1、“導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用”教學(xué)案例導(dǎo)言：高中數(shù)學(xué)內(nèi)容抽象，推理嚴(yán)謹(jǐn)，應(yīng)用廣泛，難教難學(xué)，已成為橫跨在相當(dāng)一部分學(xué)子面前一道難以逾越的“坎”，不少學(xué)生不免談“數(shù)”色變，敬而遠(yuǎn)之，乃至發(fā)出數(shù)學(xué)在時(shí)時(shí)“折磨我們”的驚嘆!筆者從大學(xué)畢業(yè)一直從事中學(xué)數(shù)學(xué)的課堂教學(xué)與教學(xué)研究，通過幾年的探索發(fā)現(xiàn)：要想提高課堂效率，就必須改變傳統(tǒng)的“填鴨式”教學(xué)讓學(xué)生成為課堂的主人，并積極引導(dǎo)學(xué)生要善于從數(shù)學(xué)的基本問題與特點(diǎn)出發(fā)，善于用數(shù)學(xué)的思想與方法駕馭數(shù)學(xué)知識(shí)！設(shè)計(jì)理念：根據(jù)新課程高中數(shù)學(xué)的教學(xué)實(shí)際及本節(jié)課的內(nèi)容特點(diǎn)，本課時(shí)的教學(xué)先從幾個(gè)基本問題入手，在解決基本問題的過程中喚起學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能的回顧，

2、充分體現(xiàn)了“學(xué)數(shù)學(xué)就是做數(shù)學(xué)”的理念.；通過變式訓(xùn)練來凸現(xiàn)“數(shù)學(xué)思維與思想方法”、顯現(xiàn)數(shù)學(xué)問題的緊密聯(lián)系性，讓學(xué)生初步感知數(shù)學(xué)的自然、簡約與美好；通過學(xué)生自編練習(xí)來培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維和創(chuàng)造性潛能.教學(xué)目標(biāo)：1、知識(shí)目標(biāo)：掌握利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間、極值、最值的一般方法，理解極值、最值區(qū)別與聯(lián)系.2、能力目標(biāo)：通過本節(jié)內(nèi)容的教學(xué)，滲透數(shù)形結(jié)合、化歸等重要數(shù)學(xué)思想，增強(qiáng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力與化歸意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性潛能.3、情感目標(biāo)：通過利用表格研究函數(shù)單調(diào)性與數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，讓學(xué)生親身體驗(yàn)數(shù)學(xué)的簡約美，感受極值、最值的和諧統(tǒng)一美，激發(fā)學(xué)生“學(xué)好數(shù)學(xué)”的情趣，增強(qiáng)學(xué)生“學(xué)好數(shù)學(xué)”的信心.教學(xué)重點(diǎn)：

3、能利用導(dǎo)數(shù)求一些初等函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值、最值.教學(xué)難點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的綜合應(yīng)用.教學(xué)過程實(shí)錄：1 基本問題：再現(xiàn)知識(shí)，夯實(shí)“雙基”教師：牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，導(dǎo)數(shù)作為微積分的重要組成部分，進(jìn)入了中學(xué)教材，有了導(dǎo)數(shù)這個(gè)工具，我們研究函數(shù)如虎添翼.這節(jié)課我們從一個(gè)基本問題出發(fā)，來一次利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的探索之旅.請(qǐng)看下面的問題：問題1 已知函數(shù).（1） 求單調(diào)區(qū)間；（2）的極值.學(xué)生1（板演）：解：（1） 令得：或；令得：的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，有極大值；當(dāng)時(shí)，有極小值.教師：你能根據(jù)已經(jīng)解決的兩個(gè)問題，畫出的大致圖象嗎？學(xué)生眾：能！教師：請(qǐng)畫出的大致圖

