1、考點(diǎn)14 指數(shù)函數(shù)【命題解讀】在高考中指數(shù)函數(shù)部分往往與其他知識(shí)點(diǎn)交匯考查，也常與函數(shù)的圖像結(jié)合考查。重點(diǎn)考查與此有關(guān)的性質(zhì)。【基礎(chǔ)知識(shí)回顧】 指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)(1)概念：函數(shù)yax(a0且a1)叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是變量，函數(shù)的定義域是r，a是底數(shù)(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)a10a1圖象定義域(1)r值域(2)(0，)性質(zhì)(3)過(guò)定點(diǎn)(0，1)，即x0時(shí)，y1(4)當(dāng)x0時(shí)，y1；當(dāng)x0時(shí)，0y1(5)當(dāng)x0時(shí)，y1；當(dāng)x0時(shí)，0y1(6)在(，)上是增函數(shù)(7)在(，)上是減函數(shù)常用結(jié)論1指數(shù)函數(shù)圖象的畫法畫指數(shù)函數(shù)yax(a0，且a1)的圖象，應(yīng)抓住三個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：(1，a)，(0，1)

2、，.2.指數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖是指數(shù)函數(shù)(1)yax，(2)ybx，(3)ycx，(4)ydx的圖象，底數(shù)a，b，c，d與1之間的大小關(guān)系為cd1ab0.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)，指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖象越高，底數(shù)越大3指數(shù)函數(shù)yax(a0，a1)的圖象和性質(zhì)跟a的取值有關(guān)，要特別注意應(yīng)分a1與0a1來(lái)研究1、 設(shè)a0.60.6，b0.61.5，c1.50.6，則a，b，c的大小關(guān)系是()aabc bacbcbac dbca【答案】c【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y0.6x在r上單調(diào)遞減，所以b0.61.5a0.60.61.又c1.50.61，所以bac.2、函數(shù)f(x)a

3、xb的圖象如圖所示，其中a，b為常數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()a.a>1，b<0b.a>1，b>0c.0<a<1，b>0d.0<a<1，b<0【答案】d【解析】由f(x)axb的圖象可以觀察出，函數(shù)f(x)axb在定義域上單調(diào)遞減，所以0<a<1.函數(shù)f(x)axb的圖象是在f(x)ax的基礎(chǔ)上向左平移得到的，所以b<0.3、若函數(shù)y(a21)x是r上的減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( )a. 1<a<b. <a<1c. 1<a<，或<a<1d. <a<1，或1

4、<a<【答案】c【解析】由y(a21)x在(，)上為減函數(shù)，得0<a21<1，1<a2<2，即1<a<或<a<1.數(shù)a的取值范圍是1<a<或<a<1.故選c.4、已知函數(shù)f(x)ax32的圖像恒過(guò)定點(diǎn)a，則a的坐標(biāo)為 【答案】(3，3)【解析】由a01知，當(dāng)x30，即x3時(shí)，f(3)3，即圖像必過(guò)定點(diǎn)(3，3)5、函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ゛bc（0，d（0，2【答案】a【解析】令t（x）2xx2（x1）2+11單調(diào)遞減即y故選：a考向一指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用例1、（1）已知定義在r上的函數(shù)f(x)2|xm|1(m為實(shí)數(shù))

5、為偶函數(shù)，記af(log053)，bf(log25)，cf(2m)，則a，b，c的大小關(guān)系為（ ）abac bcab ccba dabc（2）如果函數(shù)ya2x2ax1(a0，a1)在區(qū)間1，1上的最大值是14，則a的值為（ ）a3 b c-5 d3或（3）已知函數(shù)f(x)2|2xm|(m為常數(shù))，若f(x)在區(qū)間2，)上是增函數(shù)，則m的取值范圍是_【解析】（1）b 由函數(shù)f(x)2|xm|1為偶函數(shù)，得m0，即f(x)2|x|1，其圖象過(guò)原點(diǎn)，且關(guān)于y軸對(duì)稱，在(，0)上單調(diào)遞減，在(0，)上單調(diào)遞增又af(log053)f(log23)f(log23)，bf(log25)，cf(0)，且0l

