1、第 2 講同角三角函數的基本關系與誘導公式一、知識梳理1同角三角函數的基本關系(1)平方關系：sin2xcos2x1(2)商數關系：tan xsin xcos x其中 xk2，kz.2三角函數的誘導公式組數一二三四五六角2k(kz)22正弦sin sin_sin_sin_cos_cos_余弦cos cos_cos_cos_sin_sin_正切tan tan_tan_tan_常用結論1誘導公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號看象限”，其中的奇、偶是指2的奇數倍和偶數倍，變與不變指函數名稱的變化2同角三角函數的基本關系式的幾種變形(1)sin21cos2(1cos )(1cos )；cos21sin2

2、(1sin )(1sin )；(sin cos )212sin cos .(2)sin tan cos 2k，kz.(3)sin2sin2sin2cos2tan2tan21；cos2cos2sin2cos21tan21.二、教材衍化1若 sin 55，2，則 tan _解析：因為20，cos 0，將其代入 sin2cos21，得109cos21，所以 cos 3 1010，sin 1010，故 sin cos 105.【答案】(1)d(2)105利用同角三角函數的基本關系求解問題的關鍵是熟練掌握同角三角函數的基本關系的正用、逆用、變形同角三角函數的基本關系本身是恒等式，也可以看作是方程，對于一

3、些題，可利用已知條件，結合同角三角函數的基本關系列方程組，通過解方程組達到解決問題的目的角度二sin ，cos 的齊次式問題已知tan tan 11，求下列各式的值：(1)sin 3cos sin cos ；(2)sin2sin cos 2.【解】由已知得 tan 12.(1)sin 3cos sin cos tan 3tan 153.(2)sin2sin cos 2sin2sin cos sin2cos22tan2tan tan2121221212212135.關于 sin 與 cos 的齊 n 次分式或齊二次整式的化簡求值的解題策略已知 tan ，求關于 sin 與 cos 的齊 n 次分

4、式或齊二次整式的值角度三sin cos ，sin cos 之間的關系已知(，0)，sin cos 15.(1)求 sin cos 的值；(2)求sin 22sin21tan 的值【解】(1)由 sin cos 15，平方得 sin22sin cos cos2125，整理得 2sin cos 2425.所以(sin cos )212sin cos 4925.由(，0)，知 sin 0，所以 cos 0，則 sin cos 0，故 sin cos 75.(2)sin 22sin21tan 2sin （cos sin ）1sin cos 2sin cos （cos sin ）cos sin 2425

5、157524175.sin cos 與 sin cos 關系的應用技巧(1)通過平方，sin cos ，sin cos ，sin cos 之間可建立聯系，若令 sin cos t，則 sin cos t212，sin cos 2t2(注意根據的范圍選取正、負號)(2)對于 sin cos ，sin cos ，sin cos 這三個式子，可以知一求二1(2020長春模擬)已知 sin cos 18，且5432，則 cos sin 的值為()a32b32c34d34解析：選 b因為5432，所以 cos 0，sin 0 且|cos |0.又(cos sin )212sin cos 121834，所

6、以 cos sin 32.故選 b2若 3sin cos 0，則1cos22sin cos 的值為_解析：3sin cos 0cos 0tan 13，1cos22sin cos cos2sin2cos22sin cos 1tan212tan 1132123103.答案：1033已知為第四象限角，sin 3cos 1，則 tan _解析：由(sin 3cos )21sin2cos2，得 6sin cos 8cos2，又因為為第四象限角，所以 cos 0，所以 6sin 8cos ，所以 tan 43.答案：43考點二誘導公式的應用(基礎型)復習指導|借助單位圓中的三角函數線推導出誘導公式2、的正

