1、學習必備歡迎下載中考數學二次函數超全知識點記憶口訣中考數學二次函數超全知識點記憶口訣1.1.定義定義：一般地，如果y ax2bx c(a,b,c是常數，a 0)，那么y叫做x的二次函數.2.2.二次函數二次函數y ax2的性質的性質（1）拋物線y ax2的頂點是坐標原點，對稱軸是y軸.（2）函數y ax2的圖像與a的符號關系.當a 0時拋物線開口向上頂點為其最低點；當a 0時拋物線開口向下頂點為其最高點.（3）頂點是坐標原點，對稱軸是y軸的拋物線的解析式形式為y ax2（a 0）.3.3.二次函數二次函數y ax2 bx c的圖像是對稱軸平行于（包括重合）的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y軸的

2、拋物線軸的拋物線. .4.二次函數y ax2 bx c用配方法可化成：y ax h k的形式，其中2b4ac b2h ，k .2a4a5.二次函數由特殊到一般，可分為以下幾種形式：y ax2；y ax2 k；y ax h；y ax h k；y ax2 bx c.226.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點.a的符號決定拋物線的開口方向：當a 0時，開口向上；當a 0時，開口向下；a相等，拋物線的開口大小、形狀相同.平行于y軸（或重合）的直線記作x h.特別地，y軸記作直線x 0.學習必備歡迎下載7.頂點決定拋物線的位置.幾個不同的二次函數，如果二次項系數a相同，那么拋物線的開口方向、開口大小

3、完全相同，只是頂點的位置不同.8.求拋物線的頂點、對稱軸的方法（1）公式法：b4ac b2b 4ac b2（，），頂點是，對稱軸y ax bx c ax 2a4a2a4a22是直線x b.2a2（2） 配方法： 運用配方的方法， 將拋物線的解析式化為y ax h k的形式，得到頂點為(h,k)，對稱軸是直線x h.（3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸， 對稱軸與拋物線的交點是頂點.用配方法求得的頂點， 再用公式法或對稱性進行驗證， 才能做到萬無一失.9.拋物線y ax2 bx c中，a,b,c的作用（1）a決定開口方向及開

4、口大小，這與y ax2中的a完全一樣.（2）b和a共同決定拋物線對稱軸的位置.由于拋物線y ax2 bx c的對稱軸是直線bb，故：b 0時，對稱軸為y軸； 0（即a、b同號）時，a2ab對稱軸在y軸左側； 0（即a、b異號）時，對稱軸在y軸右側.ax （3）c的大小決定拋物線y ax2 bx c與y軸交點的位置.當x 0時，y c， 拋物線y ax2 bx c與y軸有且只有一個交點 （0，c）：學習必備歡迎下載c 0，拋物線經過原點; c 0,與y軸交于正半軸；c 0,與y軸交于負半軸.以上三點中，當結論和條件互換時，仍成立.如拋物線的對稱軸在y軸右側，則b 0.a10.幾種特殊的二次函數的

5、圖像特征如下：函數解析式y ax2y ax ky ax h2開口方向對稱軸頂點坐標（0,0）(0,k)(h,0)(h,k)x 0（y軸）x 0（y軸）x h2當a 0時y ax h k開口向上2x hb2ay ax2 bx c當a 0時x 開口向下11.用待定系數法求二次函數的解析式b4ac b2(，)2a4a（1）一般式：y ax2 bx c.已知圖像上三點或三對x、y的值，通常選擇一般式.（2）頂點式：y ax h k.已知圖像的頂點或對稱軸，通常選擇頂點式.2（3）交點式：已知圖像與x軸的交點坐標x1、x2，通常選用交點式：y ax x1x x2.12.直線與拋物線的交點學習必備歡迎下載

6、（1）y軸與拋物線y ax2 bx c得交點為(0,c).（2）與y軸平行的直線x h與拋物線y ax2 bx c有且只有一個交點(h,ah2bh c).（3）拋物線與x軸的交點二次函數y ax2 bx c的圖像與x軸的兩個交點的橫坐標x1、x2，是對應一元二次方程ax2bx c 0的兩個實數根.拋物線與x軸的交點情況可以由對應的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點 0拋物線與x軸相交；有一個交點（頂點在x軸上） 0拋物線與x軸相切；沒有交點 0拋物線與x軸相離.（4）平行于x軸的直線與拋物線的交點同（3）一樣可能有 0 個交點、1 個交點、2 個交點.當有 2 個交點時，兩交點的縱坐標相