6、og23log25，所以cab（2）d 令axt，則ya2x2ax1t22t1(t1)22當(dāng)a1時(shí)，因?yàn)閤1，1，所以t，又函數(shù)y(t1)22在上單調(diào)遞增，所以ymax(a1)2214，解得a3(負(fù)值舍去)當(dāng)0a1時(shí)，因?yàn)閤1，1，所以t，又函數(shù)y(t1)22在上單調(diào)遞增，則ymax214，解得a(負(fù)值舍去)綜上知a3或a（3）令t|2xm|，則t|2xm|在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，而y2t為r上的增函數(shù)，所以要使函數(shù)f(x)2|2xm|在2，)上單調(diào)遞增，則有2，即m4，所以m的取值范圍是(，4變式1、（1）函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為 （2）(一題兩空)已知函數(shù)f(x)a|x1|(

7、a0，且a1)的值域?yàn)?，)，則a的取值范圍為_(kāi)，f(4)與f(1)的大小關(guān)系是_（3）（2019·福建泉州五中模擬）設(shè)a>0，且a1，函數(shù)ya2x2ax1在1，1上的最大值是14，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)【答案】（1） (，1 （2）(1，)f(4)f(1)（3）或3【解析】（1）設(shè)ux22x1，y在r上為減函數(shù)，函數(shù)f(x)的減區(qū)間即為函數(shù)ux22x1的增區(qū)間又ux22x1的增區(qū)間為(，1，f(x)的減區(qū)間為(，1（2）因?yàn)閨x1|0，函數(shù)f(x)a|x1|(a0，且a1)的值域?yàn)?，)，所以a1.由于函數(shù)f(x)a|x1|在(1，)上是增函數(shù)，且它的圖象關(guān)于直線x1對(duì)稱，則函數(shù)f

8、(x)在(，1)上是減函數(shù)，故f(1)f(3)，f(4)f(1)（3）令tax(a>0，且a1)，則原函數(shù)化為yf(t)(t1)22(t>0)當(dāng)0<a<1，x1，1時(shí)，tax，此時(shí)f(t)在上為增函數(shù)所以f(t)maxf214.所以16，解得a(舍去)或a.當(dāng)a>1時(shí)，x1，1，tax，此時(shí)f(t)在上是增函數(shù)所以f(t)maxf(a)(a1)2214，解得a3或a5(舍去)綜上得a或3.變式2、（江蘇省南通市通州區(qū)2019-2020學(xué)年高三第一次調(diào)研抽測(cè)】不等式的解集為_(kāi).【答案】(1，2)【解析】由題則，故 故填(1，2)變式3、設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)<

9、;1，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ；【答案】(3，1)【解析】當(dāng)a<0時(shí)，不等式f(a)<1可化為7<1，即<8，即<，a>3.又a<0，3<a<0.當(dāng)a0時(shí)，不等式f(a)<1可化為<1.0a<1，綜上，a的取值范圍為(3，1)變式4、(2020·包頭模擬)已知實(shí)數(shù)a1，函數(shù)f(x)若f(1a)f(a1)，則a的值為_(kāi).【答案】.【解析】(1)當(dāng)a<1時(shí)，41a21，解得a；當(dāng)a>1時(shí)，代入不成立.故a的值為.方法總結(jié)：指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有著廣泛的應(yīng)用，常見(jiàn)的有：比較大小，解不等式，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域、最

10、值等等(1)比較兩個(gè)冪值的大小問(wèn)題是常見(jiàn)問(wèn)題，解決這類問(wèn)題首先要分清底數(shù)是否相同；若底數(shù)相同，則可利用函數(shù)的單調(diào)性解決；若底數(shù)不同，則要利用中間變量進(jìn)行比較(2)與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的指數(shù)型函數(shù)的定義域、值域(最值)、單調(diào)性、奇偶性問(wèn)題，常常需要借助換元等手段將其化歸于指數(shù)函數(shù)來(lái)解，體現(xiàn)化歸與轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用(3)在利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)解決與指數(shù)函數(shù)相關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要特別注意底數(shù)a的取值范圍，并在必要時(shí)須分底數(shù)0<a<1和a>1兩種情形進(jìn)行分類討論，防止錯(cuò)解考向二 指數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)例2、如圖，過(guò)原點(diǎn)o的直線與函數(shù)y2x的圖像交于a，b兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)b作y軸的垂線交函數(shù)y4x的圖像于點(diǎn)c，