7、弦、余弦、正切.核心素養：數學運算(1)sin(1 200)cos 1 290_(2)已知角的頂點在坐標原點，始邊與 x 軸正半軸重合，終邊在直線 3xy0 上，則sin322cos（）sin2sin（）等于_【解析】(1)原式sin 1 200cos 1 290sin(3360120)cos(3360210)sin 120cos 210sin(18060)cos(18030)sin 60cos 30323234.(2)由題可知 tan 3，原式cos 2cos cos sin 31tan 32.【答案】(1)34(2)32【遷移探究】(變問法)若本例(2)的條件不變，則cos2sin（）co

8、s112sin92_解析：由題可知 tan 3，原式sin sin（）cos62sin42sin sin cos2sin22sin sin cos 2tan tan 123313.答案：3(1)誘導公式用法的一般思路化負為正，化大為小，化到銳角為止；角中含有加減2的整數倍時，用公式去掉2的整數倍(2)常見的互余和互補的角常見的互余的角：3與6；3與6；4與4等；常見的互補的角：3與23；4與34等1(2020江西臨川第一中學等九校 3 月聯考)已知(0，)，且 cos 1517，則sin2tan()()a1517b1517c817d817解析：選 dsin2tan()cos tan sin ，

9、因為(0，)，且 cos 1517，所以 sin 1cos2115172817，即 sin2tan()817.故選 d2(2020江西上饒模擬)已知 sin12 13，則 cos1712 的值等于_解析：由 sin12 13，得 cos1712 cos3212 sin12 13.答案：13考點三基本關系式與誘導公式的綜合應用(綜合型)復習指導|利用同角三角函數關系式和誘導公式求值或化簡時，關鍵是尋求條件、結論間的聯系，靈活使用公式進行變形(1)(2020聊城模擬)已知為銳角，且 2tan()3cos250，tan()6sin()10，則 sin 的值是()a3 55b3 77c3 1010d1

10、3(2)已知是第三象限角，且 f()sin（）cos（5）tan（2）cos2tan（）.化簡 f()；若 tan()2，求 f()的值；若420，求 f()的值【解】(1)選 c由已知可得2tan 3sin 50，tan 6sin 10，解得 tan 3，又為銳角，故 sin 3 1010.(2)由題可得，f()sin（）cos（5）tan（2）cos2tan（）sin （cos ） （tan ）sin （tan ）cos .因為 tan()2，所以 tan 2.所以 sin 2cos .所以(2cos )2cos21.所以 cos215.因為是第三象限角，所以 cos 55，所以 f()5

11、5.因為 cos (420)cos 420cos 6012，所以 f()cos 12.求解誘導公式與同角關系綜合問題的基本思路和化簡要求基本思路分析結構特點，選擇恰當公式；利用公式化成單角三角函數；整理得最簡形式化簡要求化簡過程是恒等變換；結果要求項數盡可能少，次數盡可能低，結構盡可能簡單，能求值的要求出值1(2020江西吉安期末)已知 tan(2 019)2，則 2 2sin6 sin4 ()a2b2 315c2 335d35解析：選 b因為 tan(2 019)2，所以 tan 2.則 2 2sin6 sin4( 3sin cos )(sin cos ) 3sin2cos2( 31)sin

12、 cos 3sin2cos2（ 31）sin cos sin2cos23tan21（ 31）tan tan214 312（ 31）412 315.故選 b2已知函數 f(x)asin(x)bcos(x)，且 f(4)3，則 f(2 019)的值為_解析：因為 f(x)asin(x)bcos(x)，所以 f(4)asin(4)bcos(4)asin bcos 3，所以 f(2 019)asin(2 019)bcos(2 019)asin()bcos()asin bcos 3.答案：3基礎題組練1計算：sin116cos103()a1b1c0d1232解析：選 a原式sin26 cos33 sin