4、象（一名學(xué)生到黑板上畫）教師：請(qǐng)大家對(duì)這位同學(xué)畫的圖與屏幕上“幾何畫板”畫的圖作一下比較（對(duì)學(xué)生畫的圖的評(píng)價(jià)略）12-1O教師：從的圖象看，在上有無最大值、最小值？學(xué)生2：由于的圖象無最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，所以在上無最大值、最小值.教師：很好.如果將定義域限制在閉區(qū)間上呢？學(xué)生3：在閉區(qū)間上必有最大值和最小值.教師：為什么？學(xué)生3：是可導(dǎo)函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，所以必有最大值和最小值.教師：不錯(cuò)，這位同學(xué)的基本功很扎實(shí).現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們解決問題2.問題2 求函數(shù)，的最大值、最小值.學(xué)生4（板演）：在問題1的基礎(chǔ)上，列表如下：0（0，）（，2）2（2，）40000.學(xué)生3：利用的圖象可以直接求出的無最大值、

5、最小值.教師：太棒了！學(xué)生4從數(shù)的角度解決了問題2，學(xué)生3從形的角度解決了問題2.如果把這兩位同學(xué)結(jié)合起來，也就是把數(shù)跟形結(jié)合起來了.學(xué)生4采用了表格，不僅單調(diào)性表示得很清楚，而且最大值、最小值也很明顯，真可謂是“一舉兩得”；而學(xué)生3采用圖象，讓我們從直觀上看到函數(shù)增減性很最值，可謂是各有千秋啊！他們的共同點(diǎn)是：簡潔明了.教師：力求簡約，追求卓越，是數(shù)學(xué)的一大魅力.數(shù)學(xué)實(shí)際上很美，只是我們?nèi)鄙倭藢徝赖难酃猓∮腥苏f數(shù)學(xué)是無聲的詩、立體的畫，而我個(gè)人認(rèn)為數(shù)學(xué)如同音樂般美麗，可以說“音樂是感性的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)乃理性的音樂”，你聽說過嗎？學(xué)生眾：沒有！教師：要學(xué)好數(shù)學(xué)、玩好數(shù)學(xué)，我們需要一雙慧眼，去努力發(fā)

6、掘蘊(yùn)涵數(shù)學(xué)之中的美如圖形美、結(jié)構(gòu)美、對(duì)稱美、簡潔美、和諧美等等，要學(xué)會(huì)處處體驗(yàn)數(shù)學(xué)的自然、簡約與美好！教師：問題1與問題2說明利用導(dǎo)數(shù)可以研究函數(shù)的哪些性質(zhì)？如何研究？學(xué)生眾：其一，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；其二，求函數(shù)的極值；其三，求函數(shù)的最值.（方法從略）教師：這三類問題是利用導(dǎo)數(shù)研究的主要問題，剛才同學(xué)們歸納得相當(dāng)不錯(cuò)，表明大家對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用有了較深刻的認(rèn)識(shí). 教師：學(xué)數(shù)學(xué)如果到這里就停下來，那你肯定稱不上是一個(gè)數(shù)學(xué)“高手”，至少你是一個(gè)學(xué)數(shù)學(xué)很累的人！那么怎樣才能學(xué)好數(shù)學(xué)？我們不僅要掌握數(shù)學(xué)的知識(shí)，而且更要增強(qiáng)用數(shù)學(xué)思維去理解、思考與解決問題的意識(shí)！下面我們將問題1、2進(jìn)行變式，首先將的解析式中

