1、1 初中數學因式分解的幾種經典方法息縣六中陳岳因式分解是初中一個重點，它牽涉到分式方程，一元二次方程，所以很有必要學會一些基本的因式分解的方法。下面列舉了九種方法，希望對大家的學習能有所幫助。【1】提取公因式這種方法比較常規、簡單，必須掌握。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等例一：22x-3x=0 解：x(2x-3)=0 1x=0,2x=3/2 這是一類利用因式分解的方程。總結：要發現一個規律就是： 當一個方程有一個解x=a 時，該式分解后必有一個 (x-a) 因式這對我們后面的學習有幫助。【2】公式法將式子利用公式來分解，也是比較簡單的方法。常用的公式有：完全平方公式、平方差公式等注意

2、：使用公式法前，建議先提取公因式。精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 1 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -2 例二：2x-4 分解因式分析：此題較為簡單，可以看出4=22，適用平方差公式a2-b2=(a+b)(a-b) 2 解：原式 =(x+2)(x-2) 【3】十字相乘法是做競賽題的基本方法，做平時的題目掌握了這個也會很輕松。注意：它不難。這種 方法 的 關 鍵是 把 二

3、 次項 系 數a 分解 成兩 個 因 數21.aa的 積21.aa，把常數項c 分解成兩個因數21.cc的積21.cc，并使1221caca正好是一次項b，那么可以直接寫成結果例三：把22x-7x+3分解因式 . 分析：先分解二次項系數，分別寫在十字交叉線的左上角和左下角， 再分解常數項， 分別寫在十字交叉線的右上角和右下角，然后交叉相乘，求代數和，使其等于一次項系數. 分解二次項系數(只取正因數 )：212 21 ；分解常數項：3=13=31=(-3) (-1)=(-1)(-3). 用畫十字交叉線方法表示下列四種情況：精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - -

4、 - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 2 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -3 1 1 2 3 13+21 =5 1 3 2 1 11+23 =7 1 -1 2 -3 1(-3)+2 (-1) =-5 1 -3 2 -1 1(-1)+2 (-3) =-7 經過觀察，第四種情況是正確的，這是因為交叉相乘后，兩項代數和恰等于一次項系數7. 解 原式 =(x-3)(2x-1). 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - -

5、 - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 3 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -4 總結：對于二次三項式2ax+bx+c(a 0)，如果二次項系數a 可以分解成兩個因數之積，即a=21.aa，常數項c 可以分解成兩個因數之積，即 c=21.cc，把2121,ccaa，排列如下：1a1c2a2c1221caca按斜線交叉相乘，再相加，得到1221caca，若它正好等于二次三項式2ax+bx+c 的一次項系數b，即1221caca=b，那么二次三項式就可以分解為

6、兩個因式1ax+c1 與22cxa之積，即2ax+bx+c=(1ax+1c)(2ax+2c). 這種方法要多實驗，多做，多練。它可以包括前兩者方法。【4】分組分解法也是比較常規的方法。一般是把式子里的各個部分分開分解，再合起來需要可持續性！精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 4 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -5 例四：2244yxx可以看出，前面三項可以組成平方，結合后面

7、的負平方，可以用平方差公式解：原式 =22)2(yx=(x+2+y)(x+2-y) 總結：分組分解法需要前面的方法作基礎，可見前面方法的重要性。【5】換元法整體代入，免去繁瑣的麻煩，亦是建立的之前的基礎上例五：1)(2)(2yxyx分解因式考慮到 x+y 是以整體出現，展開是十分繁瑣的，用a 代替 x+y 那么原式 =2a-2a+1 =2)1(a回代原式=2)1(yx精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - -

8、 - 第 5 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -6 【6】主元法這種方法要難一些，多練即可即把一個字母作為主要的未知數，另一個作為常數例六：4222)1()1(216xyyxy分析：本題尚且屬于簡單例用，只是稍加難度，以y 為主元會使原式極其煩瑣，而以x 為主元的話，原式的難度就大大降低了。原式 =yxyxy16) 1(2)1(2242-【主元法】=)2)(82(22222xyxyxyx-【十字相乘法】可見，十字相乘十分重要。【7】雙十字相乘法精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - -

9、- - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 6 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -7 難 度 較 之 前 的 方 法 要 提 升 許 多 。 是 用 來 分 解 形 如feydxcybxyax22的二次六項式在草稿紙上，將a 分解成mn 乘積作為一列，c 分解成pq 乘積作為第二列，f 分解成 jk 乘積作為第三列，如果mqnpb，pkqj e，mknj d，即第1,2 列和第2,3 列都滿足十字 相 乘 規 則 。 則 原 式 （ mx py j ） （ nx qy k ）要訣：把缺少的一項當作系數為0，0 乘任

10、何數得0，例七：22babab分解因式解：原式 012aab2bab2 （ 0a b1）（ ab2）（ b1）（ ab2）【8】待定系數法將式子看成方程，將方程的解代入這時就要用到 【1】中提到的知識點了當一個方程有一個解x=a 時，該式分解后必有一個(x-a) 因式例八：2x+x-2 精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 7 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -8 該題可以用十

11、字相乘來做，這里介紹一種待定系數法我們可以把它當方程做，2x+x-2=0 一眼看出，該方程有一根為x=1 那么必有一因式為(x-1) 結合多項式展開原理， 另一因式的常數必為2 （因為乘 -1 要為-2 ）一次項系數必為1（因為與 1相乘要為 1）所以另一因式為（ x+2）分解為 (x-1)(x+2) 【9】列豎式讓人拍案叫絕的方法。原理和小學的除法差不多。要建立在待定系數法的方程法上不足的項要用 0 補除的時候，一定要讓第一項抵消精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可

12、選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 8 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -9 例九：25323xx分解因式提示： x=-1 可以使該式 =0，有因式（ x+1）那么該式分解為（ x+1）(23x+2x-2) 因式分解還有許多方法，只是不太常見，就不在此列舉了。考慮到每種方法只有一個例題，下面提供一些題目，供大家練習。22)()(babab精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d f - - - - - -

13、 - - - - - - - - 第 9 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -10 2222)(4)(axaxxa3222223963cabcbacbaxy62x 3y 22)3(4)3)(3(4)3(babababa(x 2)(x 3)(x2)(x 4) 12x2 29x 15 x(y 2)xy1 3244422yxyxyx21120132234xxxx3355227222yxyxyx22384nmnm精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇p d

14、 f - - - - - - - - - - - - - - 第 10 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -11 15442nn5ax+5bx+3ay+3by 12a2b(x y)4ab(y x) (x 1)2(3x 2)(23x) x211x24 y212y28 x24x 5 y43y328y2蚊子與牛一樣重從前有一只驕傲的蚊子， 總認為自己的體重和牛是一樣重。有一天，它找到了牛，并說出了體重一樣的理由。它認為，可以設自己的體重為 a,牛的體重為 b，則有：a22abb2=b22aba2左右兩邊分別因式分解為：(ab)2=(ba)2從而就有： ab=ba 移項，得： 2a=2b, 即 a=b 蚊子驕傲地把自己的理由說完，牛睜大了眼睛，聽傻了！請同學們想一想，牛和蚊子的體重真的會一樣嗎？若不一樣，那么蚊子的證明究竟錯在哪里呢？精品學習資料 可選擇p d f - - - - - - - - - - - - - - 第 11 頁，共 12 頁 - - - - - - - - -精品學習資料 可選擇