1、.拋物線與存在性-1一、解答題（共30小題）1、已知：矩形ABCD（字母順序如圖）的邊長AB=3，AD=2，將此矩形放在平面直角坐標系xOy中，使AB在x軸正半軸上，而矩形的其它兩個頂點在第一象限，且直線y=x1經過這兩個頂點中的一個（1）求出矩形的頂點A、B、C、D的坐標；（2）以AB為直徑作M，經過A、B兩點的拋物線，y=ax2+bx+c的頂點是P點若點P位于M外側且在矩形ABCD內部，求a的取值范圍；過點C作M的切線交AD于F點，當PFAB時，試判斷拋物線與y軸的交點Q是位于直線y=x1的上方？還是下方？還是正好落在此直線上？并說明理由2、（2000甘肅）已知開口向下的拋物線y=ax2+

2、bx+c與x軸交于M，N兩點（點N在點M的右側），并且M和N兩點的橫坐標分別是方程x22x3=0的兩根，點K是拋物線與y軸的交點，MKN不小于90度（1）求點M和N的坐標；（2）求系數a的取值范圍；（3）當y取得最大值時，拋物線上是否存在點P，使得？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由3、（2000內江）如圖，在直角坐標系xoy中，以原點為圓心的O的半徑是，過A（0，4）作O的切線交x軸于點B，T是切點，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為C（3，），且拋物線過A、B兩點（1）求此拋物線的解析式；（2）如果此拋物線的對稱軸交x軸于D點，問在y軸的負半軸上是否存在點P，使B

3、CDOPB？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由4、（2001哈爾濱）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，它們的橫坐標分別為1和3，與y軸交點C的縱坐標為3，ABC的外接圓的圓心為點M（1）求這條拋物線的解析式；（2）求圖象經過M、A兩點的一次函數解析式；（3）在（1）中的拋物線上是否存在點P，使過P、M兩點的直線與ABC的兩邊AB、BC的交點E、F和點B所組成的BEF和ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由5、（2001山東）已知，拋物線y=ax2+bx+c（a0）過點P（1，2）、Q（1，2），且與x軸交于A、B兩點，（A在B左側，與y軸交

4、于C點，連接AC、BC（1）求a與c的關系式；（2）若（O為坐標原點），求拋物線的解析式；（3）是否存在滿足條件tanCABcotCBA=1的拋物線？若存在，請求出拋物線的解析式；若不存在，請說明理由6、（2001溫州）己知：拋物線y=x2（k+1）x+k（1）試求k為何值時，拋物線與x軸只有一個公共點；（2）如圖，若拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸的負半軸交于點C，試問：是否存在實數k，使AOC與COB相似若存在，求出相應的k的值；若不存在，請說明理由7、（2001無錫）已知直線y=x+m（m0）與x軸、y軸分別將于交于點C和點E，過E點的拋物線y=ax2+bx+c的頂

5、點為D，（1）如果CDE恰為等邊三角形求b的值；（2）設拋物線交y=ax2+bx+c與x 軸的兩個交點分別為A（x1，0）、B（x2，0）（x1x2），問是否存在這樣的實數m，使AEC=90°？如果存在，求出此時m的值；如果不存在，請說明理由8、（2002鄂州）已知拋物線y=mx22mx+4m與x軸的兩個交點的坐標為A（x1，0），B（x2，0）（xlx2），且x12+x22=34（1）求m，x1，x2的值；（2）在拋物線上是否存在點C，使ABC是一個頂角為120°的等腰三角形？若存在，請求出所有點C的坐標；若不存在，請說明理由9、（2002貴陽）如圖，在直角坐標系xOy中

6、，二次函數圖象的頂點坐標為C（4，），且在x軸上截得的線段AB的長為6（1）求二次函數的解析式；（2）設拋物線與y軸的交點為D，求四邊形DACB的面積；（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得PAC被x軸平分，如果存在，請求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由10、（2002廣西）已知拋物線y=x2+2mx+4（1）求拋物線的頂點坐標（用含m的式子表示）；（2）設拋物線與x軸相交于A、B兩點，且，求拋物線的函數解析式，并畫出它的圖象；（3）在（2）的拋物線上是否存在點P，使APB等于90°？如果不存在，請說明理由；如果存在，先找出點P的位置，然后再求出點P的坐標11、（2002

7、內江）如圖，一次函數y=x+3的圖象交x軸于點A，交y軸于點Q，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的頂點為C，其圖象過A、Q兩點，并與x軸交于另一個點B（B點在A點左側），ABC三內角A、B、C的對邊為a，b，c若關于x的方程a（1x2）+2bx+c（1+x2）=0有兩個相等實數根，且a=b；（1）試判定，ABC的形狀；（2）當時求此拋物線的解析式；（3）拋物線上是否存在點P，使SABP=S四邊形ACBQ？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由12、（2002瀘州）已知：拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于點A（x1，0），b（x2，0）（x1x2），頂點M的縱坐標是4若x

