA，這時sadA=底邊 匹,容易知道一個角的大小與這個角的正對值腰 AB也是相互唯一確定的根據(jù)上述角的正對定義，解答以下問題：,sad90(1) sad60(2)如圖，sinA= 3 ,其中VA為銳角，試求sadA的值.5解：(1)1八 2 ;(2)設(shè)

16、AB=5a,BC=3a,那么 AC=4a,如解圖，在AB上取AD=AC=4a,作DE VAC于點(diǎn)E,34那么 DE=AD sin=4a ,AE=AD coA=4a ,5 5164CE=4a a= a,55cd= iCE2DE24 212 2(評(課4 10a5CD 尿-saA=AC第11題解圖12閱讀材料,解答下面問題:如果一個三角形能被經(jīng)過其頂點(diǎn)的一條線段分割成兩個等腰三角形,那么稱這個 三角形為特異三角形,這條線段為這個三角形的特異線.如圖V , ABC中，從=36 ° ,ABC = V C=72 ° BD平分VABC , VABC 被分成了兩個等腰 三角形,即ABD、

17、TBDC .我們稱BD為TABC的特異線,TABC為特異三角形.(1)如圖/ , 'ABC中,-.B=2 / C,線段AC的垂直平分線交AC于點(diǎn)D,交BC于點(diǎn)E .求證:AE是'ABC的一條特異線.假設(shè)'ABC是特異三角形，.A=30 ° , B為鈍角，請?jiān)趫D、圖中嘗試畫出'ABC的兩條特異線,并標(biāo)出'C的度數(shù),(說明：圖形為示意圖,只需畫出圖形,標(biāo)出角度即EEC圖解:(1) DE是線段AC的垂直平分線, EA = EC,即'EAC是等腰三角形, EAC ='C, AEB ='EAC + '/C=2 / C,/B

18、=2 / C,AEB ='B,即'EAB是等腰三角形,AE是'ABC是一條特異線；如解圖',BD是特異線時，BDC =150 ° ,C=15 ° ,女口解圖 v,AD =AB,DB=DC,那么 VADB = '/ABD =75C=37.5圖13.定義,如果一個銳角等腰三角形滿足一個角度數(shù)是另一個角度數(shù)的2倍,那么我們稱這個三角形為智慧三角形 智慧三角形頂角的度數(shù)為 如圖/，正五邊形ABCDE中，對角線AC,BE交于點(diǎn)P.求證：TAPE是 智慧三角(3) 如 圖/,六邊形 ABCDEF 中,AB '/DE ,BC /EF ,CD

19、 /AF,且/A=108 ° , /=144 /求/D的度數(shù)；/求證:AB + BC=DE + EF .第13題圖(1)解:36 °【解法提示】分兩種情況：底角度數(shù)是頂角度數(shù)的2倍時，設(shè)頂角度數(shù)為x,那么底角度數(shù)為2x,由三角形內(nèi)角和定理得：x+ 2x + 2x=180 ° ,解得x=36 °即頂角度數(shù)為36 °頂角度數(shù)是底角度數(shù)的2倍時，設(shè)底角度數(shù)為x,那么頂角度數(shù)為2x,由三角形內(nèi)角和定理得：x+ x+ 2x=180 ° ,解得x=45 ° x=90 °不合題意;綜上所述：智慧三角形頂角的度數(shù)為36 °

20、;證明：五邊形ABCDE是正五邊形，AB=AE = BC, ABC=t BAE =108 ° ,ABE =：AEB =T ACB =36 ° ,PAE=108 ° 36 ° =72 ° ,APE =72 ° , 'APE =VPAE=2 / AEB ,AE=PE,APE為智慧三角形；解：延長FA、CB交于點(diǎn)G,延長AB、DC交于點(diǎn)H ,延長CD、FE交于M,如 解圖所示，BAF =108 ° , ABC =144 ° , BAG =72 ° , ABG =36 ° , / G=72 &#

21、176; ,同理：小=72 ° ,AB TDE , CDE =180 ° 72 ° =108°證明:3 = BAG , BG = AB ,同理:EM =DE , BC TEF ,CD TAF ,四邊形GCMF是平行四邊形，TGC = FM,即 BG + BC = EM + EF ,AB + BC = DE + EF ./ C D M第13題解圖14.定義:如果三角形有一條邊上的中線恰好等于這條邊的邊長，那么稱這個三角 形為 勻稱三角形這條中線為 勻稱中線請根據(jù)定義判斷以下命題的真假(請?jiān)谡婷}后的橫線內(nèi)打“/假命題后的橫等腰直角三角形一定不存在勻稱中線

22、/如果直角三角形是勻稱三角形，那么勻稱中線一定是較長直角邊上的中線 ：如圖，在Rt / ABC中，.C=90° AC > BC,假設(shè)TABC是 勻稱三角形求BC : AC : AB 的值；拓展應(yīng)用：如圖/ , ABC是TO的內(nèi)接三角形,AB > AC, BAC =45 °將TABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)45。得TADE ,點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為D,連接CD 交TO于M,連接AM .請根據(jù)題意用實(shí)線在圖沖補(bǔ)全圖形；假設(shè)TADC是 勻稱三角形求tan tAMC的值.圖圖第14題圖解: V；, V 如解圖/ , C=90 ° AC > BC由可知VABC的勻稱中線是AC邊上的中線,設(shè)D為AC中