13、6cos3 12cos312121.2(多選)(2021預測)若角 a，b，c 是abc 的三個內角，則下列等式中一定成立的是()acos(ab)cos cbsin(ab)sin cccosac2sinb2dsinbc2cosa2解析：選 cd因為 abc，所以 abc，ac2b2，bc2a2，所以 cos(ab)cos(c)cos c， sin(ab)sin(c)sin c， cosac2cos2b2 sinb2，sinbc2sin2a2 cosa2.3已知 sin() 3cos(2)，|2，則等于()a6b3c6d3解析：選 d因為 sin() 3cos(2)，所以sin 3cos ，所以

14、 tan 3，因為|2，所以3.4已知 f()sin（2）cos2cos2tan（），則 f3 ()a12b22c32d12解析：選 af()sin（2）cos2cos2tan（）sin （sin ）sin tan sin2sin sin cos cos ，則 f3 cos312.5已知 sin cos 2，則 tan cos sin 的值為()a1b2c12d2解析： 選 d 因為 sin cos 2， 所以(sin cos )22， 所以 sin cos 12.所以 tancos sin sin cos cos sin 1sin cos 2.故選 d6設是第三象限角，tan 512，則 c

15、os()_解析：因為為第三象限角，tan 512，所以 cos 1213，所以 cos()cos 1213.答案：12137已知 sin2cos721225，且 04，則 sin _，cos _解析：sin2cos72cos (sin )sin cos 1225.因為 04，所以 0sin cos .又因為 sin2cos21，所以 sin 35，cos 45.答案：35458化簡12sin 40cos 40cos 40 1sin250_解析：原式sin240cos2402sin 40cos 40cos 40cos 50|sin 40cos 40|sin 50sin 40|sin 40sin

16、50|sin 50sin 40sin 50sin 40sin 50sin 401.答案：19已知為第三象限角，f()sin（2）cos（32）tan（）tan（）sin（）.(1)化簡 f()；(2)若 cos(32)15，求 f()的值解：(1)f()sin（2）cos（32）tan（）tan（）sin（）（cos ）sin （tan ）（tan ）sin cos .(2)因為 cos(32)15，所以sin 15，從而 sin 15.又為第三象限角，所以 cos 1sin22 65，所以 f()cos 2 65.10是否存在2，2 ，(0，)使等式 sin(3) 2cos2， 3cos()

17、 2cos()同時成立？若存在，求出，的值；若不存在，請說明理由解：假設存在角，滿足條件由已知條件可得sin 2sin ，3cos 2cos ，由22，得 sin23cos22.所以 sin212，所以 sin 22.因為2，2 ，所以4.當4時，由式知 cos 32，又(0，)，所以6，此時式成立；當4時，由式知 cos 32，又(0，)，所以6，此時式不成立，故舍去所以存在4，6滿足條件綜合題組練1 已知為直線 y3x5 的傾斜角，若 a(cos ， sin )， b(2cos sin ， 5cos sin )，則直線 ab 的斜率為()a3b4c13d14解析：選 d由題意知 tan 3

18、，kab5cos sin sin 2cos sin cos 52tan 1tan 14.故選 d2asin ，cos ，1，bsin2，sin cos ，0，且 ab，則 sin2 019cos2 018()a0b1c1d1解析：選 c當 sin 0 時，sin20，此時集合 b 中不符合集合元素的互異性，故舍去；當 cos 0 時，asin ，0，1，bsin2，sin ，0，此時 sin21，得 sin 1，所以 sin2 019cos2 0181.3若|sin |cos |2 33，則 sin4cos4_解析：|sin |cos |2 33，兩邊平方得，1|sin 2|43，所以|sin 2|13，所以 sin4cos4(sin2cos2)22sin2cos212sin2cos2112sin221121321718.答案：17184若 kz 時，sin（k）cos（k）sin（k1）cos（k1）的值為_解析：當 k 為奇數時，sin（k）cos（k）sin（k1）cos（k1）sin （cos ）sin cos 1；當 k 為偶數時，sin（k）cos（k）sin（k1）cos（k1）sin cos sin （cos ）1.答案：15已知關于 x 的方