7、等，設縱坐標為k，則橫坐標是ax2bx c k的兩個實數根.（5）一次函數y kx nk 0的圖像l與二次函數y ax2bx ca 0的圖像g的交點，由方程組y kxny ax bxc2的解的數目來確定：方程組有兩組不同的解時l與g有兩個交點; 方程組只有一組解時l與g只有一個交點；方程組無解時l與g沒有交點.（6）拋物線與x軸兩交點之間的距離：若拋物線y ax2 bx c與x軸兩交點0，bx2， 0，由于x1、x2是方程ax2bx c 0的兩個根，故為ax1，學習必備歡迎下載bcx1 x2 ,x1 x2aaab x1 x2x1 x22x1 x22b24acb 4c4x1x2 aaaa2一次函

8、數與反比例函數一次函數與反比例函數考點一、平面直角坐標系考點一、平面直角坐標系（3 3 分）分）1、平面直角坐標系在平面內畫兩條互相垂直且有公共原點的數軸，就組成了平面直角坐標系。其中，水平的數軸叫做x 軸或橫軸，取向右為正方向；鉛直的數軸叫做y 軸或縱軸，取向上為正方向；兩軸的交點o（即公共的原點）叫做直角坐標系的原點；建立了直角坐標系的平面，叫做坐標平面。為了便于描述坐標平面內點的位置，把坐標平面被 x 軸和 y 軸分割而成的四個部分，分別叫做第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。注意：x 軸和 y 軸上的點，不屬于任何象限。2、點的坐標的概念點的坐標用（a，b）表示，其順序是橫坐標在前

9、，縱坐標在后，中間有“，”分開，橫、縱坐標的位置不能顛倒。平面內點的坐標是有序實數對，當a b時，（a，b）和（b，a）是兩個不同點的坐標。考點二、不同位置的點的坐標的特征考點二、不同位置的點的坐標的特征（3 3 分）分）1、各象限內點的坐標的特征點 p(x,y)在第一象限 x 0, y 0點 p(x,y)在第二象限 x 0, y 0點 p(x,y)在第三象限 x 0, y 0點 p(x,y)在第四象限 x 0, y 0學習必備歡迎下載2、坐標軸上的點的特征點 p(x,y)在 x 軸上 y 0，x 為任意實數點 p(x,y)在 y 軸上 x 0，y 為任意實數點 p(x,y)既在 x 軸上，又

10、在 y 軸上x，y 同時為零，即點 p 坐標為（0，0）3、兩條坐標軸夾角平分線上點的坐標的特征點 p(x,y)在第一、三象限夾角平分線上x 與 y 相等點 p(x,y)在第二、四象限夾角平分線上x 與 y 互為相反數4、和坐標軸平行的直線上點的坐標的特征位于平行于 x 軸的直線上的各點的縱坐標相同。位于平行于 y 軸的直線上的各點的橫坐標相同。5、關于 x 軸、y 軸或遠點對稱的點的坐標的特征點 p 與點 p關于 x 軸對稱橫坐標相等，縱坐標互為相反數點 p 與點 p關于 y 軸對稱縱坐標相等，橫坐標互為相反數點 p 與點 p關于原點對稱橫、縱坐標均互為相反數6、點到坐標軸及原點的距離點 p

11、(x,y)到坐標軸及原點的距離：（1）點 p(x,y)到 x 軸的距離等于y（2）點 p(x,y)到 y 軸的距離等于x（3）點 p(x,y)到原點的距離等于x2 y2考點三、函數及其相關概念考點三、函數及其相關概念（3838 分）分）1、變量與常量在某一變化過程中，可以取不同數值的量叫做變量，數值保持不變的量叫做常量。學習必備歡迎下載一般地，在某一變化過程中有兩個變量 x 與 y，如果對于 x 的每一個值，y都有唯一確定的值與它對應，那么就說 x 是自變量，y 是 x 的函數。2、函數解析式用來表示函數關系的數學式子叫做函數解析式或函數關系式。使函數有意義的自變量的取值的全體，叫做自變量的取

12、值范圍。3、函數的三種表示法及其優缺點（1）解析法兩個變量間的函數關系，有時可以用一個含有這兩個變量及數字運算符號的等式表示，這種表示法叫做解析法。（2）列表法把自變量 x 的一系列值和函數 y 的對應值列成一個表來表示函數關系，這種表示法叫做列表法。（3）圖像法用圖像表示函數關系的方法叫做圖像法。4、由函數解析式畫其圖像的一般步驟（1）列表：列表給出自變量與函數的一些對應值（2）描點：以表中每對對應值為坐標，在坐標平面內描出相應的點（3）連線：按照自變量由小到大的順序，把所描各點用平滑的曲線連接起來。考點四、正比例函數和一次函數考點四、正比例函數和一次函數（310310 分）分）1、正比例函