8、1，x2是方程x22（m1）+m27=0的兩個實數根，且x12+x22=10（1）求A、B兩點的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否存在點P，使PAB的面積等于四邊形ACMB的面積的2倍？若存在，求出所有合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由13、（2002青海）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過原點O，并且與一次函數y=kx+4的圖象相交于A（1，3），B（2，2）兩點（1）分別求出一次函數、二次函數的解析式；（2）若C為x軸上一點，問：在x軸上方的拋物線上是否存在點D，使SCOD=SOCB？若存在，請求出所有滿足條件的D點坐標；若不存在，請說明理由14、（20

9、02山西）已知：拋物線y=ax2+bx與x鈾的一個交點為B，頂點A在直線y=x上，O為坐標原點（1）證明：OAB為等邊三角形；（2）若OAB的內切圓半徑為1，求出拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否存在點P，使POB是直角三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由15、（2002武漢）已知拋物線交x軸于A（x1，0）、B（x2，0），交y軸于C點，且x10x2，（AO+OB）2=12CO+1（1）求拋物線的解析式；（2）在x軸的下方是否存在著拋物線上的點P，使APB為銳角？若存在，求出P點的橫坐標的范圍；若不存在，請說明理由16、（2002無錫）已知直線y=kx4（k0）與x軸和y

10、軸分別交于A、C兩點；開口向上的拋物線y=ax2+bx+c過A、C兩點，且與x軸交于另一點B（1）如果A、B兩點到原點O的距離AO、BO滿足AO=3BO，點B到直線AC的距離等于，求這條直線和拋物線的解析式（2）問是否存在這樣的拋物線，使得tanACB=2，且ABC的外接圓截y軸所得的弦長等于5？若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由17、（2002烏魯木齊）已知拋物線y=x2x+2（1）確定此拋物線的對稱軸方程和頂點坐標；（2）如圖，若直線l：y=kx（k0）分別與拋物線交于兩個不同的點A、B，與直線y=x+4相交于點P，試證=2；（3）在（2）中，是否存在k值，使A、B兩點

11、的縱坐標之和等于4？如果存在，求出k值；如果不存在，請說明理由18、（2003北京）已知：拋物線y=ax2+4ax+t與x軸的一個交點為A（1，0）（1）求拋物線與x軸的另一個交點B的坐標；（2）D是拋物線與y軸的交點，C是拋物線上的一點，且以AB為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；（3）E是第二象限內到x軸、y軸的距離的比為5：2的點，如果點E在（2）中的拋物線上，且它與點A在此拋物線對稱軸的同側，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使APE的周長最小？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由19、（2002浙江）已知拋物線過A（2，0）、B （1，0）、C（0，2）三點

12、，（1）求這條拋物線的解析式；（2）在這條拋物線上是否存在點P，使AOP=45°？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由20、（2002浙江）以x為自變量的二次函數y=x2+2x+m，它的圖象與y軸交于點C（0，3），與x軸交于點A、B，點A在點B的左邊，點O為坐標原點，（1）求這個二次函數的解析式及點A，點B的坐標，畫出二次函數的圖象；（2）在x軸上是否存在點Q，在位于x軸上方部分的拋物線上是否存在點P，使得以A，P，Q三點為頂點的三角形與AOC相似（不包含全等）？若存在，請求出點P，點Q的坐標；若不存在，請說明理由21、（2002漳州）已知一元二次方程x2+bx+c=0的

13、兩個實數根是m，4，其中0m4（1）求b、c的值（用含m的代數式表示）；（2）設拋物線y=x2+bx+c與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C若點D的坐標為（0，2），且ADBD=10，求拋物線的解析式及點C的坐標；（3）在（2）中所得的拋物線上是否存在一點P，使得PC=PD？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由22、（2003長沙）設拋物線C的解析式為：y=x22kx+（+k）k，k為實數（1）求拋物線的頂點坐標和對稱軸方程（用k表示）；（2）任意給定k的三個不同實數值，請寫出三個對應的頂點坐標；試說明當k變化時，拋物線C的頂點在一條定直線L上，求出直線L的解析式并畫出圖象；（3）在第

14、一象限有任意兩圓O1、O2相外切，且都與x軸和（2）中的直線L相切設兩圓在x軸上的切點分別為A、B（OAOB），試問：是否為一定值？若是，請求出該定值；若不是，請說明理由；（4）已知一直線L1與拋物線C中任意一條都相截，且截得的線段長都為6，求這條直線的解析式23、（2003福州）已知：如圖，二次函數y=2x22的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左邊），與y軸交于點C，直線x=m（m1）與x軸交于點D（1）求A、B、C三點的坐標；（2）在直線x=m（m1）上有一點P（點P在第一象限），使得以P、D、B為頂點的三角形與以B、C、O為頂點的三角形相似，求P點坐標（用含m的代數式表示）；（3）

