1、21常微分方程在數學建模中的應用這里介紹幾個典型的用微分方程建立數學模型的例子一、人口預測模型由于資源的有限性，當今世界各國都注意有計劃地控制人口的增長，為了得到人口預測模型，必須首先搞清影響人口增長的因素，而影響人口增長的因素很多，如人口的自然出生率、人口的自然死亡率、人口的遷移、自然災害、戰爭等諸多因素，如果一開始就把所有因素都考慮進去，則無從下手 因此,先把問題簡化，建立比較粗糙的模型，再逐步修改，得到較 完善的模型例1（馬爾薩斯 （Malthus） 模型） 英國人口統計學家馬爾薩斯（17661834）在 擔任牧師期間，查看了教堂100多年人口出生統計資料,發現人口出生率是一個常數 ，于

2、1789 年在人口原理一書中提出了聞名于世的馬爾薩斯人口模型，他的基本假設是：在人口自然增長過程中，凈相對增長（出生率與死亡率之差）是常數，即單位時間內人口的增長量與人口成正比，比例系數設為r，在此假設下，推導并求解人口隨時間變化的數學模型解 設時刻t的人口為N（t），把N（t）當作連續、可微函數處理（因人口總數很大，可 近似地這樣處理，此乃離散變量連續化處理），據馬爾薩斯的假設，在t到t 4時間段內，人 口的增長量為N(t ：t) N(t) =rN(t) ：t，并設t=t°時刻的人口為No,于是dNdt二 rN，N(t。)= N°.這就是馬爾薩斯人口模型，用分離變量法易求

3、出其解為N（t）二 N°e2）,此式表明人口以指數規律隨時間無限增長模型檢驗：據估計1961年地球上的人口總數為 3.06 109,而在以后7年中，人口總數以每年2%勺速度增長，這樣t0 =1961, N0 = 3.06 109 , r =0.02,于是N（t）=3.06 109e0.02（t 4961）.這個公式非常準確地反映了在1700 1961年間世界人口總數.因為,這期間地球上的人口大約每35年翻一番，而上式斷定34.6年增加一倍（請讀者證明這一點）.但是，后來人們以美國人口為例，用馬爾薩斯模型計算結果與人口資料比較，卻發現有很大的差異，尤其是在用此模型預測較遙遠的未來地球人

4、口總數時，發現更令人不可思議的問題,如按此模型計算，到2670年，地球上將有36 000億人口 .如果地球表面全是陸地 （事實上, 地球表面還有80%被水覆蓋），我們也只得互相踩著肩膀站成兩層了，這是非?；闹嚨?，因此,這一模型應該修改.例2 （邏輯Logistic 模型） 馬爾薩斯模型為什么不能預測未來的人口呢？這主要是地球上的各種資源只能供一定數量的人生活，隨著人口的增加，自然資源環境條件等因素對人口增長的限制作用越來越顯著，如果當人口較少時，人口的自然增長率可以看作常數的話，那么當人口增加到一定數量以后，這個增長率就要隨人口的增加而減小因此，應對馬爾薩斯模型中關于凈增長率為常數的假設進行修

5、改1838年，荷蘭生物數學家韋爾侯斯特(Verhulst)弓I入常數Nm，用來表示自然環境條件所能容許的最大人口數(一般說來，一個國家工業化程度越高，它的生活空間就越大，食物就越多，從而Nm就越大)，并假設將增長率等于r 1-N(t)，即凈增長率隨著 N (t)的增加而Nm丿減小，當N(t) > Nm時，凈增長率趨于零，按此假定建立人口預測模型dNN解由韋爾侯斯特假定，馬爾薩斯模型應改為N,N (to) = No上式就是邏輯模型，該方程可分離變量，其解為，N(t)=NmNoNm_1 ez)F面，我們對模型作一簡要分析(1)當t，N(t) > Nm，即無論人口的初值如何，人口總數趨向

6、于極限值數;(2)當 0cN cNm 時，鯉=1dtNNmN 0,這說明N(t)是時間t的單調遞增函(3)由于心dt2(NY2N、1 一1-1 NmNm丿N，所以當N <2=r2乎0煜單增;d2N心處最大，也就是說2dNdN竺單減，即人口增長率 竺由增變減，在dtdt在人口總數達到極限值一半以前是加速生長期，過這一點后，生長的速率逐漸變小，并且遲早會達到零，這是減速生長期；(4)用該模型檢驗美國從1790年到1950年的人口，發現模型計算的結果與實際人口在1930年以前都非常吻合，自從1930年以后，誤差愈來愈大，一個明顯的原因是在20世紀60年代美國的實際人口數已經突破了20世紀初所設