11、若ac平行于y軸，則點(diǎn)a的坐標(biāo)是_【答案】(1,2)【解析】設(shè)c(a,4a)，則a(a,2a)，b(2a,4a)又o，a，b三點(diǎn)共線，所以，故4a2·2a，所以2a0(舍去)或2a2，即a1，所以點(diǎn)a的坐標(biāo)是(1,2)變式1、（2020屆江蘇省南通市海安高級(jí)中學(xué)高三第二次模擬）已知過(guò)點(diǎn)的直線與函數(shù)的圖象交于、兩點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，過(guò)作軸的平行線交函數(shù)的圖象于點(diǎn)，當(dāng)軸，點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 【答案】【解析】根據(jù)題意，可設(shè)點(diǎn)，則,由于軸，故，代入，可得，即，由于在線段上，故，即，解得.變式2、（2020屆山東省濱州市高三上期末）已知，則a，b，c的大小關(guān)系是( )abcd【答案】c【解析】在同一直角

12、坐標(biāo)系內(nèi)，作出函數(shù)，的圖像如下：因?yàn)椋允桥c交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；是與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；是與交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；由圖像可得：.故選：c.變式3、（2019·廣西北海一中月考）函數(shù)yax(a>0，且a1)的圖象可能是()【答案】d【解析】當(dāng)a>1時(shí)，yax是增函數(shù)當(dāng)x0時(shí)，y1(0，1)，a，b不滿足當(dāng)0<a<1時(shí)，yax在r上是減函數(shù)當(dāng)x0時(shí)，y1<0，c錯(cuò)，d項(xiàng)滿足變式4、已知f(x)|2x1|.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)比較f(x1)與f(x)的大小；(3)試確定函數(shù)g(x)f(x)x2的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【解析】(1)由f(x)|2x1|可作出函數(shù)的圖像如圖所示因

13、此函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(，0)上，單調(diào)增區(qū)間是(0，)(2)在同一坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x)、f(x1)的圖像如圖所示由圖像知，當(dāng)11，即x0log2時(shí)，兩圖像相交，當(dāng)x<時(shí)，f(x)>f(x1)；當(dāng)x時(shí)，f(x)f(x1)；當(dāng)x>時(shí)，f(x)<f(x1)(3)將g(x)f(x)x2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)f(x)與yx2的圖像的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，在同一坐標(biāo)系中，分別作出函數(shù)f(x)|2x1|和yx2的圖像(如圖所示)，有四個(gè)交點(diǎn)，故g(x)有四個(gè)零點(diǎn)方法總結(jié)：指數(shù)函數(shù)的圖像直觀的刻畫了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，在解題中有著十分廣泛的應(yīng)用(1)已知函數(shù)解析式判斷其圖像一般是

14、取特殊點(diǎn)，判斷所給的圖像是否過(guò)這些點(diǎn)，若不滿足則排除；(2)對(duì)于有關(guān)指數(shù)型函數(shù)的圖像問(wèn)題，一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖像入手，通過(guò)平移、伸縮、對(duì)稱變換而得到特別地，當(dāng)?shù)讛?shù)a與1的大小關(guān)系不確定時(shí)應(yīng)注意分類討論；(3)有關(guān)指數(shù)方程、不等式問(wèn)題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)函數(shù)圖像，數(shù)形結(jié)合求解考向三 指數(shù)函數(shù)的綜合運(yùn)用例3、關(guān)于函數(shù)f (x)的性質(zhì)，下列說(shuō)法中正確的是( )a函數(shù)f (x)的定義域?yàn)閞b函數(shù)f (x)的值域?yàn)?0，)c方程f (x)x有且只有一個(gè)實(shí)根d函數(shù)f (x)的圖象是中心對(duì)稱圖形【答案】acd【解析】函數(shù)f (x)的定義域?yàn)閞，所以a正確；因?yàn)閥4x在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，所以函數(shù)