15、在（2）成立的條件下，試問：拋物線y=2x22上是否存在一點Q，使得四邊形ABPQ為平行四邊形？如果存在這樣的點Q，請求出m的值；如果不存在，請簡要說明理由24、（2003哈爾濱）已知：拋物線y=ax2+bx+c經過A（1，0）、B（5，0）兩點，最高點的縱坐標為4，與y軸交于點C（1）求該拋物線的解析式；（2）若ABC的外接圓O交y軸不同于點c的點D，O的弦DE平行于x軸，求直線CE的解析式；（3）在x軸上是否存在點F，使OCF與CDE相似？若存在，求出所有符合條件的點F的坐標，并判定直線CF與O的位置關系（要求寫出判斷根據）；若不存在，請說明理由25、（2003汕頭）已知拋物線y=x2+（

16、m+3）x（m1）（1）求拋物線的頂點坐標（用m表示）；（2）設拋物線與x軸的兩個交點為A（x1，0）、B（x2，0），與y軸交點為C，若ABC=BAC，求m的值；（3）在（2）的條件下，設Q為拋物線上的一點，它的橫坐標為1，試問在拋物線上能否找到另一點P，使PCQC？若點P存在，求點P的坐標；若點P不存在，請說出理由（請在右方直角坐標系中作出大致圖形）26、（2003山西）如圖，已知圓心A（0，3），A與x軸相切，B的圓心在x軸的正半軸上，且B與A外切于點P，兩圓的公切線MP交y軸于點M，交x軸于點N（1）若sinOAB=，求直線MP的解析式及經過M、N、B三點的拋物線的解析式（2）若A的位

17、置大小不變，B的圓心在x軸的正半軸上移動，并使B與A始終外切，過M作B的切線MC，切點為C，在此變化過程中探究：1四邊形OMCB是什么四邊形，對你的結論加以證明2經過M、N、B三點的拋物線內是否存在以BN為腰的等腰三角形？若存在，表示出來；若不存在，說明理由27、（2003武漢）已知：二次函數y=x22（m1）x1m的圖象與x軸交于A（x1，0）、B（x2，0），x10x2，與y軸交于點C，且滿足（1）求這個二次函數的解析式；（2）是否存在著直線y=kx+b與拋物線交于點P、Q，使y軸平分CPQ的面積？若存在，求出k、b應滿足的條件；若不存在，請說明理由28、（2003無錫）已知拋物線y=ax

18、2+bx+c（a0）與x軸交于A、B兩點，點A在x軸的負半軸上，點B在x軸的正半軸上，又此拋物線交y軸于點C，連AC、BC，且滿足OAC的面積與OBC的面積之差等于兩線段OA與OB的積（即SOACSOBC=OAOB）（1）求b的值；（2）若tanCAB=，拋物線的頂點為點P，是否存在這樣的拋物線，使得PAB的外接圓半徑為？若存在，求出這樣的拋物線的解析式；若不存在，請說明理由29、（2003泰州）已知：如圖，拋物線y=x2（m+2）x+3（m1）與x軸的兩個交點M、N在原點的兩側，點N在點M的右邊，直線y1=2x+m+6經過點N，交y軸于點F（1）求這條拋物線和直線的解析式（2）又直線y2=k

19、x（k0）與拋物線交于兩個不同的點A、B，與直線y1交于點P，分別過點A、B、P作x軸的垂線，垂足分別是C、D、H試用含有k的代數式表示；求證：（3）在（2）的條件下，延長線段BD交直線y1于點E，當直線y2繞點O旋轉時，問是否存在滿足條件的k值，使PBE為等腰三角形？若存在，求出直線y2的解析式；若不存在，請說明理由30、（2004長春）已知二次函數y=x28x+15的圖象交x軸于A、B兩點，交y軸于點C請結合這個函數的圖象解決下列問題：（1）求ABC的面積；（2）點P在這個二次函數的圖象上運動，能使PAB的面積等于1個平方單位的P點共有多少個？請直接寫出滿足條件的P點坐標；（3）在（2）中

20、，使PAB的面積等于2個平方單位的P點是否存在？如果存在，寫出P點的個數；如果不存在，請說明理由答案與評分標準一、解答題（共30小題）1、已知：矩形ABCD（字母順序如圖）的邊長AB=3，AD=2，將此矩形放在平面直角坐標系xOy中，使AB在x軸正半軸上，而矩形的其它兩個頂點在第一象限，且直線y=x1經過這兩個頂點中的一個（1）求出矩形的頂點A、B、C、D的坐標；（2）以AB為直徑作M，經過A、B兩點的拋物線，y=ax2+bx+c的頂點是P點若點P位于M外側且在矩形ABCD內部，求a的取值范圍；過點C作M的切線交AD于F點，當PFAB時，試判斷拋物線與y軸的交點Q是位于直線y=x1的上方？還是