7、的極限人口 由此可見該模型的缺點之是Nm不易確定，事實上，隨著一個國家經濟的騰飛，它所擁有的食物就越豐富，Nm的值 也就越大；(5 )用邏輯模型來預測世界未來人口總數.某生物學家估計，r = 0.029,又當人口總數為3.06 109時,人口每年以2%的速率增長，由邏輯模型得1dNNm0.02 = 0.029 1 -3.06 109NmN dt從而得Nm =9.86 109,即世界人口總數極限值近 100億.值得說明的是：人也是一種生物 ，因此,上面關于人口模型的討論 ，原則上也可以用于在 自然環境下單一物種生存著的其他生物 ，如森林中的樹木、池塘中的魚等，邏輯模型有著廣泛 的應用.二、市場價

8、格模型對于純粹的市場經濟來說，商品市場價格取決于市場供需之間的關系 ，市場價格能促使 商品的供給與需求相等（這樣的價格稱為（靜態）均衡價格）.也就是說，如果不考慮商品價格 形成的動態過程，那么商品的市場價格應能保證市場的供需平衡，但是，實際的市場價格不會恰好等于均衡價格，而且價格也不會是靜態的，應是隨時間不斷變化的動態過程 .例3試建立描述市場價格形成的動態過程的數學模型解 假設在某一時刻t，商品的價格為p（t），它與該商品的均衡價格間有差別 ，此時，存 在供需差，此供需差促使價格變動.對新的價格，又有新的供需差，如此不斷調節，就構成市場 價格形成的動態過程，假設價格p（t）的變化率dp與需求

9、和供給之差成正比 ，并記f （p，r）dt為需求函數，g（p）為供給函數（r為參數），于是計fa®，P(0)=P0，其中p0為商品在t =0時刻的價格，二為正常數.<dP七dt若設f （p，r） = -ap b，g（p） = cp d，則上式變為(a c) p U(b - d)P(0) = P。，其中a，b，c，d均為正常數，其解為p(t)= P0b - d-、；(a c)tF面對所得結果進行討論：(1)設p為靜態均衡價格，則其應滿足f(p,r) -g(p) =0,-a p b = cp d,b - d于是得p,從而價格函數p(t)可寫為a +cp(t) =(p° -

10、be* c)t "這說明，市場價格逐步趨于均衡價格.又若初始價格P。二P，則動態價格就維持在均衡價格P 上 ,整個動態過程就化為靜態過程；(2)由于乎莎-Po)：(a c)e"(a c)t ,dt所以，當p0 p時，空：0,p(t)單調下降向p靠攏；當p0：B時，空 0, p(t)單調增dtdt加向p靠攏.這說明：初始價格高于均衡價格時，動態價格就要逐步降低，且逐步靠近均衡價格;否則，動態價格就要逐步升高因此,式在一定程度上反映了價格影響需求與供給，而需求與供給反過來又影響價格的動態過程，并指出了動態價格逐步向均衡價格靠攏的變化趨勢.三、混合溶液的數學模型 例4設一容器內原

11、有100L鹽,內含有鹽10kg,現以3L/min的速度注入質量濃度為0.01kg/L的淡鹽水，同時以2L/min的速度抽出混合均勻的鹽水，求容器內鹽量變化的數學模 型.解 設t時刻容器內的鹽量為 x(t) kg,考慮t到t dt時間內容器中鹽的變化情況，在dt時間內容器中鹽的改變量二注入的鹽水中所含鹽量一抽出的鹽水中所含鹽量容器內鹽的改變量為dx,注入的鹽水中所含鹽量為0.01 3dt , t時刻容器內溶液的質量濃度為型 ，假設t到t dt時間內容器內溶液的質量濃度不變(事實上，容器內100 +(3-2)t的溶液質量濃度時刻在變 ，由于dt時間很短，可以這樣看).于是抽出的鹽水中所含鹽量為x(

12、t)100(3 _2)t2dt,這樣即可列出方程dx二 0.03dt -2x100 tdt,dx2x0.03.dt100+t又因為t =0時,容器內有鹽10kg,于是得該問題的數學模型為dxdt2x+100 t=0.03，x(0) =10,這是一階非齊次線性方程的初值問題,其解為x(t) =0.01(100 t)9 104(100 t)2F面對該問題進行一下簡單的討論,由上式不難發現：t時刻容器內溶液的質量濃度為p(t)x(t)100 t-0.019 104(100 t)3且當t；工:時，p(t) > 0.01,即長時間地進行上述稀釋過程，容器內鹽水的質量濃度將趨于注入溶液的質量濃度.溶