15、f (x)在定義域內(nèi)單調(diào)遞減，所以函數(shù)的值域?yàn)椋苑匠蘤 (x)x只有一個(gè)實(shí)根，所以b不正確，c正確；因?yàn)閒 (x1)f (x)，f (x)關(guān)于對(duì)稱，所以d正確變式1、（2020屆江蘇省南通市如皋市高三上學(xué)期教學(xué)質(zhì)量調(diào)研(二)）已知函數(shù)，若，則實(shí)數(shù) _【答案】【解析】函數(shù),當(dāng)時(shí), ,解得 ,不合題意當(dāng)時(shí), ,當(dāng)時(shí),解得,當(dāng)時(shí),解得,不合題意綜上,實(shí)數(shù)故答案為：變式2、已知定義域?yàn)閞的函數(shù)f(x)是奇函數(shù)(1) 求a，b的值；(2) 若對(duì)任意的tr，不等式f(t22t)f(2t2k)<0恒成立，求k的取值范圍【解析】(1) f(x)是r上的奇函數(shù)，f(0)0，即0b1，f(x).又由f(

16、1)f(1)，得a2.經(jīng)檢驗(yàn)知，a2，b1為所求(2)(方法1)由(1)得f(x)，易知f(x)在(，)上為減函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，f(t22t)f(2t2k)<0f(t22t)<f(2t2k)f(k2t2)t22t>k2t2，即對(duì)一切t有3t22tk>0.412k<0k<.(方法2)由(1)知f(x)，<0，即(2)(1)(2)(1<0，即1，故3t22tk>0.上式對(duì)一切tr均成立，從而412k<0k<.變式3、設(shè)a是實(shí)數(shù)，f(x)a(xr)(1) 試證明對(duì)于任意a，f(x)都為增函數(shù)；(2) 試確定a的值，使f(x)為奇函

17、數(shù)【證明】(1)設(shè)x1，x2r，且x1<x2，則f(x1)f(x2)=.由于指數(shù)函數(shù)y2x在r上是增函數(shù)，且x1<x2，<，即<0.又由2x>0，得1>0，1>0.f(x1)f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)此結(jié)論與a的取值無(wú)關(guān)，對(duì)于a取任意實(shí)數(shù)，f(x)均為增函數(shù)(2)f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)，即a，變形得2a2，解得a1.方法總結(jié)：指數(shù)函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，其方法是：首先判斷指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì)，再利用其性質(zhì)求解以上問(wèn)題都是指數(shù)型函數(shù)問(wèn)題，關(guān)鍵應(yīng)判斷其單調(diào)性，對(duì)于形如yaf(x)的函數(shù)的單調(diào)性，它的單調(diào)區(qū)間與f(x)的單調(diào)區(qū)間

18、有關(guān)：若a>1，函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù)yaf(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間；若0<a<1，函數(shù)f(x)的單調(diào)增(減)區(qū)間即函數(shù)yaf(x)的單調(diào)減(增)區(qū)間1、(2018全國(guó)卷)函數(shù)的圖像大致為【答案】b【解析】當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋源藭r(shí)，故排除ad；又，故排除c，選b2、（2020屆山東省煙臺(tái)市高三上期末）設(shè)，則的大小關(guān)系為（ ）abcd【答案】a【解析】由題,因?yàn)閱握{(diào)遞減,則；因?yàn)閱握{(diào)遞減,則；因?yàn)閱握{(diào)遞增,則,所以,故選：a3、（2017北京）已知函數(shù)，則a是奇函數(shù)，且在r上是增函數(shù) b是偶函數(shù)，且在r上是增函數(shù)c是奇函數(shù)，且在r上是減函數(shù) d是偶函數(shù)，且在r上是減函數(shù)【答案】a【解析】，得為奇函數(shù)，所以在r上是增函數(shù)選a4、（2012山東）若函數(shù)在上的最大值為4，最小值為，且函數(shù)在上是增函數(shù)，則a 【答案】【解析】 當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)，此時(shí)為減函數(shù)，不合題意若，則，故，檢驗(yàn)知符合題意5、已知函數(shù)f(x)3x(1)若f(x)2，求