21、下方？還是正好落在此直線上？并說明理由考點：二次函數綜合題。分析：（1）首先建立平面直有坐標系，由矩形ABCD中，AB=3，AD=2，設A（m0）（m0），則有B（m+30）；C（m+32），D（m，2）；然后若C點過y=x1與C點不過y=x1分析，即可求得矩形的頂點A、B、C、D的坐標；（2）M以AB為直徑，即可求得M點的坐標，又由y=ax2+bx+c過A（2，0）和B（5，0）兩點，利用待定系數法即可求得二次函數的圖象，然后頂點同時在M內和在矩形ABCD內部，即可求得a的取值范圍；首先設切線CF與M相切于Q，交AD于F，設AF=n，n0；由AD、BC、CF均為M切線，求得CF與DF的長；在

22、RtDCF中，由勾股定理求得n的值，可得F的坐標，然后由當PFAB時，求得拋物線的解析式與拋物線與y軸的交點Q的坐標，則可得Q在直線y=x1下方解答：解：（1）如圖，建立平面直有坐標系，矩形ABCD中，AB=3，AD=2，設A（m0）（m0），則有B（m+30）；C（m+32），D（m，2）；若C點過y=x1；則2=（m+3）1，m=1與m0不合；C點不過y=x1；若點D過y=x1，則2=m1，m=2，A（2，0），B（5，0），C（5，2），D（2，2）；（2）M以AB為直徑，M（3，50），由于y=ax2+bx+c過A（2，0）和B（5，0）兩點，y=ax27ax+10a（也可得：y=a（

23、x2）（x5）=a（x27x+10）=ax27ax+10a）y=a（x）2a；拋物線頂點P（，a）頂點同時在M內和在矩形ABCD內部，a2，a設切線CF與M相切于Q，交AD于F，設AF=n，n0；AD、BC、CF均為M切線，CF=n+2，DF=2n；在RtDCF中，DF2+DC2=CF2；32+（2n）2=（n+2）2，n=，F（2，）當PFAB時，P點縱坐標為；a=，a=；拋物線的解析式為：y=x2+x5，拋物線與y軸的交點為Q（0，5），又直線y=x1與y軸交點（0，1）；Q在直線y=x1下方點評：此題考查了待定系數法求二次函數的解析式，矩形的性質，勾股定理的應用以及點與函數的關系等知識此

24、題綜合性很強，難度較大，解題的關鍵是方程思想與數形結合思想的應用2、（2000甘肅）已知開口向下的拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于M，N兩點（點N在點M的右側），并且M和N兩點的橫坐標分別是方程x22x3=0的兩根，點K是拋物線與y軸的交點，MKN不小于90度（1）求點M和N的坐標；（2）求系數a的取值范圍；（3）當y取得最大值時，拋物線上是否存在點P，使得？若存在，請求出所有滿足條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題；解一元二次方程-因式分解法；三角形的面積；相似三角形的判定與性質。專題：綜合題；壓軸題。分析：（1）可根據先求出方程x22x3=0的兩根，然后根據M，N

25、的左右位置來確定它們的坐標（2）可先用交點式設出拋物線的解析式，由于拋物線過M，N，因此可將拋物線設為y=a（x22x3），求MKN不小于90°時a的取值范圍，那么可先求出MKN=90°時，a的值當MKN=90°時，可根據射影定理求出OK的長，也就求出了a的值，進而可得出a的取值范圍（要注意的是拋物線開口向下的條件，即a0）（3）當y取最大值時，那么NKN必為90°，可根據（2）得出的MKN=90°時a的值，進而可求出拋物線的解析式，然后根據三角形MKN的面積求出P點縱坐標的絕對值，再將P點的縱坐標代入拋物線的解析式中即可求出P的坐標解答：解：

26、（1）由題意：x22x3=0，x=3，x=1由于N在點M的左側，因此M，N的坐標分別是M（1，0），N（3，0）（2）拋物線與x軸交于M（1，0），N（1，0）兩點，則y=a（x22x3）拋物線開口向下，則a0，令x=0，y=3a0，K（0，3a）當MKN=90°時，MKN=MKO+NKO=90°，KON=NKO+KNO=90°MKO=KNOMOK=KON=90°MOKKONMO：KO=KO：ON，=a2=，a=由于MKN不小于90°，因此a的取值范圍是a0；（3）當y取最大值時，a=，因此拋物線的解析式為y=x2+x+；設P點的坐標為（0，h

27、），則有：SMPN=MN|h|=2，MN=4，因此|h|=，h=±當h=時，=x2+x+：解得x=0或x=2當h=時，=x2+x+：解得x=1+或1因此P點的坐標為（0，）、（2，）、（1+，）、（1，）點評：本題主要考查了二次函數與二元一次方程的關系以及二次函數的綜合應用，（2）中求出MKN=90°時a的取值是解題的關鍵3、（2000內江）如圖，在直角坐標系xoy中，以原點為圓心的O的半徑是，過A（0，4）作O的切線交x軸于點B，T是切點，拋物線y=ax2+bx+c的頂點為C（3，），且拋物線過A、B兩點（1）求此拋物線的解析式；（2）如果此拋物線的對稱軸交x軸于D點，問