7、的一次項(xiàng)系數(shù)改為，就成為含參數(shù)的函數(shù)了，得到如下的變式1，請(qǐng)同學(xué)們思考.2 變式練習(xí)：知識(shí)遷移，觸類旁通變式1 已知函數(shù)在（1，2）上為減函數(shù)，在（2，）上為增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的值.學(xué)生5：，由已知，是的極小值點(diǎn)，所以，得.教師：這樣做有沒有缺陷？學(xué)生3：還要檢驗(yàn)，不過經(jīng)過檢驗(yàn)室符合的.教師：很好，如果去掉“在（2，）上為增函數(shù)”這一條件，結(jié)論如何呢？學(xué)生眾(經(jīng)過思考、討論)：由已知，對(duì)恒成立，所以，解得.教師：我們暫時(shí)把這個(gè)問題擱置一下，來研究函數(shù)在上的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的關(guān)系.學(xué)生：，所以函數(shù)在上是減函數(shù).教師：回頭看前面的解法有無問題？學(xué)生1：有點(diǎn)小問題.應(yīng)該是對(duì)恒成立，下同.學(xué)生2：我還有一

8、種解法.由前面的解法，得對(duì)恒成立，而當(dāng)時(shí)，所以.教師：已知含參數(shù)的函數(shù)在某區(qū)間上是增（減）函數(shù)，求參數(shù)的范圍問題，通常利用“若是非常數(shù)函數(shù)，且為可導(dǎo)函數(shù)，則在某區(qū)間上是增（減）函數(shù)某區(qū)間上恒有”.轉(zhuǎn)化為含有參數(shù)的不等式恒成立問題，學(xué)生1利用了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)，學(xué)生2利用了參數(shù)分離法，都是常用的方法.再來解決變式2.變式2 已知函數(shù)在處有極小值，求的值.學(xué)生6（板演）：.令，得或.由已知.是函數(shù)的極小值點(diǎn)，.教師：變式2是問題2第（2）小題的逆向問題：已知含參數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)，求參數(shù)問題.請(qǐng)同學(xué)們歸納解決的策略.學(xué)生7：利用“可導(dǎo)函數(shù)在點(diǎn)處有極值的必要條件是”得到關(guān)于參數(shù)的方程，解出方程的根

9、，再檢驗(yàn).教師：完全正確，再來解決變式3.變式3 設(shè)函數(shù)，是否有“對(duì)任意不等式恒成立.”請(qǐng)說明理由.學(xué)生3：由問題3知，在上的最大值為，最小值為0，所以對(duì)任意恒有.教師：這種方法你是怎么想到的？學(xué)生3：從的圖象得到啟發(fā).教師：講得很在理，函數(shù)圖象是研究函數(shù)不可或缺的工具，在今后可別忘了它的作用！變式3實(shí)際上是證明某區(qū)間上任意兩個(gè)函數(shù)值的差的絕對(duì)值小于某正常數(shù)，我們的策略是轉(zhuǎn)化為證明最大值與最小值的差小于此正常數(shù)，當(dāng)然有一個(gè)前提是學(xué)生眾：在此區(qū)間上有最大值與最小值.學(xué)生1：我的想法是將，代入，行嗎？教師：這位同學(xué)愛動(dòng)腦筋，這種方法請(qǐng)課后取探討.現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們編一道題目，就叫變式4吧.3 編題練習(xí)：

10、提升能力，發(fā)展思維學(xué)生4：我編的題目是：（變式4）已知函數(shù)的圖象與直線有相異的三個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.改為有相異的兩個(gè)公共點(diǎn)呢？改為有相異的一個(gè)公共點(diǎn)呢？教師：你們覺得這位同學(xué)編的題目如何？學(xué)生：很有創(chuàng)意！教師：同學(xué)們還可以編出許多其他問題，請(qǐng)課后繼續(xù)研究，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們解決這個(gè)問題（變式4）.學(xué)生：由圖象可得當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與直線有相異的三個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有相異的兩個(gè)公共點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，有一個(gè)公共點(diǎn).教師：學(xué)生4編的題目是方程的根的個(gè)數(shù)問題，可以歸結(jié)為函數(shù)的極值問題，同學(xué)們既能編題，也能解題，體現(xiàn)了較高的數(shù)學(xué)素質(zhì).現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們談?wù)剬W(xué)習(xí)這節(jié)課的感受.4 體驗(yàn)過程：完善學(xué)生認(rèn)知，發(fā)展學(xué)生能力學(xué)

