1、估計量的評選標準與區估計量的評選標準與區間估計間估計一一 估計量的評選標準估計量的評選標準 定義定義 若估計量 = (X1 ,X2 ,Xn)的數學期望E( )存在，且對于任意有 E( )=,則稱 是的無偏估計。的無偏估計。 在科學技術中E( )-稱為以 作為的估計的系統誤 差,無偏估計的實際意義就是無系統誤差。 例1 設總體X的的k階矩k=E(Xk)(k1)存在，又設X1 ,X2 ,Xn是X的一個樣本。試證明不論總體服從什么分布，k階樣本矩nikiXnkA11證 X1 ,X2 ,Xn與X同分布，故有 E(Xik)=E(Xk) = k , i=1,2,n.)( kAE即有niXXni1)(1 2

2、2證22211 XniXni.)(1 1knikiXEnX例2 對于均值,方差20都存在的總體，若, 2均為未知，則2的估計量 是有偏的。22 XA是k階總體矩k的無偏估計。 特別，不論總體服從什么分布,只要它的數學期望存在 總是總體X的數學期望1=E(X)的無偏估計量。,)(2222AE22)()()( XEXDXE又)()(222XAEE是有偏的。所以2)()(22XEAE，乘若以21nn所得的估計量就是無偏的了：)1(2nnE:122Snn本方差就是第六章中定義的樣. )(11122niiXXnS故,/22n,1nn.)(12Enn這就是說S2是2的無偏估計，因此，一般都是取S2作為方差

3、2的估計量。 例3 設總體X服從參數為的指數分布，概率密度為其它。 ,0,0 ,(/xexfx其中0為未知,又設X1 ,X2 ,Xn是來自X的樣本,試證),.,min(21nXXXnnZX和都是的無偏估計量證的無偏估計。是故因XXEXE)()( 而Z=min(X1 ,X2 ,Xn)服從參數為/n的指數分布，即具有概率密度其它。 ,0,0 ,;(/minxenxfnx故知.)( ,)(nZEnZE即nZ也是參數的無偏估計量。 由此可見一個未知參數可以有不同的無偏估計量。事實上X1 ,X2 ,Xn均可。 都是與設定義),.,(),.,( 21222111nnXXXXXX的無偏估計量，若有現在來比較

4、的兩無偏估計量.)()(21DD有效。較則稱21 例4 (續例3)試證當n1時,的無偏估計量 較的無偏估計量nZ有效。XXXX 定義定義 設 (X1 ,X2 ,Xn)為參數的估計量,若對于任意,當n時 (X1 ,X2 ,Xn)依賴收斂于,則稱 為的一致估計量。一致估計量。 證證 由于D(X)=2,故有D( )= 2 /n, 再者，由于D(Z)=2/n2 , 故有D(nZ)= 2. 當n1時 D(nZ)D( ),故 較nZ有效。 由第六章2知，樣本k(k1)階矩是總體X的k階矩k=E(Xk)的一致估計量，進而若待估參數=g(1 , 2 , k ),其中g為連續函數，則的矩估計量),.,(21kg

5、=g(A1 ,A2 ,Ak)是的一致估計量。 由極大似然估計法得到的估計量，在一定條件下也具有一致性。 對于未知參數,除了求出它的點估計 外，還必須給出一個范圍，并知道這個范圍包含真值的可信度，這樣的范圍用區間給出，并給出范圍含的可信程度。這種形式的估計稱為區間估計區間估計。 置信區間 設總體X的分布函數F(x;)含有一個未知參數. 對于給定值a(0a1), 若由樣本X1 ,X2 ,Xn確定的兩個統計量),.,(),.,(2121nnXXXXXX和滿足, a1),.,(),.,(2121nnXXXXXXP分和的置信區間的置信度為是則稱隨機區間,a1),(別稱為置信度為1-a的雙側置信區間的置信