28、在y軸的負半軸上是否存在點P，使BCDOPB？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題。專題：綜合題。分析：（1）可根據C點的坐標，用頂點式二次函數通式來設拋物線的解析式，然后將A點坐標代入求解即可（2）先根據拋物線的解析式求出B點的坐標，然后可分兩種情況討論：當BCDBPO，那么；當BCDPBO，則有；根據上述兩種情況中不同的對應成比例線段可求出不同的符號條件的P點坐標解答：解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x3）2，已知拋物線過A點，則有：a（03）2=4，解得a=此拋物線的解析式為：y=（x3）2（2）B（2，0）；C（3，）；D（3，0）BD=1，CD=，OB

29、=2要使BCDOPB只需或即：或解得：OP=或4P（0，）或（0，4）故：在y軸的負半軸上是否存在點P（0，）或（0，4），使BCDOPB點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定、相似三角形的判定和性質等知識點（2）題要根據相似三角形的對應線段的不同分類進行求解，不要漏解4、（2001哈爾濱）已知：如圖，拋物線y=ax2+bx+c與x軸交于A、B兩點，它們的橫坐標分別為1和3，與y軸交點C的縱坐標為3，ABC的外接圓的圓心為點M（1）求這條拋物線的解析式；（2）求圖象經過M、A兩點的一次函數解析式；（3）在（1）中的拋物線上是否存在點P，使過P、M兩點的直線與ABC的兩邊AB、BC的交點E、F

30、和點B所組成的BEF和ABC相似？若存在，求出點P的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）根據題意即可得出A、B、C三點的坐標，可通過待定系數法求出拋物線的解析式（2）本題的關鍵是求出M點的坐標，可如果設圓M與y軸的另一交點為D，那么可根據相交弦定理求出OD的長，進而可求出M點的縱坐標，同理可求出M的橫坐標，得出M的坐標后可用待定系數法求出直線MA的解析式（3）本題要分情況進行討論：當EFCA時，ABCEBF，可根據兩直線平行得出直線EF的斜率與直線AC的相同，然后根據直線EF過M點，即可求出直線EF的解析式，然后聯立拋物線即可求出它們的交點P的坐標當BFE

31、=A時，ABCFBE，思路同，可通過構建相似三角形來求E點的坐標以得出直線EF的解析式可過A作AGBC于G，過M作MHAB于H，那么通過相似三角形AGC和MHE可求出E點的坐標，然后同的方法進行求解即可解答：解：（1）由題意可知：A（1，0），B（3，0），C（0，3）可得拋物線的解析式為y=x2+2x+3（2）設y軸于圓M的另一交點為D，根據相交弦定理可得出OD=OAOB÷OC=1由此可求得M點的縱坐標為1同理可求出M點的橫坐標為1M的坐標為（1，1）設過A、M點的直線解析式為y=kx+b，有k+b=1，k+b=0k=，b=直線解析式為：y=x+（3）在（1）中的拋物線上存在點P使

32、BEF與ABC相似若BEFABC，則EFAC直線AC為：y=3x+3設直線EF為：y=3x+b1過m（1，1）直線EF為：y=3x2點P的坐標滿足y=3x2，y=x2+2x+3解之x1=+，x2=y1=+，y2=所以P1（+，+），P2（，）若BEFABC，則ACB=MEH過點A做AGBC于G，有AGC=MEHACGMEH其中AC=，CG=，AG=2，MH=1AG：CG=MH：HE，即2：=1：HEHE=，E的坐標為（，0）直線EM解析式為：y=2x1同理可得：P3（2，3），P4（2，5）綜上所述：P1（+，+），P2（，），P3（2，3），P4（2，5）點評：本題著重考查了待定系數法求二次

33、函數解析式、函數圖象的交點、相似三角形的判定和性質等重要知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法5、（2001山東）已知，拋物線y=ax2+bx+c（a0）過點P（1，2）、Q（1，2），且與x軸交于A、B兩點，（A在B左側，與y軸交于C點，連接AC、BC（1）求a與c的關系式；（2）若（O為坐標原點），求拋物線的解析式；（3）是否存在滿足條件tanCABcotCBA=1的拋物線？若存在，請求出拋物線的解析式；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）將P、Q的坐標代入拋物線的解析式中，將b消去即可得出a，c的關系式（2）本題可先將所給的等式進行適當

34、變形，然后設出A、B的橫坐標，用韋達定理求出待定系數的值，即可求出拋物線的解析式（3）根據已知的條件可知：CAB=CBA，此時OA=OB，那么拋物線關于y軸對稱，此時對稱軸x=0，據此可求出拋物線的解析式解答：解：（1）將P、Q的坐標代入拋物線的解析式可得：，解得b=2，a=c（2）由知y=ax22xa，設A（x1，0），B（x2，0）令y=0，ax22xa=0；x1+x2=，x1x2=1，A在x負半軸上，B在x正半軸上OA=x1，OB=x2=4=，即a2=3，a=±，拋物線的解析式為y=x22x或y=x22x+（3）tanCABcotCBA=1，OA=OB，由于A、B分別在原點兩側