13、液混合問題的更一般的提法是：設有一容器裝有某種質量濃度的溶液 ，以流量V1注入質量濃度為C1的溶液(指同一種類溶液，只是質量濃度不同)，假定溶液立即被攪勻，并以 V2的流量流出這種混合溶液，試建立容器中質量濃度與時間的數學模型.首先設容器中溶質的質量為x(t),原來的初始質量為 x0 , t =0時溶液的體積為 V2,在d t時間內，容器內溶質的改變量等于流入溶質的數量減去流出溶質的數量，即dx = CMdt -C2V2dt ,其中C1是流入溶液的質量濃度，C2為t時刻容器中溶液的質量濃度，C2xV。(V1 -V2)t于是有混合溶液的數學模型f dx二二 C1V1 - C2V2 ，1 dtL

14、x(0) = X。該模型不僅適用于液體的混合，而且還適用于討論氣體的混合四、振動模型振動是生活與工程中的常見現象 研究振動規律有著極其重要的意義在自然界中，許多振動現象都可以抽象為下述振動問題例5設有一個彈簧，它的上端固定，下端掛一個質量為 m的物體，試研究其振動規律.解 假設（1）物體的平衡位置位于坐標原點 ，并取x軸的正向鉛直向下（見圖 4） 物 體的平衡位置指物體處于靜止狀態時的位置 此時，作用在物體上的重力與彈性力大小相等 ， 方向相反；（2）在一定的初始位移 X。及初始速度V。下，物體離開平衡位置，并在平衡位置附近作沒有搖擺的上下振動；（3）位置的位移；（4）在振動過程中是與速度方向

15、相反，因此阻力為的彈簧恢復力是與位移成正比的位置的位移方向相反，因此所受彈簧恢復力為，受阻力作用阻力的大小與物體速度成正比，阻力的方向總dx-h ，h為阻尼系數；（5）當質點有位移x（t）時，假設所受 dt，而恢復力的方向總是指向平衡位置-kx，其中k為勁度系數；，也就是總與偏離平衡（6）在振動過程中物體在t時刻的位置坐標為X二x（t），即t時刻物體偏離平衡d2xm2dt2受外力f （t）的作用在上述假設下，根據牛頓第二定律得dx-hkx f(x)，dt這就是該物體的強迫振動方程由于方程中，f（t）的具體形式沒有給出，所以，不能對式 直接求解.下面我們分四種情形對其進行討論1. 無阻尼自由振動

16、lx在這種情況下，假定物體在振動過程中，既無阻力、又不受外力 作用此時方程變為d2xm 2dt2令-=2,方程變為md2xdt2，2x =0，特征方程為'2，2 口特征根為1,2 二，通解為x = 6 sin或將其寫為05 t C2 cos tC2xtG2 C；!廠 C1sin t 十f2 r cos國tCi C2CiC2=A cos sin t sin cos t=A sin（ . t 川：）其中,sin :=C2C1Ci C；cos :C12 C2d2xm 牙dt2特征方程為九2十2 6幾+ co2 = 0,特征根鮎,2 =±2 -國2 .根據6與的關系，又分為如下三種情

17、形：(1)大阻尼情形，:.> .特征根為二不等實根,通解為這就是說，無阻尼自由振動的振幅A二C； C；,頻率 - 口2. 有阻尼自由振動在該種情況下，考慮物體所受到的阻力，不考慮物體所受的外力此時,方程變為dxh kx =0， dt牛2業0,dt2dtx = c e（ f、：2-2）t . c e（" j2-2）t(2)臨界阻尼情形,、；='.特征根為重根，通解為x = （6 C2t）J這兩種情形，由于阻尼比較大，都不發生振動.當有一初始擾動以后，質點慢慢回到平衡 位置，位移隨時間t的變化規律分別如圖5和圖6所示.圖5XoO小阻尼情形< .特征根為共軛復根，通解為

18、x ="( C1 sin Jco 22t +C2 sin 也 2 _62t)將其簡化為x = Aesin( _ ,2 、. 2t )其中 A 二?.'：Ci2 - C22 ,sinC2' 2 2.； Ci ' C2,cosCi22.Ci ' C2,振幅A e隨時間t的增加而m聳 kx =msin pt dt2與，x=sindt2Pt ,減小.因此,這是一種衰減振動位移隨時間t的變化規律見圖7.3. 無阻尼強迫振動在這種情形下，設物體不受阻力作用，其所受外力為xt簡諧力f (t)二ms in pt,此時，方程化為根據ip是否等于特征根L ,其通解分為如下兩種情形:(1)當p = 時,其通解為sin pt C1 si n t C2 cos t,1此時，特解的振幅一2為常數，但當p接近于時，將會導致振幅增大，發生類似共振的蛍 -p現象；(2)當p = 時,其通解為2pt cos pt C1 sin t C 2 cos t ,1此時，特解的振幅 丄t隨時間t的增加而增大，這種現象稱為共振，即當外力的頻率p等于2p物體的固有頻率時,將發生共振4. 阻尼強迫振動在這種情形下，假定振動物體既受阻