1、第七節(jié)離散型隨機變量及其分布列離散型隨機變量及其分布列(1) 理解取有限個值的離散型隨機變量及其分布列的概念，了解分布列對于刻畫隨機現(xiàn)象的重要性(2) 理解超幾何分布及其導出過程，并能進行簡單的應(yīng)用知識點一離散型隨機變量分布列1. 隨機變量的有關(guān)概念(1) 隨機變量：隨著試驗結(jié)果變化而變化的變量，常用字母x， y， ，表示(2) 離散型隨機變量：所有取值可以一一列出的隨機變量2. 離散型隨機變量分布列的概念及性質(zhì)(1) 概念：若離散型隨機變量x 可能取的不同值為x1， x2， xi ， xn ，x 取每一個值 xi(i 1,2， n)的概率 p(x xi ) pi，以表格的形式表示如下：xx1

2、x2xixnpp1p2pipn此表稱為離散型隨機變量x 的概率分布列， 簡稱為 x 的分布列， 有時也用等式p(x xi)pi， i 1,2， n 表示 x 的分布列(2) 分布列的性質(zhì) pi 0， i 1,2,3， n.npi 1.i 1易誤提醒(1)對于分布列易忽視其性質(zhì)p1 p2 pn1 及 pi 0( i 1，2，n) 其作用可用于檢驗所求離散型隨機變量的分布列是否正確(2)確定離散型隨機變量的取值時，易忽視各個可能取值表示的事件是彼此互斥的 自測練習 1. 設(shè)隨機變量x 的分布列如下：x1234則 p 為()111p636pa. 162b.131c.3d.21111解析： 由6 3答

3、案： b p 1， p . 632. 已知隨機變量x 的分布列為p(x i ) i (i 1,2,3) ，則 p(x 2) .2a解析 ：由分布列的性質(zhì)知1 2 3 1， a3， p(x 2) 2 1答案： 132a2a2a.2a3知識點二常見的離散型隨機變量的分布列1. 兩點分布列x01p1 pp若隨機變量x 的分布列具有上表的形式，就稱x 服從兩點分布，并稱p p(x 1)為成功概率2. 超幾何分布列knk在含有 m 件次品的 n 件產(chǎn)品中， 任取 n 件，其中恰有x 件次品， 則 p(x k)*k0,1,2， m，其中 m min m， n ，且 nn， m n， n，m ，n n .x

4、01mcm cnmcn，n0n 01n 1mnmcm cn mpncncm cn mncncmcnmncn如果隨機變量x 的分布列具有上表的形式，則稱隨機變量x 服從超幾何分布 易誤提醒對 m min m ，n 的理解易忽視其含義如下：m 為 k 的最大取值，當抽取的產(chǎn)品件數(shù)不大于總體中次品件數(shù)，即nm 時， k(抽取的樣本中次品的件數(shù))的最大值為m n；當抽取的產(chǎn)品件數(shù)大于總體中次品件數(shù)，即n>m 時，k 的最大值為mm . 自測練習 3. 設(shè)某項試驗的成功率是失敗率的2 倍，用隨機變量x 去描述 1 次試驗的成功次數(shù)， 則 p(x 0)等于 ()1a 0b.212c.3d.3解析：

5、由已知得x 的所有可能取值為0,1，且 p(x 1) 2p(x 0)，由 p(x 1) p(x 0) 1，得 p(x 0)1.3答案： c考點一離散型隨機變量分布列的性質(zhì)|1. 已知隨機變量x 的概率分布如下：123456789222222222x10p33233343536373839m則 p(x 10) ()22a. 39b.31011c.39d.310解析： 由離散型隨機變量分布列的性質(zhì)可知2 222 m 1223 322233 39332 33 39m 1，13 1 1 2·1 931 91 3139.答案： c1 32. 若隨機變量x 的分布列為 ()x 210123p0.