35、，因此A、B關于原點對稱，即拋物線的對稱軸為y軸，x=0，顯然不成立，因此不存在這樣的拋物線點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系以及一元二次方程根與系數的關系等知識6、（2001溫州）己知：拋物線y=x2（k+1）x+k（1）試求k為何值時，拋物線與x軸只有一個公共點；（2）如圖，若拋物線與x軸交于A，B兩點（點A在點B的左邊），與y軸的負半軸交于點C，試問：是否存在實數k，使AOC與COB相似若存在，求出相應的k的值；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題。專題：綜合題。分析：（1）拋物線與x軸只有一個交點，也就是說當y=0時，得出的關于x的二元一次方程只有一個解，即=0，可據

36、此求出k的值（2）要分兩種情況進行討論：當CAO=BCO時，那么ACB=90°，根據射影定理可得出OC2=OAOB、OC是C的縱坐標的絕對值，而OA、OB分別是（1）中方程的兩個根的絕對值，那么可據此求出k的取值當ACO=BCO時，此時三角形AOC與BOC全等，那么對稱軸就是x=0，據此可求出k的值解答：解（1）由題意可知；當y=0時，方程x2（k+1）x+k=0，只有一個解，即：=（k+1）24k=（k1）2=0，k=1，即：當k=1時，拋物線與x軸只有一個公共點（2）分兩種情況進行討論：當CAO=BCO時=，即CO2=AOBO，由于CO=k，AOBO=k，k2=k，k（k+1）=

37、0，k=0，k=1當k=0時，C點與B點或A點重合，因此不合題意舍去當ACO=BCO時，AOC=BOC=90°，OC=OC，因此AOCBOC，那么y軸就是拋物線的對稱軸，即=0，k=1綜上所述，當k=1時，AOC與COB相似點評：本題主要考查了二次函數與二元一次方程的關系，根據根與系數的關系來求解是本題的基本思路注意（2）中要分類進行討論7、（2001無錫）已知直線y=x+m（m0）與x軸、y軸分別將于交于點C和點E，過E點的拋物線y=ax2+bx+c的頂點為D，（1）如果CDE恰為等邊三角形求b的值；（2）設拋物線交y=ax2+bx+c與x 軸的兩個交點分別為A（x1，0）、B（x

38、2，0）（x1x2），問是否存在這樣的實數m，使AEC=90°？如果存在，求出此時m的值；如果不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題。分析：（1）根據直線解析式求出C、E兩點坐標，再求出定點D坐標，根據CDE恰為等邊三角形的條件便可求出b的值；（2）先求出A點坐標，將A點坐標代入拋物線的解析式，求出m值，然后檢驗便可知道不存在m使得AEC=90°解答：解：（1）直線y=x+m（m0）與x軸、y軸分別將于交于點C和點E，當y=0時，x=m，當x=0時，y=m，C（m，0）E（0，m）CE=2m由題意拋物線y=ax2+bx+c過E點可得：m=c，拋物線y=ax2+bx+c的頂點

39、為D（，），由CDE恰為等邊三角形可知D點坐標為（m，2m），解得a=，b=；（2）拋物線的解析式為y=x2+x+m，A（x1，0）為拋物線交與x 軸的交點，且使AEC=90°，故A點坐標為A（m，0），將A點坐標代入拋物線解析式為y=x2+x+m，可得0=（）2+（）+m，解得m=0，不符合題意，故不存在m使得AEC=90°點評：本題是二次函數的綜合題，解題時要注意數形結合數學思想的運用，是各地中考的熱點和難點，同學們要加強訓練，屬于中檔題8、（2002鄂州）已知拋物線y=mx22mx+4m與x軸的兩個交點的坐標為A（x1，0），B（x2，0）（xlx2），且x12+x2

40、2=34（1）求m，x1，x2的值；（2）在拋物線上是否存在點C，使ABC是一個頂角為120°的等腰三角形？若存在，請求出所有點C的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）本題要根據韋達定理來求解，先表示出x1+x2和x1x2的值，然后代入x12+x22=34中即可求出m的值，進而可求出x1，x2的值（2）如果ABC是一個頂角為120°的等腰三角形，那么CBA=30°，即直線BC的斜率為，據此可求出直線BC的解析式，然后聯立拋物線的解析式即可求出C點的坐標，然后判斷AC是否等于BC或AB是否等于BC即可解答：解：（1）令y=0，則

41、有：0=mx22mx+4m；x1+x2=8，x1x2=x12+x22=（x1+x2）22x1x2=642×=34解得m=y=x2x+5x2x+5=0，解得x1=3，x2=5（2）假設存在符合條件的C點，那么CBA=30°，設直線BC的解析式為y=kx+b，則k=tan30°=，已知B（5，0）y=x聯立拋物線的解析式有：解得：，存在符合條件的C點，坐標為（4，）點評：本題主要考查了二次函數與一元二次方程的關系、韋達定理的應用、函數圖象交點以及等腰三角形的判定等知識點9、（2002貴陽）如圖，在直角坐標系xOy中，二次函數圖象的頂點坐標為C（4，），且在x軸上截得的