13、數和一次函數的概念一般地，如果y kx b（k，b 是常數，k0），那么y 叫做 x 的一次函數。特別地，當一次函數y kx b中的 b 為 0 時，y kx（k 為常數，k0）。這時，y 叫做 x 的正比例函數。2、一次函數的圖像所有一次函數的圖像都是一條直線學習必備歡迎下載3、一次函數、正比例函數圖像的主要特征：一次函數y kx b的圖像是經過點（0，b）的直線；正比例函數y kx的圖像是經過原點（0，0）的直線。k 的符號b 的符號函數圖像yb00 xk0yb00 xyk0圖像經過一、二、四象限，y隨 x 的增大而減小圖像經過一、三、四象限，y隨 x 的增大而增大。圖像經過一、二、三象限

14、，y隨 x 的增大而增大。圖像特征學習必備歡迎下載0 xyb0 時，圖像經過第一、三象限，y 隨 x 的增大而增大；（2）當 k0 時，y 隨 x 的增大而增大（2）當 k0y圖像oxyoxy k(k 0)xk0 時，函數圖像的兩個分支分別在第一、三象限。在每個象限內，y隨 x 的增大而減小。4、反比例函數解析式的確定x 的取值范圍是 x0，y 的取值范圍是 y0；當 k0y圖像0 xy0 x二次函數y ax2bx c(a,b,c是常數，a 0)a0學習必備歡迎下載（1）拋物線開口向上，并向上無限延伸；（1）拋物線開口向下，并向下無限延伸；（2） 對稱軸是 x=4ac b2）；4abbb， 頂

15、點坐標是 （， （2）對稱軸是 x=，頂點坐標是2a2a2a4ac b2b（，）；4a2a性質（3）在對稱軸的左側，即當xbb時，y（3）在對稱軸的左側，即當 x時， y 隨 x 的增大而增大，側，即當 x時，y 隨 x 的增大2a2a簡記左減右增；而減小，簡記左增右減；b時，y2a（4）拋物線有最低點，當 x=有最小值，y最小值（4）拋物線有最高點，當 x=有最大值，y最大值b時，y2a4ac b24a4ac b24a2、二次函數y ax2bx c(a,b,c是常數，a 0)中，a、b、c的含義：a表示開口方向：a0 時，拋物線開口向上，a0 時，圖像與 x 軸有兩個交點；當=0 時，圖像與

16、 x 軸有一個交點；當0)【或向下(k0)【或左(h0)【或左(h0)【或下(k0)【或下(k0)【或左(h0)】平移|k|個單位y=a(x-h)2y=a(x-h)2+k2.2. 平移規律平移規律在原有函數的基礎上在原有函數的基礎上“ “h值正右移，負左移；值正右移，負左移；k值正上移，負下移值正上移，負下移” ”概括成八個字“概括成八個字“同左上加，異右下減同左上加，異右下減”三、二次函數三、二次函數y ax h k與與y ax2bxc的比較的比較請將y 2x24x5利用配方的形式配成頂點式。請將y ax2bxc配成y ax h k。22總結：總結：學習必備歡迎下載從解析式上看，從解析式上看

17、，y ax h k與與y ax2bx c是兩種不同的表達形式，后者是兩種不同的表達形式，后者b 4ac b2b4acb2通過配方可以得到前者，即通過配方可以得到前者，即y ax，其中，其中h ，k 2a4a2a4a22四、二次函數四、二次函數y ax2bx c圖象的畫法圖象的畫法五五 點點 繪繪 圖圖 法法 ： 利利 用用 配配 方方 法法 將將 二二 次次 函函 數數y ax2bx c化化 為為 頂頂 點點 式式y a(x h)2 k，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，確定其開口方向、對稱軸及頂點坐標，然后在對稱軸兩側，c、左右對稱地描點畫圖左右對稱地描點畫圖. .一般我們

18、選取的五點為：頂點、與一般我們選取的五點為：頂點、與y軸的交點軸的交點0，c關于對稱軸對稱的點關于對稱軸對稱的點2h， c、與與x軸的交點軸的交點x1， 0，x2， 0（若與（若與以及以及0，x軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）軸沒有交點，則取兩組關于對稱軸對稱的點）. .畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與畫草圖時應抓住以下幾點：開口方向，對稱軸，頂點，與x軸的交點，與軸的交點，與y軸的交點軸的交點. .五、二次函數五、二次函數y ax2bxc的性質的性質b4ac b2b1.1. 當當a 0時，時， 拋物線開口向上，拋物線開口向上， 對稱軸為對稱軸為x ， 頂點坐標為頂點

