1、精選學習資料 - - - 歡迎下載中考數學復習資料,細心整編吐血舉薦、 如如有用請打賞支持,感謝不盡！初 中數學競賽精品標準教程及練習（16） 整數的一種分類一.內容提要1余數的定義：在等式a mbr 中,假如 a.b 為整數, m為正整數,r 為小于 m的非負整數,那么我們稱r 為 a 除以 m的余數；即：在整數集合中被除數除數×商余數0 余數 <除數例如： 13,0, 1, 9 除以 5 的余數分別為3,0,4,1（ 1 5（ 1） 4；95（ 2） 1；） 2明顯,整數除以正整數m 、 它的余數只有m種；例如整數除以 2,余數只有0 和 1 兩種,除以3 就余數有 0.1

2、.2 三種； 3整數的一種分類：按整數除以正整數m的余數,分為m類,稱為按模m分類；例如：m=2時,分為偶數.奇數兩類,記作2k、 2k 1（k 為整數）m=3時,分為三類,記作3k、 3k+1、 3k+2.或 3k 、 3k+1,3k 1其中 3k1表示除以3 余 2；m=5時,分為五類, 5k. 5k+1、 5k+2、 5k+3、 5k+4 或 5k、 5k± 1 、 5k±2,其中 5k2 表示除以 5 余 3；4余數的性質：整數按某個模m分類,它的余數有可加,可乘,可乘方的運算規律；舉例如下：（ 3k1+1）+3k 2+1=3k 1+k2 +2（余數 112）（ 4

3、k1+1）4k 2 +3=44k 1k2+3k1+k2+3（ 余 數 1×33）2222精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載（ 5k± 2）25k ±20k+4=55k ±4k+4（余數 2 4）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載以上等式可表達為：兩個整數除以3 都余 1,就它們的和除以3 必余 2；兩個整數除以4,分別余1 和 3,就它們的積除以4 必余 3；假如整數除以5,余數為2 或 3,那么它的平方數除以5,余數必為4 或 9 ；余數的乘方,包括一切正整數次冪；66如： 17 除以 5 余 217 除以 5 的余數為 4 （

4、2 64）5運用整數分類解題時,它的關鍵為正確選用模m；精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載二.例題例 1.今日為星期日, 99 天后為星期幾？分析：一星期為7 天,選用模m=7、 求 99 除 以 7 的 余數解： 99（ 7 2） 9,它的余數與29 的余數相同,29 （ 23） 383（ 71）3 它的余數與13 相同,99 天后為星期一；又解：設 a表示 a 除以 7 的余數,99（72）9 29 83（71）3 13 1例 2.設 n 為正整數,求43 n+1 除以 9 的余數；分析：設法把冪的底數化為9kr 形 式解： 43 n+1 4× 43n=4×

5、 4 3 n=4×（ 64） n4×9 ×71 n 9 ×71 n 除以 9 的余數為1n=1 43 n+1 除以 9 的余數為 4；例 3.求證三個連續整數的立方和為9 的倍數解：設三個連續整數為n1、n、n+13332精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載m=n1+n +n+1 =3nn+2精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載把整數 n 按模 3,分為三類爭論；當 n=3k （ k 為整數,下同）時,m3×3k3k 2+2 =9k9k 2+2當 n=3k+1 時,m3（3k+1）3k+1 2+2 3（3k+1）9k 2+6

6、k+3=93k+13k 2 +2k+1當 n=3k+2 時,m3（3k+2）3k+2 2+2 3（3k+2）9k 2+12k+693k+23k2+4k+2對任意整數n, m都為 9 的倍數；22例 4.求證：方程x 3y =17 沒有整數解證明：設整數x 按模 3 分類爭論,當 x 3k 時,（3k）23y2=17、33k 2 y2 =17當 x=3k± 1 時,（3k±1）23y2=173 3k2± 2ky2=16由左邊的整數為3 的倍數,而右邊的17 和 16 都不為 3 的倍數,上述等式都不能成立,因此,方程x23y2=17 沒有整數解例 5.求證：不論n

7、取什么整數值, n2+n+1 都不能被5 整除精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載證明：把 n 按模 5 分類爭論,當 n=5k 時, n2+n+1=5k 2+5k+1=55k2+k+1當 n=5k±1 時 , n2+n+1（ 5k±1）2 5k±11 25k2±10k+1+5k±11 5（ 5k2± 2kk） 2± 1當 n=5k±2 時 , n2+n+1（ 5k± 2） 25k±2122 25k2±20k+4+5k±21 5（ 5k2± 4k+k+1）

8、± 2 綜上所述,不論n 取什么整數值, n +n+1 都不能被 5 整除又證： n +n+1nn+1+1nn+1 為兩個連續整數的積,其個位數只能為0,2,6n2+n+1 的個位數只能為1,3,7,故都不能被5 整除；三.練習 161.已 知 a=3k+1、 b=3k+2、 c=3ka、b、c、k都為整數 填寫表中各數除以3 的余數；22355a+ba+cabac2a2babbba+b2.376÷ 7 的余數為3今日為星期日,第2 天為星期一,那么第2111 天為星期幾？4已知 m、n 都為正整數,求證：3nmn 2+25.已知 a 為奇數但不為3 的倍數,求證： 24（

9、 a2 1）（提示 a 可表示為除以6 余 1 或 5, 即 a=6k± 1）精品學習資料精選學習資料 - - - 歡迎下載一二三四五123487659101121161141539 的倍數；這為為什么？假如改6把正整數按表中的規律排下去,問100將排在哪一列？答：7已知正整數n 不為 4 的倍數求證： 1n 2n 3n4n 為 10 的倍數8.任給 5 個整數,必能從中找到3 個,其和能被 10 整除,這為為什么？9 對任意兩個整數,它們的和.差.積中至少有一個為3 的倍數,試說明理由；10任意 10 個整數中,必有兩個 、 它們的差為為任意 n1 個,就必有兩個 、 它們的差為n 的倍數,試說明理由；11. 證明x2+y2-8z=6 沒有整數解12. 從 1 開頭的正整數依次寫下去,直到第198 位為止即1234198位那么這個數用9 除之,余數為練習 16 參考答案：2. 13.日4.設 n=3k、 3k+1、 3k-1爭論6.100 除以 8 余數為 4,故在第五列 7.可列表說明n=4k+3、4k+2、4k+1、4k 時,其和均為08.整數除以 3,余數