1、談直線及平面垂直判定定理教學高中數(shù)學立體幾何新教材體系中，有的概念直接運用公理 來定義概念的教學方法，被教材和廣大教師所默認。最近， 在一堂“直線與平面垂直的判定”公開課后，我們數(shù)學教研 組對以此課中涉及到的公理定義概念及后續(xù)的判定定理的 教學問題，進行了研究與討論，現(xiàn)整理如下，與同行一起探 討。一、運用公理定義“直線與平面垂直”概念的思考對于直線與平面垂直定義的教學，大多教師會演示課本 上的實例，旗桿與地面的位置關系，讓學生觀察直立于地面 的旗桿及它在地面上的影子。并指出旗桿所在的直線與地面 內任意一條過交點的直線垂直（和不過交點的直線也垂直）。有些教師也會借助于使用多媒體cai,展示在現(xiàn)實

2、世界 中大量存在的直線與平面位置關系中的這種很特殊的情形， 對學生增強直觀的直線與平面垂直形象課堂容量進行演示。在教師的誘導下，學生會利用知識的遷移，自然而然聯(lián) 想到平面內兩條直線互相垂直和空間兩條直線相互垂直的 知識，猜想總結出這種特殊位置關系應該稱為"直線與平面 垂直”關系。此時，有的教師認為下定義的時機已經成熟, 或者引導學生自己去給出準確的定義，或者直接給出教材中 的概念：“一條直線和平面內的任何一條直線都垂直，我們 就說這條直線和這個平面互相垂直”。我們研討認為這種教 學方法有值得思考的地方。是不是我們一定要用'如果一條直線與平面內的所有 直線都垂直則稱這條直線與平

3、面垂直"來定義？當然我們 也可用“如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，則稱 這條線與平面垂直”來加以定義（如圖）。我們知道，這里 的兩種不同的條件實際上是等價的，可以互相推出，所以本 來這兩種選擇都可以作為定義的。既然二種關系原來都可以定義概念，那我們?yōu)槭裁匆?第一種方法來定義？在數(shù)學體系中，各個名詞是預先已經用公理定義的概 念，這樣的公理系統(tǒng)是一個實質性公理系統(tǒng)。因為要先定義 概念，所以就要有一些原始的概念作為定義其他概念的出發(fā) 點。一般來說當幾種公理都可作為定義某一要領時，特別是 有的概念在下定義時，本來就可以有多種選擇的情況下，數(shù) 學體系中往往會把簡單的公理留著作為判定定

4、理。比如在初 中教材中，平行線的定義與判定定理就是如此。在此，我們 就容易理解了數(shù)學體系中用第一種方法來定義直線與平面 垂直概念，而不是用第二種方法來定義直線與平面垂直概念 的理由了。通過我們以上的教學，讓我們的學生知道了 “如果一條 直線與平面內的所有直線都垂直則稱這條直線與平面垂直”與“如果一條直線與平面內的兩條相交直線垂直，則稱 這條線與平面垂直”從本質上來說是等價的道理，為后面的 判定定理的學習與運用，埋下了伏筆。二、從定義引入到判定定理教學的思考接下來，我們再思考另一個問題，就是在學了 “直線與 平面垂直定義”后，如何引入“直線與平面垂直的判定定 理”的問題？大多教師會按照教材的思路

5、進行這樣的引入 教學："要證明一條直線和一個平面垂直，若每次都要證明 這條直線和平面上每一條直線都垂直，顯然是很麻煩也不必 要的”。這樣的引入值得我們教師進行認真的思考了，注意這里 教師的引導語“很麻煩也不必要”可能會給學生帶來二個 誤處。誤處一：'很麻煩”導致學生在不善于直接從定義去思 考問題，誤處二:“不必要”導致學生誤認為遇到有關直線與平面垂直的判定問題時，根本不用去想用定義去證明。這種誤處，學生一旦形成，對所有的定義的理解和運用,特別是對學生的思維活動是非常有害的制約。實際上，有許許多多的題，完全可以應用定義判定直線與平面垂直，例如:'如果兩條平行直線中的一條

6、垂直于一個平面，那么另一條也垂直于同一個平面”，既可以用后面的判定定理證明，也可以用定義來證明。我們也可以運用定 義來發(fā)散思維證題，例如：根據(jù)直線與平面垂直的定義，如 果平面內存在一條直線與平面的一條交線b不垂直，則可以 斷定此平面與直線b不垂直。所以說，定義不是沒有用，而是看我們怎么去用。有時 用定義去判定比用判定定理更容易解決問題。但大多數(shù)情況 下，用定義去判定直線與平面垂直確實非常困難，要告訴學 生，因為平面內直線的無限性，一條直線與平面內的所有直 線都要判定與此垂直，既不現(xiàn)實，也難以操作，所以必須去 尋找一種能夠避免逐一確定無限條直線與此直線垂直的問 題，從而引入到判定定理的教學中。三

7、、對教材中的判定定理的思考對直線與平面垂直判定定理，過去大多教師會這樣引 入："讓我們先來看看木工師傅是如何判斷一根立柱是否和 板面垂直的方法，用曲尺（注：曲尺，是指木工及鉗工常用 的一邊長一邊短的直角尺）檢查兩次，只要兩次，但曲尺靠 板面的尺，兩次不能在同一條直線上，如果立柱、板面都和 曲尺的兩條邊完全吻合，便可斷定立柱和板面垂直。從中你 能得到判定直線和平面垂直的方法嗎？ ”引導學生進行猜 想推測，從而引入判定定理。有的教師也會按照教材p65圖2. 3-4探究的折紙方法引 入直線與平面垂直判定定理。但教材也好，老師也好，不管怎么引入判定定理，最后都沒有給予確切的嚴格證明，教材 中

8、只提出了二個思考問題作為運用時必須注意的問題一一 定理中兩條相交直線不可忽視（p65）,就算把判定定理概念 教學告一段落，接下去就直接進行如何運用判定定理了。這種沒有嚴格證明的“判定定理”，我們認為教材處理 不妥會讓學生有些迷茫。迷茫有三：1我們說，數(shù)學中的命題，必須經過嚴格的證明是正確 的，才能成為定理。如果象教材上的實例引入，確實是對的, 那也只是是用實驗的方法驗證了這確實是“正確”的。這種 沒有經過嚴格證明的“判定定理”真的是正確的嗎？2剛剛前面說過，用定義判定直線與平面垂直不現(xiàn)實也難操作，所以要引入容易判定的直線與平面垂直的判定定 理，而現(xiàn)在引入了判定定理卻又不給證明，這“判定定理” 到底是對還是錯？3教師說，這定理以后可以借助空間向量等方法怎么怎么地來證明，如果以后確實可以證明了，那繞了一大圈，學生會不會說原來也可能是個數(shù)學怪9是否會產生循環(huán)論證之類的錯誤呢？用今天尚未證明的“判定定理” a推出e,再用b去推出c, c推出ao4就算以后能證明是對的，又有多少學生以后會有這種機會和興趣去證明？學生此時的知識求知和探索科學的欲 望將得不到滿足。我們說，定理包括判定定理，只有從真命題（公理或其 他已被證明的定理）出發(fā)，經