1、中考專題訓練 動點問題例1. 如圖， 在中，于點， 點從點出發， 在線段上以每秒的速度向點勻速運動， 與此同時， 垂直于的直線從底邊出發， 以每秒的速度沿方向勻速平移， 分別交、于、，當點到達點時， 點與直線同時停止運動， 設運動時間為秒（1） 當時， 連接、，求證： 四邊形為菱形；（2） 在整個運動過程中， 所形成的的面積存在最大值， 當的面積最大時， 求線段的長；（3） 是否存在某一時刻，使為直角三角形？若存在， 請求出此時刻的值；若不存在， 請說明理由 【解答】（1） 證明： 當時，則為的中點， 如答圖 1 所示 又，為的垂直平分線，于點，即四邊形為菱形 （2） 解： 如答圖 2 所示，

2、 由 （1） 知，即，解得：，當秒時，存在最大值， 最大值為，此時（3） 解： 存在 理由如下：若點為直角頂點， 如答圖 3所示，此時，即，此比例式不成立， 故此種情形不存在；若點為直角頂點如答圖 3所示，此時，即，解得；若點為直角頂點，如答圖所示 過點作于點，過點作于點，則，即，解得，在中， 由勾股定理得：，即，解得，在中， 由勾股定理得：在中， 由勾股定理得：，即：化簡得：，解得：或（舍 去）綜上所述， 當秒或秒時，為直角三角形 例2. 如圖， 在同一平面上， 兩塊斜邊相等的直角三角板和拼在一起， 使斜邊完全重合， 且頂點，分別在的兩旁，（1） 填空：， （2） 點，分別從點，點同時以每秒

3、的速度等速出發， 且分別在，上沿，方向運動， 當點運動到點時，、兩點同時停止運動， 連接，求當、點運動了秒時， 點到的距離 （用 含的式子表示）（3） 在 （2） 的條件下， 取中點，連接，設的面積為，在整個運動過程中，的面積存在最大值， 請求出的最大值 （參考數據，【解答】解： （1），；故答案為：，；（2） 過點作于，作，交的延長線于，如圖所示：則，點到的距離為；（3），為的中點，的面積梯形的面積的面積的面積，即是的二次函數，有最大值，當時，有最大值為例3. 如圖，是正方形的對角線，邊在其所在的直線上平移， 將通過平移得到的線段記為，連接、，并過點作，垂足為，連接、（1） 請直接寫出線段在

4、平移過程中， 四邊形是什么四邊形？（2） 請判斷、之間的數量關系和位置關系， 并加以證明；（3） 在平移變換過程中， 設，求與之間的函數關系式， 并求出的最大值 【解答】（1） 四邊形為平行四邊形；（2），理由如下：四邊形是正方形，在和中，；（3） 如圖， 過作于如圖 1 ，當點在點右側時，則，即，又，當時，有最大值為 2 ；如圖 2 ，當點在點左側時，則，即，又，當時，有最大值為；綜上所述，當時，有最大值為 2 例4. 如圖， 在平面直角坐標系中，為原點， 四邊形是矩形， 點，的坐標分別是和，點是對角線上一動點 （不 與，重合） ，連結，作，交軸于點，以線段，為鄰邊作矩形（1） 填空： 點的

5、坐標為，；（2） 是否存在這樣的點，使得是等腰三角形？若存在， 請求出的長度；若不存在， 請說明理由；（3）求證：；設，矩形的面積為，求關于的函數關系式 （可 利用的結論） ，并求出的最小值 【解答】解： （1）四邊形是矩形，故答案為，（2） 存在 理由如下：，如圖 1 中， 當在線段上時，是等腰三角形， 觀察圖象可知， 只有，是等邊三角形，在中，當時，是等腰三角形 如圖 2 中， 當在的延長線上時，是等腰三角形， 只有，綜上所述， 滿足條件的的值為 2 或（3）如圖 1 ，過點作交于，交于，和，直線的解析式為，設，如圖 2 中， 作于在中，在中，矩形的面積為，即，時，有最小值例5. 已知，斜邊，將繞點順時針旋轉，如圖 1 ，連接（1） 填空： 60 ；（2） 如圖 1 ，連接，作，垂足為，求的長度；（3） 如圖 2 ，點，同時從點出發， 在邊上運動，沿路徑勻速運動，沿路徑勻速運動， 當兩點相遇時運動停止， 已知點的運動速度為 1.5 單位秒， 點的運動速度為 1 單位秒， 設運動時間為秒，的面積為，求當為何值時取得最大值？最大值為多少？【解答】解： （1） 由旋轉性質可知：，是等邊三角形，故答案為 60 （2） 如圖 1 中，是等邊三角形，（3）當時，在上運動，在上運動，