42、線段AB的長為6（1）求二次函數的解析式；（2）設拋物線與y軸的交點為D，求四邊形DACB的面積；（3）在x軸上方的拋物線上，是否存在點P，使得PAC被x軸平分，如果存在，請求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題；三角形的面積；相似三角形的判定與性質。專題：綜合題；壓軸題。分析：（1）已知了拋物線的頂點坐標即可得出拋物線的對稱軸方程，結合AB的長度即可求出A、B的坐標，進而可用待定系數法求出拋物線的解析式；（2）根據拋物線的解析式易求得D點坐標，可將四邊形DACB的面積分成DAB和ABC兩部分來求；（3）此題可通過構建相似三角形求解，過P作PFx軸于F，設拋物線的對稱軸與x

43、軸的交點為E，若PAC被x軸平分，那么APFACE，根據相似三角形所得到的比例線段即可求出P點的坐標解答：解：（1）根據題意，得：OE=4，AE=BE=3OA=1，OB=7即A（1，0）、B（7，0）設y=a（x1）（x7）x=4，y=，a=所求解析式為y=（x1）（x7）（或y=）（2）連接DA、AC、BC、DB當x=0時，y=，D（0，）S四邊形DACB=SDAB+SACB=（3）假設存在點P（x，y），使x軸平分PAC，過點P作PFx軸，垂足為點F則APFACE，即：3（）=x211x+10=0，x1=10，x2=1當x=10時，y=當x=1時，y=0（不合題意，舍去）P（10，3）點評

44、：此題主要考查了二次函數解析式的確定、圖形面積的求法以及相似三角形的判定和性質10、（2002廣西）已知拋物線y=x2+2mx+4（1）求拋物線的頂點坐標（用含m的式子表示）；（2）設拋物線與x軸相交于A、B兩點，且，求拋物線的函數解析式，并畫出它的圖象；（3）在（2）的拋物線上是否存在點P，使APB等于90°？如果不存在，請說明理由；如果存在，先找出點P的位置，然后再求出點P的坐標考點：二次函數綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）將二次函數的各系數代入頂點坐標公式（，）解答；（2）設A、B兩點的坐標分別為（x1，0）（x2，0），根據函數與方程的關系，將+=轉化為一元二次方程根與系數

45、的關系解答；（3）假設P點存在，設出P點坐標的參數表達式，根據勾股定理解出P點坐標，則可證明存在點P解答：解：（1）根據二次函數的頂點坐標公式，拋物線的頂點坐標為（m，4+m2）（2）設A、B兩點坐標為（x1，0）（x2，0），因為+=，所以+=，配方得=，根據根與系數的關系，=，則=，解得m=0，則函數解析式為y=x2+4；則其頂點坐標為（0，4），與x軸交點為（2，0），（2，0）如圖所示（3）設P（x，x2+4），又因為A（2，0），B（2，0），根據勾股定理（兩點間距離公式）（x+2）2+（4x2）2+（x2）2+（4x2）=42，解得x=±或x=±2（與A、B重合

46、，不能構成三角形，舍去）P點坐標為（±，0）點評：此題重點考查了一元二次方程和二次函數之間的關系通過將二次函數轉化為一元二次方程，可以根據根與系數的關系解題，尤其注意（3）為開放性題目，需要進行猜想和證明11、（2002內江）如圖，一次函數y=x+3的圖象交x軸于點A，交y軸于點Q，拋物線y=ax2+bx+c（a0）的頂點為C，其圖象過A、Q兩點，并與x軸交于另一個點B（B點在A點左側），ABC三內角A、B、C的對邊為a，b，c若關于x的方程a（1x2）+2bx+c（1+x2）=0有兩個相等實數根，且a=b；（1）試判定，ABC的形狀；（2）當時求此拋物線的解析式；（3）拋物線上是否

47、存在點P，使SABP=S四邊形ACBQ？若存在，求出P點坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題。專題：綜合題。分析：（1）可將題中給出的方程進行整理，已知了方程有兩個相同的實數根，那么方程的=0，然后聯立a=b，即可判斷出三角形ABC的形狀（2）可先根據直線AQ的解析式求出A、Q的坐標，進而可求出線段AQ的長，根據AB、AQ的比例關系式，可求出AB的長，即可得出B點坐標，然后根據已知的A、B、Q的坐標，用待定系數法求出拋物線的解析式（3）可先求出四邊形ACBQ的面積，然后根據三角形ABP和四邊形ACBQ面積相等，即可得出三角形ABP的面積，AB長為定值，可求出P點縱坐標的絕對值，將其代