6、1則當 p(x<a) 0.8 時，實數(shù)0.20.20.3a 的取值范圍是()0.10.1a (， 2b 1,2c(1,2d (1,2)解析： 由隨機變量x 的分布列知： p(x< 1) 0.1，p(x<0) 0.3， p(x<1) 0.5，p(x<2)0.8，則當 p(x<a) 0.8 時，實數(shù)a 的取值范圍是(1,2 答案： c(1) 利用分布列中各概率之和為1 可求參數(shù)的值，此時要注意檢驗，以保證每個概率值均為非負數(shù)(2) 求隨機變量在某個范圍內(nèi)的取值概率時，根據(jù)分布列，將所求范圍內(nèi)隨機變量對應(yīng)的取值概率相加即可，其依據(jù)是互斥事件的概率加法公式考點二離散

7、型隨機變量分布列的求法|(2015 ·高考四川卷 )某市 a，b 兩所中學的學生組隊參加辯論賽，a 中學推薦了3名男生、 2 名女生， b 中學推薦了3 名男生、 4 名女生， 兩校所推薦的學生一起參加集訓由于集訓后隊員水平相當，從參加集訓的男生中隨機抽取3 人、女生中隨機抽取3 人組成代表隊(1)求 a 中學至少有1 名學生入選代表隊的概率；(2)某場比賽前，從代表隊的求 x 的分布列和數(shù)學期望6 名隊員中隨機抽取4 人參賽設(shè)x 表示參賽的男生人數(shù)，解(1)由題意，參加集訓的男、女生各有6 名代表隊中的學生全從b 中學抽取 (等價于a 中學沒有學生入選代表隊)的概率為c3c3c6c

8、634331001 .因此， a 中學至少有1 名學生入選代表隊的概率為11001001 99 .(2)根據(jù)題意， x 的可能取值為1,2,3.p(x1)c13c4 5，3c316p(x2)c2c2333c654 ，p(x3)c31c4 5.3c316所以 x 的分布列為xp115235315因此， x 的數(shù)學期望為e(x) 1×1 2× 355 3× 1 2.5離散型隨機變量分布列步驟(1)找出隨機變量x 的所有可能取值xi(i 1,2,3， n)(2) 求出各取值的概率p(x xi) pi.(3) 列成表格并用分布列的性質(zhì)檢驗所求的分布列或某事件的概率是否正確

9、1. 某學校舉行聯(lián)歡會，所有參演的節(jié)目都由甲、乙、丙三名專業(yè)老師投票決定是否獲獎甲、乙、丙三名老師都有“獲獎”、“待定”、“淘汰”三類票各一張每個節(jié)目投票，時，甲、乙、 丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為13且三人投票相互沒有影響若投票結(jié)果中至少有兩張“獲獎”票，則決定該節(jié)目最終獲一等獎；否則，該節(jié)目不能獲一等獎(1) 求某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎的概率；(2) 求該節(jié)目投票結(jié)果中所含“獲獎”和“待定”票票數(shù)之和x 的分布列及數(shù)學期望 解： (1)設(shè)“ 某節(jié)目的投票結(jié)果是最終獲一等獎” 這一事件為a，則事件a 包括：該節(jié)目可以獲兩張 “ 獲獎 ” 票，或者獲

10、三張“獲獎 ” 票甲、 乙、丙三名老師必須且只能投一張票，每人投三類票中的任何一類票的概率都為1，且三人投票相互沒有影響，33 p(a)c2 132 2 1 c3331 3 7 .327(2)所含 “ 獲獎 ” 和“ 待定” 票票數(shù)之和x 的值為 0,1,2,3.1p(x0)3 1 ；p( x 1) c1 21 1 2 6 ；p(x2) c2 22 1 1 12p(x 3) 2.273 8273273 33273 33；3因此 x 的分布列為01231612827272727x 1e(x) 0× 1 1× 6 2× 123× 8 2.27272727考點