6、下限和置信上限，1-a稱為置信度置信度。 意義：若反復抽樣多次(容量都是n),每個樣本確定一個區間，其中包含 真值的約占100(1-a)%。 例4 設總體XN(,2), 2為已知, 為未知, 設X1 ,X2,Xn 是來自X的樣本, 求的置信度為1-a的置信區間。的無偏估計，且有是已知解X ).1 , 0(/NnX且它不依賴于任何未知參數, 按標準正態分布的上a分位點的定義，有(如圖). a1/2/aznXPa.1 2/a2/aznXznXP即這就得到了的一個置信度為1-a的置信區間(5) ) , (2/a2/aznXznX)( 2/aznX常寫成 如果取a=0.05, 即1-0.05=0.95

7、, 又若 =1, n=16, 查表得za/2 =z0.025 =1.96. 于是得到置信度為0.95的置信區間, )96. 1161(X ).49. 0( X即則有獲得再者，若由一個樣本值,52. 0X),49. 0(5.20 ).5.69 (4.71, 即這已不是隨機區間, 但仍稱為95%的置信區間，含義是該區間屬于那些包含的區間的可信程度為95%, 或“該區間包含”的可信度為95%. 注意：置信區間不唯一，上例給定a=0.05, 則還有.95. 0 0.040.01znXznXP即,95. 0/0.0104. 0znXzP(7) ) , ( 0.040.01znXznX故也是的置信度為95

8、%的置信區間。 比較（5）和（7）則區間長度分別為,3.9220.0251nznl.48. 4)(0.010.042nzznl, 2 ,4a/2nznL解出設置信區間的長度中在例,)2(2a/2zLn 可見, L隨n的增大而減小(當a給定時)。 我們可以 確定n , 使置信區間具有預先給定的長度。 ： 1)尋求一個樣本X1 ,X2,Xn的函數： Z=Z(X1 ,X2,Xn ; ),它包含待估參數 ，而不含其它未知參數，且Z的分布不依賴其它未知參數。（當然不依賴于待估參數 ) 2)對給定置信度1- ，定出兩常數a, b，使PaZ(X1 ,X2,Xn;)b=1- 3)若能從a Z(X1 ,X2,X

9、n;)b得到等價的不等式的的已得到采用函數為已知，由例a1,/4 )(2nXa,的置信區間。的一個置信度為就是那么都是統計量a1),(, 函數Z(X1 ,X2,Xn ; )的構造, 可以從 的點估計著手考慮。 (三三)單個總體單個總體N( , 2)的情況的情況 設已給定置信度為1-a, 并設X1 ,X2,Xn為總體N(,2)方差。分別是樣本均值和樣本的樣本2S ,X .1)均值均值 的置信區間的置信區間),.,(),.,(2121nnXXXXXX其中).nX(2/az置信區間為222,), )( 是而因其內含為未知。這時，不能用Saba,1)1(/) 1( a/2a/2ntnSXntP得a.1

10、)1(nSX) 1(nS-X a/2a/2ntntP即于是得的置信度為1-a的置信區間).1(nX(2/antS例5 有一大批糖果,現從中隨機地取16袋,稱得重量為 506 508 499 503 504 510 497 512,) 1(),1(/,不依賴于任何未知參數且又的無偏估計ntntnSX514 505 493 496 506 502 509 496 解 這里 1-a=0.95, a/2=0.025, n-1=15, ,75.503xs=6.2022.于是根據 得均值的0.95置信區間).1315. 2162022. 6(503.75即 （500.4, 507.1). 若以此區間任一值作的近似值，其誤差不大于%.9561. 621315. 2162022. 6克，且可信度為1315. 2)15(025. 0t設袋裝糖果的重量近似服從正態分布，試求總體均值的置信區間。)1(nX(2/antS 2)方差2的置信區間(只介紹為未知) 2的無偏估計為S2 由第六章2定理一知),1() 1(222nSna,1)1() 1() 1( 2a/2222a/2- 1nSnnP故 這就是2的置信度為1-a的置信區間.) 1() 1( ,) 1() 1(2a/2122a/22nSnnSn還可得標準差的置信區間。a,1) 1() 1() 1() 1( 2a/21222a/22n