48、入拋物線的解析式中，即可求出P點坐標解答：解：（1）方程整理得（ca）x2+2bx+（c+a）=0；由方程有兩個相等的實數根得=0即即ABC為等腰直角三角形（2）在y=x+3中，令x=0，則y=3；令y=0，則x=3；A（3，0），Q（0，3）；設B點坐標為（x，0）；AB=3x在RtAOQ中，AQ=3，解之得：x=1，B（1，0），拋物線過A、B、Q三點，則有：，解得拋物線的解析式為y=x24x+3（3）假設拋物線上有點P，坐標為（x，y）；SABP=×AB×|y|=|y|；S四邊形ACBQ=SABC+SABQ=×2×1+×2×3=

49、4由SABP=S四邊形ACBQ，得|y|=4；y=±4；當y=4時，x24x+3=4；解得x=2+，x=2；當y=4時，x24x+3=4，0，方程無解拋物線上存在點P的，其坐標為（2+，4）或（2，4）點評：本題考查了等腰直角三角形的判定、二次函數解析式的確定、圖形面積的求法等知識12、（2002瀘州）已知：拋物線y=ax2+bx+c與y軸交于點C，與x軸交于點A（x1，0），b（x2，0）（x1x2），頂點M的縱坐標是4若x1，x2是方程x22（m1）+m27=0的兩個實數根，且x12+x22=10（1）求A、B兩點的坐標；（2）求拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否存在點P，使P

50、AB的面積等于四邊形ACMB的面積的2倍？若存在，求出所有合條件的點P的坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）根據韋達定理可得出A、B兩點橫坐標的和與積，聯立x12+x22=10，可求出m的值，進而可求出A、B的坐標（2）根據A、B的坐標，可得出拋物線的對稱軸的解析式，即可求出其頂點M的坐標，根據得出的A、B、M三點的坐標，即可用待定系數法求出拋物線的解析式（3）可先求出四邊形ACMB的面積（由于四邊形ACMB不規則，因此其面積可用分割法進行求解）然后根據ACMB的面求出P點的縱坐標的絕對值，將其代入拋物線的解析式中即可求出P點的坐標解答：解：（1）由題意得

51、：x1+x2=2（m1），x1x2=m27x12+x22=（x1+x2）2x1x2=（m1）22（m27）=10化簡，得m24m+4=0，m=2且當m=2時，=44×（3）0，符合題意原方程可寫成：x22x3=0x1x2，x1=1，x2=3；A（1，0），B（3，0）（2）已知：A（1，0），B（3，0），拋物線的對稱軸為x=1，因此拋物線的頂點坐標為（1，4）設拋物線的解析式為y=a（x+1）（x3），則有：4=a（1+1）（13），a=1；y=（x3）（x+1）=x22x3（3）S四邊形ACMB=SAOC+S梯形OCMN+SNBM=OAOC+（OC+MN）ON+NBMN=

52、5;1×3+×（3+4）×1+×2×4=9假設存在P（x0，y0）使得SPAB=2S四邊形ACMB=18，即：AB|y0|=18，×4×|y0|=18，y0=±9；當y0=9時，x22x3=9，解得x=1，x=1+；當y0=9時，x22x3=9，此方程無實數根存在符合條件的P點，且坐標為（1，9），（1+，9）點評：主要考查一元二次方程根與系數的關系，二次函數解析式的確定、圖形的面積求法等知識及綜合應用知識、解決問題的能力13、（2002青海）如圖，已知二次函數y=ax2+bx+c的圖象經過原點O，并且與一次函數y

53、=kx+4的圖象相交于A（1，3），B（2，2）兩點（1）分別求出一次函數、二次函數的解析式；（2）若C為x軸上一點，問：在x軸上方的拋物線上是否存在點D，使SCOD=SOCB？若存在，請求出所有滿足條件的D點坐標；若不存在，請說明理由考點：二次函數綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）分別將A、B的坐標代入兩個函數中，聯立這四個式子可求得兩函數的解析式（2）可根據拋物線的解析式設出D點的坐標（設橫坐標，用拋物線的解析式表示縱坐標），然后根據題中給出關于面積的等量關系，可求得D點的橫坐標，進而可求出D的坐標（另一種解法，根據等底三角形面積比等于高的比，可求出D點的縱坐標，代入拋物線的解析式中即可求

54、得D的坐標）解答：解：（1）由題意得：，解得所求一次函數、二次函數的解析式分別為：y=x+4；y=2x2+5x（2）依題意，有：|OC|（2x2+5x）=|OC|×2×，即x2x+=0解得x1=，x2=，代入y=2x2+5x中得：y1=，y2=滿足條件的D存在，坐標為D（，）或（，）點評：本題主要考查了二次函數解析式的確定以及函數圖象交點等知識14、（2002山西）已知：拋物線y=ax2+bx與x鈾的一個交點為B，頂點A在直線y=x上，O為坐標原點（1）證明：OAB為等邊三角形；（2）若OAB的內切圓半徑為1，求出拋物線的解析式；（3）在拋物線上是否存在點P，使POB是直角三角形，若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請