11、三超幾何分布 |(2016 ·南昌模擬 )從某小組的5 名女生和 4 名男生中任選3 人去參加一項公益活動(1) 求所選 3 人中恰有一名男生的概率；(2) 求所選 3 人中男生人數(shù)的分布列21c9解(1)所選 3 人中恰有一名男生的概率p c5c4 10(2)的可能取值為0,1,2,3.321.5c3p(0) c35 ，p( 1)21c c5 3 410，p( 2)12c c5 3 45 ，p( 3) c13. 的分4 3布列為942c921c914c92101235105142211421p對于服從某些特殊分布的隨機變量，其分布列可以直接應(yīng)用公式給出超幾何分布描述的是不放回抽樣問

12、題，隨機變量為抽到的某類個體的個數(shù)*2. 某校校慶，各屆校友紛至沓來，某班共來了n 位校友 (n>8 且 nn )，其中女校友6位，組委會對這n 位校友登記制作了一份校友名單，現(xiàn)隨機從中選出2 位校友代表， 若選出的 2 位校友是一男一女，則稱為“最佳組合”(1) 若隨機選出的2 位校友代表為“最佳組合”的概率不小于1，求 n 的最大值；2(2) 當 n 12 時，設(shè)選出的2 位校友代表中女校友人數(shù)為，求 的分布列11解： (1)由題意可知，所選2 人為“ 最佳組合 ” 的概率為 cn 6c6 12 n6 ，則12 n 6122cnn n 1n n 1 2，化簡得n 25n 144 0，

13、2解得 9 n 16，故 n 的最大值為16. (2)由題意得， 的可能取值為0,1,2，c25c1c16c25c2則 p( 0)61222， p( 1)62 6c12， p(2)6111222，c的分布列為012565221122p23.忽視分布列性質(zhì)致誤【典例】隨機變量的分布列如下： 101pabc其中 a， b， c 成等差數(shù)列，則p(| 1) ，公差 d 的取值范圍是 .解析因為 a，b，c 成等差數(shù)列，所以2ba c.又 a b c 1，所以 b 1 所以 p(|31) a c 2.又 a 1d，c1d，根據(jù)分布列的性質(zhì)，得01d201d2333 11 ，333 ，所3以 d 3，

14、此即公差d 的取值范圍 3211答案33， 32易誤點評求解易忽視a， b，c 因大于或等于0 而致誤防范措施利用分布列的性質(zhì)解決問題時要注意每一變量對應(yīng)的概率值跟蹤練習設(shè) x 是一個離散型隨機變量，其分布列為x123pq21 q5q 10 pi 1.則 q ； p(x2) .解析： 由分布列的性質(zhì)得：q0 2 1，0 1q 1，520 q 1 1，q 1 1，q2 1 q 52由，得25由，得 q2 3q 4.511或 q 2( 舍去)故 q122q 1 0，即q 2 (q 2) 0，解得 q2.由分布列可知x 的可能取值只有1,2,3，故 p(x 2) p(x 1) p(x 2) q2 (

15、1 q)224.1 2 1 13答案： 1324a 組考點能力演練1袋中有大小相同的5 個球，分別標有1,2,3,4,5 五個號碼，現(xiàn)在在有放回抽取的條件下依次取出兩個球，設(shè)兩個球號碼之和為隨機變量x，則 x 所有可能取值的個數(shù)是()a 5b 9c10d 25解析 ：x 的所有可能取值為2,3,4,5,6,7,8,9,10 共 9 個 答案： b2已知隨機變量x 的分布列為p(x i ) i (i 1,2,3,4) ，則 p(2< x 4)等于 ()2a9731a. 10b.10c.5d.2解析： 由分布列的性質(zhì)，1 2 3 4 1，則 a5. p(2< x 4) p( x 3)

16、p(x4) 3 4 7 .2a2a2a2a101010答案： b3. 在 15 個村莊有7 個村莊交通不方便，現(xiàn)從中任意選10 個村莊，用x 表示這 10 個c46c10村莊中交通不方便的村莊數(shù)，下列概率中等于7c8的是 ()15a p(x 2)b p(x 2)cp(x 4)d p(x 4)k10 k解析： x 服從超幾何分布，故p(x k)答案： cc7 c8c1015， k 4.34. (2016 ·廈門質(zhì)檢 )設(shè)隨機變量x 的分布列為p(x k) m 2k(k 1,2,3)，則 m 的值為()1727a. 38b.381727c.19d.19解析： 由分布列的性質(zhì)得p( x 1

