1、教師專業發展一、解題練習例1一個自行車輪胎，若把它安裝在前輪，則自行車行駛5000后報廢；若把它安裝在后輪，則自行車行駛3000后報廢，行駛一定路程后可以交換前、后輪胎如果交換前、后輪胎，要使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢，那么這輛自行車將能行駛 （請用方程或算術等多種解法求解；至少要用兩個解法完成此題；希望完成之后能談談感想，想說什么就說什么）例2一件工程，平均分為前、后兩段，甲工程隊干前段5000小時完成，乙工程隊干后段3000小時完成，如果兩工程隊同時動工，甲工程隊干前段、乙工程隊干后段一定時間后，甲、乙兩工程隊交換，使前、后兩段同時完工，問整個工程一共幾小時完成？例3一件工程，甲工程隊

2、干一半需5000小時，乙工程隊干一半需3000小時，如果甲、乙兩工程隊一齊干，整個工程幾小時完成？ 例4一件工程，甲工程隊干需10000小時，乙工程隊干需6000小時，如果甲、乙兩工程隊一齊干，整個工程幾小時完成？ 下面我們從反思、溝通、啟示三個層面上展開分析1.反思答案 解：設每個新輪胎報廢時的總磨損量為，則安裝在前輪的輪胎每行駛1的磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行1的磨損量為又設一對新輪胎交換位置前走了、交換位置后走了， 有 兩式相加，得 ， 則 （） 這個解法條理清晰，書寫完整，答案正確，也不乏趣味性的技巧，體現了方程解題的優勢，同時也給我們留下了反思深化的空間比如，可以提出怎樣一些思考的

3、線索：（1）本例對“字母表示數”的運用很熟練，引進過渡性的字母有助于建立等量關系、列出方程（像化學反應中的催化劑）；設而不求、也很富于解題的藝術，方程組、像是三元二次的，其實是二元一次的，并且不需要求出各個字母來但也正是這些技巧給我們的教學講解和學生接受帶來了一些困惑，把所求的未知數設為兩個未知數之和，學生不太好理解，我們“怎樣想到的”也不容易說清，這促使我們思考：能不能把題目處理得更好接受一些？（2）式、已經顯露了題目的一種結構：很像“工程問題”，能不能循此進行深層次的揭示？（3）如果繼續把式代入原方程（或由、式相減），還可以得出，就是說，若一對新輪胎同時報廢，則單個輪胎安裝在前輪行駛的路程

4、等于其安裝在后輪行駛的路程當我們思考這些問題，并把“一對自行車輪胎的行駛磨損”對應為“一件工程”，而把“前、后輪胎的磨損”對應為“把一件工程平均分為前、后兩段”時（例1與例2的溝通），發現這個“自行車問題”與“工程問題”沒有本質的區別 2.溝通新問題與原有知識經驗的聯系首先看下面熟知的“工程問題”：（具體數據有意與例1保持一致）例2一件工程，平均分為前、后兩段，甲工程隊干前段5000小時完成，乙工程隊干后段3000小時完成，如果兩工程隊同時動工，甲工程隊干前段、乙工程隊干后段一定時間后，甲、乙兩工程隊交換，使前、后兩段同時完工，問整個工程一共幾小時完成？例3一件工程，甲工程隊干一半需5000小

5、時，乙工程隊干一半需3000小時，如果甲、乙兩工程隊一齊干，整個工程幾小時完成？ 例4一件工程，甲工程隊干需10000小時，乙工程隊干需6000小時，如果甲、乙兩工程隊一齊干，整個工程幾小時完成？ 這三個工程問題的實質是完全一樣的：（1）例2中前、后相等的兩段，就是例3中的一半工程量；例2中甲、乙工程隊各干一定時間后交換場地，使前、后兩段同時完工，只不過是例3中甲、乙兩工程隊一齊干的一種途徑，一齊干有多種途徑，也可以像打隧道一樣分別從兩頭同時動工，一直打到貫通，中間不交換（例2與例3的溝通）（2）例3中甲（乙）完成一半工程量需5000小時（3000小時），就是例4中甲（乙）完成整個工程需100