11、生4：想不到我也會(huì)編題.學(xué)生2：許多利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的問題可以歸結(jié)為三類基本問題：求單調(diào)區(qū)間、求極值與求最值.學(xué)生5：在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們要注意各個(gè)問題的內(nèi)在聯(lián)系與不同之處，今后我要加強(qiáng)變式練習(xí)和編題練習(xí).學(xué)生6：利用導(dǎo)數(shù)解決學(xué)生2提出的三類基本問題的一般步驟為：（1）求導(dǎo)函數(shù)（2）列表或作圖來分析原函數(shù)的單調(diào)性（3）在定義域范圍內(nèi)具體解決問題.（具體方法從略）教師：非常好！前面幾位同學(xué)都發(fā)表自己的感受，也總結(jié)了本節(jié)課的主要內(nèi)容.我想其他同學(xué)也一定有自己的感受，課后大家要好好交流交流，這節(jié)課我們就上到這里！5 教學(xué)反思：1、本節(jié)課沒有采用傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)模式：知識(shí)歸納例題講解反饋練習(xí)，而

12、是一開始呈現(xiàn)了問題1和問題2，在解決問題的同時(shí)喚起學(xué)生對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)、基本方法、基本技能的回顧，充分體現(xiàn)了“學(xué)數(shù)學(xué)就是做數(shù)學(xué)”的理念.然后，以學(xué)生的已有知識(shí)利用導(dǎo)數(shù)能求單調(diào)區(qū)間、極值、最值這一認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，讓學(xué)生在新的問題情境中，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用作圖、猜想、歸納、驗(yàn)證等方法解決問題，在問題解決過程中獲得新知，讓學(xué)生逐漸體會(huì)到數(shù)學(xué)問題的緊密聯(lián)系，從而進(jìn)一步完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu).如果我們長期堅(jiān)持這樣去做，學(xué)生的創(chuàng)造潛能一定會(huì)得到充分發(fā)展.2、如果說數(shù)學(xué)新授課教學(xué)實(shí)現(xiàn)知識(shí)“從薄到厚”的話，那么數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課教學(xué)應(yīng)實(shí)現(xiàn)“從厚到薄”.本節(jié)課緊緊抓住了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的三類基本問題這一核心，變式1和變式2作為這三類問題的

13、逆向問題，解決問題的思想方法與原問題一脈相承，變式3和變式4最終可以轉(zhuǎn)化為這三類問題，正所謂“萬變不離其宗”.變式教學(xué)在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)技能和思維品質(zhì)等方面不僅非常有效，而且非常實(shí)用，在教學(xué)中我們一定要充分運(yùn)用.在復(fù)習(xí)課中，從一個(gè)有價(jià)值的基本問題出發(fā)，進(jìn)而變換問題的條件、結(jié)論、逆向思維、變更設(shè)問方式，這樣復(fù)習(xí)課就會(huì)成為學(xué)生數(shù)學(xué)探究的重要陣地.3、對(duì)于基礎(chǔ)較好的班級(jí)，還可以讓學(xué)生探究如下變式：當(dāng)時(shí)，求證：不等式對(duì)恒成立.一方面，引導(dǎo)學(xué)生從形的角度去探索，可以利用“幾何畫板”進(jìn)行動(dòng)態(tài)演示，揭示問題的幾何背景；另一方面，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)的角度去探索，把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題，進(jìn)一步讓學(xué)生感悟轉(zhuǎn)化思想.4、教無定法，教師應(yīng)根據(jù)本班的實(shí)際情況靈活安排教學(xué)步驟，切實(shí)把關(guān)注學(xué)生的發(fā)展放在首位來考慮，并依此制定合理而科學(xué)的教學(xué)計(jì)劃.如，對(duì)于較好的班級(jí)，則可以優(yōu)先發(fā)展，