17、) p(x2) p(x 3) m2m 2 2 m× 2338m1. m 27.38答案： b× 333275. 一只袋內(nèi)裝有m 個白球， n m 個黑球，連續(xù)不放回地從袋中取球，直到取出黑球n m a 23為止，設(shè)此時取出了個白球，下列概率等于m的是 ()a na p( 3)b p( 2)cp( 3)d p( 2)mn m a 2解析： 依題意知，答案： d3是取了 3 次，所以取出白球應(yīng)為2 個an6. 設(shè)隨機變量x 的概率分布列為x1234111p3m46則 p(|x 3| 1) .113解析： 由 m 4111，解得 m ，6464115p(|x 3| 1) p(x

18、2) p(x 4)答案： 512 12.7. 一盒中有12 個乒乓球，其中9 個新的， 3 個舊的，從盒子中任取3 個球來用，用完即為舊，用完后裝回盒中， 此時盒中舊球個數(shù)x 是一個隨機變量， 則 p(x 4)的值為 c1c227解析： 事件“ x4” 表示取出的3 個球有 1 個新球， 2 個舊球， 故 p(x 4)答案： 2722093 3c12. 2208若 p( x2) 1 ，p( x1) 1，其中 x1<x2，則 p(x1 x2) 等于 解析 ：由分布列性質(zhì)可有：p(x1 x2)p( x2) p(x1) 1 (1 ) (1 ) 11 ()答案： 1 ( )9 (2016

19、83;大連質(zhì)檢 )某高中共派出足球、排球、籃球三個球隊參加市學校運動會，它們，.3，獲得冠軍的概率分別為11223(1) 求該高中獲得冠軍個數(shù)x 的分布列；(2) 若球隊獲得冠軍，則給其所在學校加5 分，否則加2 分，求該高中得分y 的分布列 解： (1)由題意知x 的可能取值為0,1,2,3，則 p(x 0) 112× 113× 1231 9，1121121127×21 3 ×1 3 1 2 × ×13 1 2 ×1 3 × 318p(x1)32112331121，3127p(x2)× × 1

20、 3 1 2 ×3× 2× 13 × 18，p(x3)11213×3.×29 x 的分布列為01231771918189x p9(2)該高中得分的可能取值為6,9,12,15. p( 6)1，p( 9) 7 ，1818p( 12) 7 ，9p( 15) 1，該高中得分的分布列為6912151771918189p10.(2016 開·封模擬 )為了解甲、乙兩廠的產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法，從甲、乙兩廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別抽取14 件和 5 件，測量產(chǎn)品中微量元素x、y 的含量 (單位： mg)，下表是乙廠的5 件產(chǎn)品測量數(shù)據(jù).編

21、號12345x169178166175180y7580777081(1) 已知甲廠生產(chǎn)的產(chǎn)品共有98 件，求乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量；(2) 當產(chǎn)品中微量元素x、y 滿足 x 175， y 75 時，該產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品，試估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)品的數(shù)量；(3) 從乙廠抽出的上述5 件產(chǎn)品中任取3 件，求抽取的3 件產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品數(shù)的分布列解： (1)設(shè)乙廠生產(chǎn)的產(chǎn)品為m 件，依題意得 14985 ，m 35.m(2)上述樣本數(shù)據(jù)中滿足x 175 且 y 75 的只有 2 件，估計乙廠生產(chǎn)的優(yōu)質(zhì)品為35× 2514(件)c31c3c26c3c235c321125c5(3)依題意， 可取 0,1,2，則 p( 0)c3 10，p( 1)3 10，p( 2)3 10. 的分布列為：012163p101010b