6、00小時（6000小時）（例3與例4的溝通）（3）但是，例2的敘述方式更接近例1，所以，我們以“工程問題1”為代表與“自行車問題”比較如下（左右兩邊有“相當于”的對應關系）：例1 自行車問題例2 工程問題一對自行車輪胎的行駛磨損一件工程磨損量（從新輪胎到報廢）工程量（完成一件工程）輪胎分為前輪、后輪工程分為前段、后段前輪、后輪磨損量相等（一個輪胎的磨損量為定值是隱含條件）前段、后段工程量相等（工程平均分為前、后兩段是已知條件）前輪行駛5000報廢甲工程隊干前段5000小時完成后輪行駛3000報廢乙工程隊干后段3000小時完成如果行駛一定路程后，交換前、后輪胎，使一輛自行車的一對新輪胎同時報廢如

7、果兩工程隊同時動工，甲工程隊干前段、乙工程隊干后段一定時間后，甲、乙兩工程隊交換，使前、后兩段同時完工這輛車將能行駛多少？整個工程幾小時完成？ 可見，“自行車問題”與“工程問題”有相同的結構這樣一來，就激活了原有的知識經驗，一般性的“工程”模式就可以具體指導特殊性的“自行車”磨損問題，更反映問題深層結構的解法也水到渠成新解1：設每個新輪胎報廢時的總磨損量為1，則一對新輪胎報廢時的總磨損量為2；又由已知得，安裝在前輪的輪胎每行駛1的磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行駛1的磨損量為，進而，每1一對輪胎磨損量為；用總磨損量除以單位磨損量可得“一對新輪胎同時報廢最多可行駛” 填新解2：設一對新輪胎報廢時的

8、總磨損量為1，則安裝在前輪的輪胎每行駛1的磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行駛1的磨損量為，進而，每1一對輪胎磨損量為；用總磨損量除以單位磨損量可得“一對新輪胎同時報廢最多可行駛” 填說明 如果說原解法更關注前輪、后輪兩個“局部”的話，那么新解法則把前輪、后輪合起來作“整體處理”了；原解法將兩個“局部”列成兩條方程、直接呈現表層結構，新解法則已經完成兩條方程相加、整體呈現問題的深層結構了，而、式（還有后面的、式）是一樣的 新解3：設一對新輪胎交換位置后同時報廢時自行車共行駛了由于填空題不需要書寫過程，所以，我們不妨設想自行車的車把和車座都可以旋轉，用人和車的掉頭代替前、后輪交換的裝卸當自行車行駛到

9、時，前輪的磨損量恰好是后輪的磨損剩余量，前輪的磨損剩余量恰好是后輪的磨損量，如果此時旋轉車把和車座掉頭返回出發地，就交換了前、后輪，再行駛回到出發地時一對新輪胎同時報廢于是， 一個新輪胎的總磨損量前進的磨損量返程的磨損量，有 ， 得 填說明 這實際上是對方程組中或取，并把兩個方程合并為方程新解4：設每個新輪胎報廢時的總磨損量為，則安裝在前輪的輪胎每行駛1的磨損量為，安裝在后輪的輪胎每行使1的磨損量為又設自行車一對新輪胎交換位置前走了、而到同時報廢時共行駛了，分別以一個輪胎總磨損量為等量關系列方程， 即兩式相加，得 ，則 說明：雖然方程相減還可求出，但本題的和主要起化學反應中的催化劑作用像已知數

10、一樣參與運算，便于列出方程新解5：假設自行車行駛了15000，則前輪用了3個，后輪用了5個，共報廢8個，所以，一對新輪胎同時報廢能行駛（）在中，先消去就是新解1，而取就是新解5，所以，方程解法、算術解法、技巧解法三者是相通的3.對“學解題、教解題、編習題”的啟示 總結上面的講解，每個人都有機會領悟一些有益的啟示（千萬別進寶山而空還），由于這是一個個性化的經驗生成過程，認識的差異是難免的，作為拋磚引玉，我談三點啟示與同行共勉 （1）關于解題學習的啟示解題獲得答案是必要的，但學解題不要滿足于獲得答案，繼續分析解題過程是認識問題深層結構、學會怎樣解題的有效途徑如同大家所看到的，對本例的反思分析就如同給我們的眼睛配備了顯微鏡和望遠鏡，既看得更細了（微觀更透徹），又看得更遠了（宏觀更開闊）（2）關于解題教學的啟示解題教學不僅要教解題活動的結果（答案），而且要呈現解題活動的必要過程暴露數學解題的思維活動沒有過程的結果是事實的外在灌輸，沒有結果的過程是時間的低效消費，解題教學不僅要獲得答案，而且要從獲得答案的過程中學會怎樣解題，把過程與結果結合起來對于本例，我們不妨依次轉化為例2、例3、例4進行化歸思想的教學；或者反過來回憶小學時的例4，然后逐步深入到例3、例2、例，從小