19、坐標為，2a4a2a學習必備歡迎下載當當x bb時，時，y隨隨x的增大而減小；的增大而減小；當當x 時，時，y隨隨x的增大而增大；當的增大而增大；當2a2a4acb2bx 時，時，y有最小值有最小值4a2a2.2. 當當a 0時，拋物線開口向下，對稱軸為時，拋物線開口向下，對稱軸為x b，頂點坐標為，頂點坐標為2ab4acb2bb時，時，y隨隨x的增大而增大；當的增大而增大；當x 時，時，y隨隨x的增的增，當當x 4a2a2a2a4acb2b大而減小；當大而減小；當x 時，時，y有最大值有最大值4a2a六、二次函數解析式的表示方法六、二次函數解析式的表示方法1.1. 一般式：一般式：y ax2

20、bx c（a，b，c為常數為常數，a 0）；）；2.2. 頂點式：頂點式：y a(x h)2 k（a，h，k為常數為常數，a 0）；）；3.3. 兩根式：兩根式：y a(x x1)(x x2)（a 0，x1，x2是拋物線與是拋物線與x軸兩交點的橫坐標軸兩交點的橫坐標） .注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次注意：任何二次函數的解析式都可以化成一般式或頂點式，但并非所有的二次函數都可以寫成交點式，只有拋物線與函數都可以寫成交點式，只有拋物線與x軸有交點，即軸有交點，即b24ac 0時，拋時，拋物線的解析式才可以用交點式表示物線的解析式才可以用交點式表示 二次函數解

21、析式的這三種形式可以互二次函數解析式的這三種形式可以互化化. .七、二次函數的圖象與各項系數之間的關系七、二次函數的圖象與各項系數之間的關系1.1. 二次項系數二次項系數a二次函數二次函數y ax2bxc中，中，a作為二次項系數，顯然作為二次項系數，顯然a 0 當當a 0時，時，拋物線開口向上，拋物線開口向上，a的值越大，的值越大，開口越小，開口越小，反之反之a的值越小，的值越小，開口越大；開口越大； 當當a 0時，時，拋物線開口向下，拋物線開口向下，a的值越小，的值越小，開口越小，開口越小，反之反之a的值越大，的值越大，開口越大開口越大總結起來，總結起來，a決定了拋物線開口的大小和方向，決定

22、了拋物線開口的大小和方向，a的正負決定開口方向，的正負決定開口方向，a的大小決定開口的大小的大小決定開口的大小學習必備歡迎下載2.2. 一次項系數一次項系數b在二次項系數在二次項系數a確定的前提下，確定的前提下，b決定了拋物線的對稱軸決定了拋物線的對稱軸 在在a 0的前提下，的前提下，當當b 0時，時，當當b 0時，時，當當b0時，時，b0，即拋物線的對稱軸在，即拋物線的對稱軸在y軸左側；軸左側；abab 同號同號同左上加同左上加2ab0，即拋物線的對稱軸就是，即拋物線的對稱軸就是y軸；軸；2ab0，即拋物線對稱軸在，即拋物線對稱軸在y軸的右側軸的右側a,ba,b 異號異號異右下減異右下減2a

23、 在在a0的前提下，結論剛好與上述相反，即的前提下，結論剛好與上述相反，即當當b 0時，時，當當b 0時，時，當當b0時，時，總結起來，在總結起來，在a確定的前提下，確定的前提下，b決定了拋物線對稱軸的位置決定了拋物線對稱軸的位置總結：總結：同左上加同左上加 異右下減異右下減3.3. 常數項常數項c 當當c 0時，拋物線與時，拋物線與y軸的交點在軸的交點在x軸上方，即拋物線與軸上方，即拋物線與y軸交點的縱軸交點的縱坐標為正；坐標為正； 當當c 0時，拋物線與時，拋物線與y軸的交點為坐標原點，即拋物線與軸的交點為坐標原點，即拋物線與y軸交點的縱軸交點的縱坐標為坐標為0； 當當c 0時，拋物線與時

24、，拋物線與y軸的交點在軸的交點在x軸下方，即拋物線與軸下方，即拋物線與y軸交點的縱軸交點的縱坐標為負坐標為負總結起來，總結起來，c決定了拋物線與決定了拋物線與y軸交點的位置軸交點的位置b0，即拋物線的對稱軸在，即拋物線的對稱軸在y軸右側；軸右側；a,ba,b 異號異號異右下減異右下減2ab0，即拋物線的對稱軸就是，即拋物線的對稱軸就是y軸；軸；2ab0，即拋物線對稱軸在，即拋物線對稱軸在y軸的左側軸的左側abab 同號同號同左上加同左上加2a學習必備歡迎下載總之，只要總之，只要a， b， c都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的都確定，那么這條拋物線就是唯一確定的二次函數解析式的確定：二次函數解

25、析式的確定：根據已知條件確定二次函數解析式，根據已知條件確定二次函數解析式，通常利用待定系數法通常利用待定系數法用待定系數法求用待定系數法求二次函數的解析式必須根據題目的特點，二次函數的解析式必須根據題目的特點，選擇適當的形式，選擇適當的形式，才能使解題簡便才能使解題簡便一一般來說，有如下幾種情況：般來說，有如下幾種情況：1.1. 已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；已知拋物線上三點的坐標，一般選用一般式；2.2. 已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；已知拋物線頂點或對稱軸或最大（小）值，一般選用頂點式；3.3. 已知拋物線與已知拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩

26、根式；軸的兩個交點的橫坐標，一般選用兩根式；4.4. 已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式已知拋物線上縱坐標相同的兩點，常選用頂點式二、二次函數圖象的對稱二、二次函數圖象的對稱二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達二次函數圖象的對稱一般有五種情況，可以用一般式或頂點式表達1.1. 關于關于x軸對稱軸對稱關于關于cx軸對稱后，得到的解析式是軸對稱后，得到的解析式是y a2x b x；cy a2x b xy ax h k關于關于x軸對稱后，得到的解析式是軸對稱后，得到的解析式是y ax hk；222.2. 關于關于y軸對稱軸對稱關于關于cy軸對稱后，得到的解析式是軸對稱后

27、，得到的解析式是y a2x b x ；cy a2x b xy ax h k關于關于y軸對稱后，得到的解析式是軸對稱后，得到的解析式是y ax h k；223.3. 關于原點對稱關于原點對稱關于原點對稱后，得到的解析式是關于原點對稱后，得到的解析式是cy a2x b x；cy a2x b xky aky axh 關于原點對稱后，得到的解析式是關于原點對稱后，得到的解析式是x h；224.4. 關于頂點對稱關于頂點對稱學習必備歡迎下載b2關于頂點對稱后，得到的解析式是關于頂點對稱后，得到的解析式是cy a x b xy a x b xc；2a22y ax h k關于頂點對稱后，得到的解析式是關于頂

28、點對稱后，得到的解析式是y ax h k22n對稱對稱5.5. 關于點關于點m，y ax h k關于點關于點m， n對稱后，得到的解析式是對稱后，得到的解析式是y ax h 2m 2n k22根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生根據對稱的性質，顯然無論作何種對稱變換，拋物線的形狀一定不會發生變化，因此變化，因此a永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或永遠不變求拋物線的對稱拋物線的表達式時，可以依據題意或方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知方便運算的原則，選擇合適的形式，習慣上是先確定原拋物線（或表達式已知的拋物線）的頂

29、點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方的拋物線）的頂點坐標及開口方向，再確定其對稱拋物線的頂點坐標及開口方向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式向，然后再寫出其對稱拋物線的表達式二次函數與一元二次方程：二次函數與一元二次方程：1. 1. 二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與二次函數與一元二次方程的關系（二次函數與x軸交點情況）：軸交點情況）：一元二次方程一元二次方程ax2bx c 0是二次函數是二次函數y ax2bx c當函數值當函數值y 0時的特殊時的特殊情況情況. .圖象與圖象與x軸的交點個數：軸的交點個數：0，bx2， 0(x1 x2)，其中，其中 當當 b24ac 0時，圖象與時，圖象與x軸交于兩點軸交于兩點ax1，的的x1，x2是一元二次方程是一元二次方程ax2bx c 0a 0的兩根這兩點間的距離的兩根這兩點間的距離b24ac. .ab x2 x1a 當當 0時，圖象與時，圖象與x軸只有一個交點；軸只有一個交點； 當當 0時，圖象與時，圖象與x軸沒有交點軸沒有交點. .1當當a 0時，圖象落在時，圖象落在x軸的上方，無論軸的上方，無論x為任何實數，